ช่วยอธิบายสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธุ์หน่อยครับ

[monster99]

1. สมการข้อใดเป็นสมการเอกพันธ์
1.1 $(x^2+3xy)y^'+(4xy-y^2)=0$
ช่วยตรวจหน่อยครับว่าทำถูกไหม :
$(x^2+3xy)dy+(4xy-y^2)dx=0$
$t^2(x^2+3xy),t^2(4xy-y^2)$
$t^2$ เท่ากัน ตอบว่าเป็นสมการเอกพันธ์

1.2 $yy^'=(x^2y^2-3xy)$
$ydy-(x^2y^2-3xy)dx=0$
$ty , t^2(x^2y^2-3xy)$
$t กับ t^2$ ไม่เท่ากัน ตอบว่าไม่เป็นสมการเอกพันธ์

แล้วมีวิธีตรวจแบบไม่ต้องแทนค่า t ไหมครับ
2. หาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ของ $(x^2y)dx=(x^3-y^3)dy$ เมื่อ $x=1,y=1$
3. หาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ของ $y^"-y^'-12=0$ เมื่อ $y(0)=3,y^'(0)=5$
ช่วยอธิบายวิธีทำหน่อยครับ

[nooonuii]

วิธีมองคร่าวๆว่าเป็นสมการเอกพันธ์หรือไม่ให้มองที่กำลังรวมของแต่ละเทอมครับ

เช่น

1.1 $x^2,3xy,4xy,-y^2$ จะมีกำลังรวมเป็น $2$ หมด เพราะฉะนั้นเป็นสมการเอกพันธ์

1.2 $y$ กำลังรวมเป็น $1$

$x^2y^2$ กำลังรวมเป็น $4$

$-3xy$ กำลังรวมเป็น $2$

เพราะฉะนั้นไม่เป็นสมการเอกพันธ์

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ monster99

2. หาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ของ $(x^2y)dx=(x^3-y^3)dy$ เมื่อ $x=1,y=1$

ให้ $y=ux$ แล้วเปลี่ยนทุกอย่างให้อยู่ในรูป $x,u$

[monster99]

ให้ $y=ux$ จะได้ $dy=udx$ โดยที่ u เป็นค่าคงที่ใช่ไหมครับ
จะได้ว่า $ux^3dx = u(1-u^3)x^3dx$ แล้วแทนค่า $x=1,u=1$
ถูกไหมครับ

[nooonuii]

จะต้องได้ว่า $dy=udx+xdu$ ครับ เพราะมอง $u$ เป็นฟังก์ชันของ $x$

จริงๆแล้วมันก็คือการเปลี่ยนตัวแปร $u=\dfrac{y}{x}$ นั่นเองครับ

[monster99]

จาก $(x^2y)dx=(x^3-y^3)dy$ และ $y=ux $ และ $dy = udx=xdu$
จะได้ว่า $dx=(\frac{x^3}{x^2y} -\frac{y^3}{x^2y})dy$
$dx=(\frac{x}{y} -\frac{y^2}{x^2})dy$
แล้วทำไงต่อครับช่วยหน่อยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ monster99

2. หาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ของ $(x^2y)dx=(x^3-y^3)dy$ เมื่อ $x=1,y=1$

$y=ux$

$dy=udx+xdu$

กำจัด $y$ ทิ้ง

$x^2(ux)dx=(x^3-u^3x^3)(udx+xdu)$

$ux^3dx=x^3(1-u^3)(udx+xdu)$

$udx=(1-u^3)(udx+xdu)$

$udx=(u-u^4)dx+x(1-u^3)du$

$u^4dx=x(1-u^3)du$

$x^{-1}dx=(u^{-4}-u^{-1})du$

ที่เหลือก็อินทิเกรตทั้งสองข้างได้แล้วล่ะครับ

[monster99]

$\int x^{-1}\,dx = \int (u^{-4}-u^{-1})\,du $

$ln\left|\,x\right| +c = \frac{u^{-3}}{-3}-ln\left|\,u\right|$
จากนั้นแทนค่า $x=1, u=1$
จะได้ $c = -\frac{1}{3} $
แล้วทำยังไงต่อครับ

[nooonuii]

แทนค่า $u=\dfrac{y}{x}$ แล้วก็จัดรูปครับ

ผมจัดได้แบบนี้

$x^3=y^3(1-3\ln{|y|})$

[monster99]

พอจะเข้าใจแล้วครับ ผมก็จัดรูปได้อย่างคุณ nooonuii ครับ ผมขอรบกวนต่อเลยครับ (คงจะไม่รำคาญผมซะก่อนนะครับ) แล้วข้อ 3 ที่มี $y^"$ ใช้วิธีเดิมหรือเปล่าครับ

[nooonuii]

ข้อ $3$ อินทิเกรตเลยครับ จะได้

$y'-y-12x=c$

แทนค่า $x=0$ จะได้

$c=2$

ดังนั้น $y'+y=12x+2$

คราวนี้ก็ใช้สูตรสมการเชิงเส้นได้ครับ

[monster99]

กลับมาขอรบกวนอีกครั้งแล้วครับ (หลังจากหายไปหลายวัน) ผมงงว่าสูตรสมการเชิงเส้น ก็คือ วิธีเดิมหรือเปล่าครับ (แทน $y=ux$) ซึ่งทำแล้วก็งงอยู่ครับ

[nooonuii]

คิดว่าไม่ใช่ครับ แต่มันใช้เทคนิคอย่างหนึ่งเหมือนกับสมการเอกพันธ์คือการหา integrating factor ครับ