ถามเกี่ยวกับการหารลงตัว

[T-kung]

คำถามคืออย่างเช่น หาจำนวนของจำนวนเต็มบวก x ทั้งหมดที่หาร 10ยกกำลัง6ลงตัว

คือถ้าเจอโจทย์แบบนี้เราควรจะคิดยังไงหรอครับ แยกตัวประกอบเอาหรอครับ

[nooonuii]

โจทย์แนวนี้เป็นปัญหาการนับแบบหนึ่งครับ

สมมติเราแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม $n$ ได้เป็น

$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ เมื่อ $p_i$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ต่างกัน

ตัวประกอบที่เป็นบวกของ $n$ ทั้งหมดจะอยู่ในรูป

$p_1^{b_1}p_2^{b_2}\cdots p_k^{b_k}$ เมื่อ $0\leq b_i\leq a_i$ ทุก $i=1,...,k$

จะเห็นว่าในตำแหน่งที่ $i$ เราสามารถเลือก $b_i$ ได้ทั้งหมด $a_i+1$ แบบ (รวมศูนย์ไปอีกตัวนึง)

ดังนั้นโดยกฎการคูณเราสามารถสร้างตัวประกอบของ $n$ ได้ทั้งหมด

$(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_k+1)$ แบบ

ตัวอย่าง $10^6=2^6\cdot 5^6$

จำนวนตัวประกอบบวกของ $10^6$ จึงเท่ากับ $(6+1)(6+1)=49$

[T-kung]

ขอบคุณครับ^^

พอจะมีแหล่งหาแบบฝึกหัดแนวๆนี้บ้างไหมครับ พอดีเจอโจทย์แนวนี้ไปไม่ถูกทุกที

[nooonuii]

ลองค้นจากกระทู้พวกโจทย์แข่งขันดูครับ จะมีโจทย์ประเภทอยู่เยอะเลย

หรือไม่ถ้ามีหนังสือสอวน. ทฤษฎีจำนวนอยู่กับตัวลองเปิดไปที่บทที่ $5$

เรื่องฟังก์ชัน $\tau$ แต่โจทย์จะเป็นแนวพิสูจน์นะครับ