โจทย์คณิตศาสตร์ ช่วยผมคิดหน่อยครับ

[Ta]

ช่วยคิดด้วยครับ

[Ta]

อีกข้อครับ

[gon]

ข้อ 2 : 10 ปีที่แล้วพี่ก็ถามตัวเองแบบนี้ครับ. อินทิเกรตเท่าไรก็ไม่ออก เลยคิดว่าไม่มีรูปปิดครับ. ถึงวันนี้ลองใช้ Mathematica จัดการ มันได้ผลลัพธ์ดังนี้ ลองวิเคราะห์เอานะครับ.ว่ามันถือว่าเป็นรูปปิดและถูกต้องหรือเปล่า
\[ \frac{1}{2\sqrt{2}}[2\tan^{-1}(1+\sqrt{2\tan x})-2\tan^{-1}(1-\sqrt{2\tan x}) + Ln(\frac{1+\sqrt{2\tan x }+\tan x}{-1+\sqrt{2\tan x}-\tan x})]\]

[M@gpie]

ลองข้อ 2 คับ
\( \int \sqrt{\tan x}dx \)
ให้ \( u=\sqrt{\tan x} \) จะได้ว่า \( u^{2} = \tan x \)
จะได้ว่า \( 2udu = \sec^{2}xdx \rightarrow dx = \frac{2udu}{1+u^{4}}
\)
ดังนั้นจะได้
\( \int \sqrt{\tan x}dx = \int \frac{2u^{2}}{u^{4}+1} du\)
พิจารณาเทอม
\( u^{4}+1 = u^{4}+2u^{2}+1-2u^{2} =(u^{2}-\sqrt{2}u+1)(u^{2}+\sqrt{2}u +1) \)
ดังนั้นเราสามารถทำการ partial fraction ได้ แต่ว่าหนักหนาสาหัสเอาการคับ ลองไปทำดูนะคับ

[gon]

เยี่ยมครับ. ไปต่อได้จริง ๆ ด้วย เดี๋ยวพี่จะลองคิดต่อดูบ้างครับ. เอ.. แล้วแบบไหนนะที่มันไม่มีรูปปิด ??? อ้อ. ตัวนี้ล่ะมั้ง \[ \int \sqrt{\sin x} \, dx\] ลอง Mathematica ดูแล้วออกมาเป็น EllipticE ฟังก์ชันอะไรนี่

[M@gpie]

เยอะแยะเลยคับ พวกที่ไม่มีรูปปิด ตัวยอดนิยมเห็นจะเป็น
\[ \int \frac{\sin x}{x} dx \]
\[ \int e^{-x^{2}} dx \]
แต่ถ้าถามจำกัดเขตพอจะสรุปค่าได้คับ เช่น
\[ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx =\frac{\pi}{2} \]
อันนึงที่ผมชอบคือ อันนี้คับ
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega t}dt =2\pi \delta (\omega)\]

[TOP]

\(
\begin{array}{rcl}
\text{ให้ } \tan(x) & = & u^2 \text{ จะได้} \\
\sec^2(x)\ dx & = & 2u\ du \\
dx & = & \displaystyle{\frac{2u\ du}{\sec^2(x)} = \frac{2u\ du}{1+u^4}}
\end{array}
\)
\(
\begin{array}{rcl}
\text{ดังนั้น } \displaystyle{ \int \sqrt{\tan(x)}\ dx } & = & \displaystyle{ \int u\ dx = \int \frac{2u^2}{1+u^4}\ du } \\
& = & \displaystyle{ \int \frac{2u^2}{(u^2-\sqrt{2}u+1)(u^2+\sqrt{2}u+1)}\ du } \\
& = & \displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{u}{u^2-\sqrt{2}u+1} - \frac{u}{u^2+\sqrt{2}u+1}\ du } \\
& = & \displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{u}{\left( u - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \frac{1}{2}} - \frac{u}{\left( u + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} }\ du } \\
& = & \displaystyle{ \sqrt{2} \int \frac{u}{( \sqrt{2}u - 1 )^2 + 1} - \frac{u}{( \sqrt{2}u + 1)^2 + 1}\ du }
\end{array}
\)
\(
\begin{array}{rclcrcl}
\text{ให้ } \sqrt{2}u - 1 & = & \tan(v) & \text{และ} & \sqrt{2}u + 1 & = & \tan(w) \text{ จะได้} \\
du & = & \frac{\sec^2(v)\ dv}{\sqrt{2}} & \text{และ} & du & = & \frac{\sec^2(w)\ dw}{\sqrt{2}} \\
\end{array}
\)
\(
\begin{array}{rcl}
\text{ดังนั้น } \displaystyle{ \int \sqrt{\tan(x)}\ dx } & = & \displaystyle{ \sqrt{2} \int \frac{u}{( \sqrt{2}u - 1 )^2 + 1}\ du - \sqrt{2} \int \frac{u}{( \sqrt{2}u + 1)^2 + 1}\ du } \\
& = & \displaystyle{ \sqrt{2} \int \frac{\frac{ \tan(v) + 1 }{\sqrt{2}}}{ \sec^2(v) }\ \frac{\sec^2(v)\ dv}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} \int \frac{\frac{ \tan(w) - 1 }{\sqrt{2}}}{ \sec^2(w) }\ \frac{\sec^2(w)\ dw}{\sqrt{2}} } \\
& = & \displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}} \int \tan(v) + 1 \ dv - \frac{1}{\sqrt{2}} \int \tan(w) - 1 \ dw } \\
& = & \displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}} ( \ln |\sec(v)| + v ) - \frac{1}{\sqrt{2}} ( \ln|\sec(w)| - w ) + C } \\
& = & \displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ln \left| \frac{\sec(v)}{\sec(w)} \right| + v + w \right) + C } \\
& = & \displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ln \left| \frac{\sec( \tan^{-1}( \sqrt{2}u - 1) )}{\sec( \tan^{-1}( \sqrt{2}u + 1 ) )} \right| + \tan^{-1}(\sqrt{2}u - 1) + \tan^{-1}( \sqrt{2}u + 1 ) \right) + C } \\
& = & \displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ln \left| \frac{\sec\left( \tan^{-1}\left( \sqrt{2\tan(x)} - 1 \right) \right)}{\sec\left( \tan^{-1}\left( \sqrt{2\tan(x)} + 1 \right) \right)} \right| + \tan^{-1}\left( \sqrt{2\tan(x)} - 1 \right) + \tan^{-1}\left( \sqrt{2\tan(x)} + 1 \right) \right) + C }
\end{array}
\)

[warut]

ตอบข้อ 1 ครับ

จาก log₂(1 + ึx) = log₃x เราจะได้ว่า
\[1+\sqrt x=2^{\log_3x}\]
ให้ x = 3^2u สมการจะกลายเป็น 1 + 3^u = 2^2u หรือ 4^u - 3^u = 1
ซึ่งเรารู้ว่า u = 1 เป็นคำตอบหนึ่งของสมการนี้ และเนื่องจาก
\[4^u-3^u=3^u\left(\left(\frac{4}{3}\right)^u-1\right)\]
เป็น strictly increasing function เมื่อ u > 0 และ 4^u - 3^u < 0 เมื่อ u < 0
ดังนั้น u = 1 จึงเป็นคำตอบเพียงอันเดียวของสมการนี้
สรุปได้ว่า x = 3² = 9 เป็นคำตอบเพียงอันเดียวของสมการโจทย์

โจทย์แบบนี้สามารถสร้างขึ้นได้อีกมากมายครับ
จากสมการ a^nu - b^u = c ให้ x = b^nu เราจะได้
\[\log_a\left(\sqrt[n]x+c\right)=\log_bx\]
ตัวอย่างเช่น

จาก 5^u - 3^u = 2 (คำตอบคือ u = 1) ให้ x = 3^u จะได้โจทย์
\[\log_5\left(x+2\right)=\log_3x\]
จาก 5^u - 2^2u = 1 (คำตอบคือ u = 1) ให้ x = 5^2u จะได้โจทย์
\[\log_2\left(\sqrt x-1\right)=\log_5x\]
จาก 2^3u - 5^u = 3 (คำตอบคือ u = 1) ให้ x = 5^3u จะได้โจทย์
\[\log_2\left(3+\sqrt[3]x\right)=\log_5x\]

[kanji]

ข้อ 2