โจทย์ใหม่

[Crazy pOp]

จงหา x,y ที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดซึ่ง
สอดคล้องกับ x^2-61y^2=1
ลองทำดูละกัน

[TOP]

สำหรับคำถามแนว Pell's Equation คุณ Catt ได้เคยตอบไว้แล้วในปัญหา โจทย์ของคนมีระดับ สำหรับผู้ที่สนใจรายละเอียดลึกๆหาอ่านได้จาก หนังสือเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน อย่างไรก็ตามหากใครมีแนวความคิดในการแก้ ที่ไม่เหมือนใครลองเสนอมาครับ

Pell's Equation จัดอยู่ในรูป x² - Dy² = 1 โดย D เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ค่ากำลังสอง ปัญหา Pell's Equation มีมาตั้งแต่สมัยของอาร์คิมิดิส ได้แก่สมการ x² - 4729494y² = 1 ซึ่งกว่าจะแก้ปัญหานี้ได้ก็ล่วงเลยมาถึงปี ค.ศ. 1880 พบว่า ผลเฉลยที่น้อยที่สุด มีค่า y เป็นตัวเลข 41 หลัก ส่วนค่า x เป็นตัวเลขนับแสนหลัก !!

สมมติว่า (x₁ , y₁) เป็นผลเฉลยหนึ่งของ Pell's Equation x² - Dy² = 1 เราสามารถหาผลเฉลย เพิ่มเติมได้จากผลเฉลยเดิมดังนี้
1 = x₁² - Dy₁² = (x₁ + y₁sqrt(D)) (x₁ - y₁sqrt(D))
1² = (x₁ + y₁sqrt(D))² (x₁ - y₁sqrt(D))²
= ((x₁² + y₁²D) + 2x₁y₁sqrt(D)) ((x₁² + y₁²D) - 2x₁y₁sqrt(D))
= (x₁² + y₁²D)² - (2x₁y₁)²D
\ (x₁² + y₁²D , 2x₁y₁) เป็นผลเฉลยใหม่ ในทำนองเดียวกับการทำ 1³ , 1⁴ , 1⁵ , ... จะได้ผลเฉลยของสมการนี้เช่นกัน หากนำมาเขียนเป็นทฤษฎีบทจะได้ออกมาดังนี้

Pell's Equation Theorem

กำหนดให้ D เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ค่ากำลังสอง แล้วสำหรับสมการ x² - Dy² = 1 จะมีผลเฉลยที่เป็น จำนวนเต็มบวกเสมอ ถ้า (x₁ , y₁) เป็นผลเฉลยที่มีค่า x₁ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ แล้วจะได้ว่า ทุกผลเฉลย (x_k , y_k) สามารถหาได้จากการยกกำลังดังนี้
x_k + y_ksqrt(D) = (x₁ + y₁sqrt(D))^k โดยที่ k = 1,2,3,...

ยกตัวอย่างเช่น ผลเฉลยที่น้อยที่สุดของ x² - 47y² = 1 คือ (48,7) จะสามารถหาผลเฉลยทั้งหมดจากการ ยกกำลังของ 48 + 7sqrt(47) จึงได้ผลเฉลยตัวที่สองและสามดังนี้
(4607 , 672) จาก (48 + 7sqrt(47))² = 4607 + 672sqrt(47)
(442224 , 64505) จาก (48 + 7sqrt(47))² = 442224 + 64505sqrt(47)

ปัญหาที่สำคัญกว่าตอนนี้คือ จะมีวิธีหาผลเฉลยที่น้อยที่สุดได้อย่างไร ? ยกตัวอย่างเช่นจาก ปัญหาข้อนี้ x² - 61y² = 1 มีผลเฉลยที่น้อยที่สุดคือ (1766319049 , 226153980) !!

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ TOP:
ปัญหา Pell's Equation มีมาตั้งแต่สมัยของอาร์คิมิดิส ได้แก่สมการ x² - 4729494y² = 1 ซึ่งกว่าจะแก้ปัญหานี้ได้ก็ล่วงเลยมาถึงปี ค.ศ. 1880 พบว่า ผลเฉลยที่น้อยที่สุด มีค่า y เป็นตัวเลข 41 หลัก ส่วนค่า x เป็นตัวเลขนับแสนหลัก !!

จำนวนเต็มบวก x, y ที่น้อยที่สุดที่เป็นคำตอบของสมการดังกล่าวคือ

x = 109931986732829734979866232821433543901088049 (45 หลัก - ยังไม่ถึงแสนหลักครับ)
y = 50549485234315033074477819735540408986340 (41 หลัก)