Trigonometric Marathon

[Brownian]

ยังไม่มีคนมาตอบ งั้นผมขอเฉลยข้อ 57. ก่อนละกันครับ
57. $sin3^\circ = sin \frac{60^\circ-54^\circ}{2}$ และ เราทราบว่า $cos 6^\circ = \frac{\sqrt{18+6\sqrt{5}}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}$

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Brownian

$cos 6^\circ = \frac{\sqrt{18+6\sqrt{5}}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}$

ทำไมครับ
56.
$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}...$
ดังนั้นอสมการโจทย์สมมูลกับ
$\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...=\sum_{n = 2}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\geq 0$
เขียนใหม่ได้
$\sum_{n = 2}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n =1}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}-\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}$
พิจารณา $\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}-\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}$
$=\frac{x^{4n+1}}{(4n+3)!}((4n+3)(4n+2)-x^2)$
จาก $n\geq 2$ $\therefore (4n+3)(4n+2)\geq (11)(10)=110$
$x^2<\frac{\pi^2}{4}<\frac{4^2}{4}=4 \rightarrow (2n+3)(2n+2)-x^2>110-4=106>0$
จาก $x>0$ ดังนั้น
$\frac{x^{4n+1}}{(4n+3)!}((4n+3)(4n+2)-x^2)>0$
ดังนั้น $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}-\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}\geq 0$ ตามต้องการ โดยอสมการจะเป็นสมการเมื่อ $x=0$

[Brownian]

โจทย์ข้อ 56 ผมแก้แล้วนะครับ
แนวคิดข้อ 56 ของคุณ owlpenguin ก็ถูกครับ แต่เป็นแนวเชิงalgebra ผมมีอีกวิธีเป็นการใช้ลิมิตและ identityเข้าช่วยครับ

แนวคิดอีกทางของข้อ 56

เพราะ $2sin\frac{x}{2}-sinx = 2sin\frac{x}{2}(1-cos\frac{x}{2}) = 4sin\frac{x}{2}sin^2\frac{x}{4}$
ดังนั้น $$2sin\frac{x}{2}-sinx < 4(\frac{x}{2})(\frac{x}{4})^2 = \frac{x^3}{8} ...(1)$$
(เพราะว่า $sin \alpha < \alpha ทุก \alpha>0$)
แทนที่ ค่า x ด้วย $\frac{x}{2}, \frac{x}{4}, ..., \frac{x}{2^{n-1}}$ ใน (1) จะได้
$$2sin\frac{x}{4}-sin{x}{2} < \frac{1}{8}(\frac{x}{2})^3 ...(2)$$
$$2sin\frac{x}{8}-sin{x}{4} < \frac{1}{8}(\frac{x}{4})^3 ...(3)$$

.........

$$2sin\frac{x}{2^n}-sin\frac{x}{2^{n-1}} < \frac{1}{8}(\frac{x}{2^{n-1}})^3 ...(n)$$
คูณสมการที่ (1) ถึง (n) ด้วย $1, 2, ..., 2^{n-1}$ แล้วจับบวกกันจะได้
$$2^nsin\frac{x}{2^n}-sinx < \frac{x^3}{8}(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2^{2n-2}})$$
$$\lim_{n \to \infty} (\frac{sin\frac{x}{2^n}}{\frac{x}{2^n}}x-sinx) \leqslant \frac{x^3}{8} \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{1}{4^k}$$
เนื่องจาก $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{1}{4^k} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{4}{3}$$
และ $$\lim_{n \to \infty} \frac{sin\frac{x}{2^n}}{\frac{x}{2^n}} = 1$$
เพราะฉะนั้น เราจะได้
$$x-sinx \leqslant \frac{x^3}{6}$$ ตามต้องการ

แนวคิดข้อ 57

ส่วนข้อ 57
$cos6 = cos(60-54) = cos60cos54+sin60sin54$
$sin54 = cos36 =1-2sin^218 = 1-2(\frac{6-2\sqrt{5}}{16}) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$
$cos54 = \sqrt{1-sin^254} = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

แทนค่า แล้วจัดรูปอีกนิด ก็จะได้อย่างข้างบนครับ ...

ผมลืมบอกที่มาของ sin18 ครับ
เพราะว่า $sin18 = sin\frac{\pi}{10} = cos\frac{2\pi}{5}$
จาก $2sin\frac{\pi}{5}cos\frac{\pi}{5} = sin\frac{2\pi}{5}$
และ $2sin\frac{2\pi}{5}cos\frac{2\pi}{5} = sin\frac{4\pi}{5} = sin\frac{\pi}{5}$
เมื่อคูรสองสมการแล้วจัดการทุกอย่าง เราจะได้ $cos\frac{\pi}{5}cos\frac{2\pi}{5}=\frac{1}{4}$
และ เพราะว่า $cos\frac{\pi}{5}-cos\frac{2\pi}{5} = 2sin\frac{3\pi}{10}sin\frac{\pi}{10}$
$=2cos\frac{\pi}{5}cos\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{2}$
และ ถ้าเราให้ $cos\frac{2\pi}{5} = x$ และ $cos\frac{\pi}{5} = y$
ดังนั้น $y-x = \frac{1}{2}$ และ $xy = \frac{1}{4}$
ในไม่ช้า เราจะได้ว่า $x = \frac{\sqrt{5}-1}{4} = sin18$ ครับ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Brownian

ยังไม่มีคนมาตอบ งั้นผมขอเฉลยข้อ 57. ก่อนละกันครับ
57. $sin3^\circ = sin \frac{60^\circ-54^\circ}{2}$ และ เราทราบว่า $cos 6^\circ = \frac{\sqrt{18+6\sqrt{5}}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}$

ที่จริงยังไม่ต้องรีบเฉลยก็ได้นะครับทิ้งไว้ซัก 1 อาทิตย์ก็ได้เพราะอาจจะมีคนที่กำลังคิด(อย่างผม)อยู่

[Brownian]

ขอโทนะครับที่รีบเฉลยไปหน่อย

59. Given $x= sin2570^\circ$ Evaluate $(8x^4+16x^3-6x^2-11x+1)^{2551}.$

[owlpenguin]

ข้อ 56 นี่อสมการจะเป็นสมการเมื่อใดครับ?
ข้อ 58 นี่เหนื่อยจัง...

Solution No.58

$(tanx+tan4x)+(tan2x+tan3x)=0$
$\frac{sinxcos4x+sin4xcosx}{cosxcos4x}+\frac{sin2xcos3x+sin3xcos2x}{cos2xcos3x}=0$
$sin5x(\frac{1}{cosxcos4x}+\frac{1}{cos2xcos3x})=0$
$sin5x(\frac{cosxcos4x+cos2xcos3x}{cosxcos2xcos3xcos4x})=0$
$\therefore sin5x=0$ $\bigvee$ $cosxcos4x+cos2xcos3x=0$ and $cosxcos2xcos3xcos4x\not =0$ which implies $cosx\not =0$
If $sin5x=0$ then $5x=k\pi$ for some $k\in\mathbb{Z}$
If $sin5x\not =0$ then,
$cosxcos4x+cos2xcos3x=0$
$cosx(2cos^22x-1)+cos2x(4cos^3x-3cosx)=0$
$2cosxcos^22x-cosx+4cos2xcos^3x-3cosxcos2x=0$
$cosx(2cos^22x-1+4cos2xcos^2x-3cos2x)=0$
$cosx(2cos^22x-1+2cos2x(1+cos2x)-3cos2x)=0$
$cosx(4cos^22x-cos2x-1)=0$
but from $cosx\not =0$,
$\therefore 4cos^22x-cos2x-1=0$
$\cos2x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{8}\rightarrow 8cos2x=1\pm\sqrt{17}$

$\therefore$ If $tanx+tan2x+tan3x+tan4x=0$ then $5x=k\pi$ for some $k\in\mathbb{Z}$ or
$8cos2x=1\pm\sqrt{17}$

[Brownian]

ข้อ 56 นี่อสมการจะเป็นสมการเมื่อใดครับ?

เป็นสมการเมื่อ x = 0 ครับ

[owlpenguin]

59.

Solution:

จาก $cos3x=4cos^3x-3cosx$
$\therefore cos120=4cos^340-3cos40$
$8cos^340-6cos40+1=0$
จาก $x=sin2570^{\circ}=cos40^{\circ}$
ดังนั้น $8x^3-6x+1=0$
และจาก $8x^4+16x^3-6x^2-11x+1=x(8x^3-6x+1)+2(8x^3-6x+1)-1=(x+2)(8x^3-6x+1)-1=-1$
$\therefore (8x^4+16x^3-6x^2-11x+1)^{2551}=(-1)^{2551}=-1$

[Brownian]

60. Solve the system $$\frac{sinx}{a} = \frac{siny}{b} = \frac{sinz}{c}$$ and $x + y + z = \pi$

[Brownian]

ข้อ 59 ถูกแล้วครับ
61. จงแสดงว่า
$$\tan\alpha + \frac{1}{2}\tan\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{4}\tan\frac{\alpha}{4} + ... + \frac{1}{2^n}\tan\frac{\alpha}{2^n} = \frac{1}{2^n}\cot\frac{\alpha}{2^n}-2\cot 2\alpha$$

62. Compute the sum
$$\sum_{k = 1}^{n} \arctan\frac{2k}{2+k^2+k^4}$$

63. Solve the system
$$\sum_{i=1}^{n-1}x_i\sin\frac{i\pi}{n} = a_1$$
$$\sum_{i=1}^{n-1}x_i\sin\frac{2i\pi}{n} = a_2$$
$$\sum_{i=1}^{n-1}x_i\sin\frac{3i\pi}{n} = a_3$$

.....................

$$\sum_{i=1}^{n-1}x_i\sin\frac{(n-1)i\pi}{n} = a_{n-1}$$

64. กำหนดให้ $\phi \in [0,2\pi]$ จงแก้สมการ
$$(\sin 3\phi \sin 6\phi)^3+(\sin \phi \sin 2\phi)^3 = (\sin 4\phi \sin 5\phi)^3$$

65. กำหนดให้ \[z = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}+1)i}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}-1)i}\] จงหา \[\frac{z^{2551^{2552}}}{z^{2007^{2008}}}\]

[owlpenguin]

ทำไมโจทย์มันโหดร้ายจังครับ...
64.

Solution:

ขอเปลี่ยน $\phi$ เป็น $x$ เพื่อความสะดวกในการพิมพ์
จะได้ว่า $(sin3xsin6x)^3+(sinxsin2x)^3=(sin4xsin5x)^3$
$(\frac{cos3x -cos9x}{2})^3+(\frac{cosx-cos3x}{2})^3=(\frac{cosx-cos9x}{2})^3$
$(cos3x-cos9x)^3+(cosx-cos3x)^3=(cosx-cos9x)^3$
ให้ $cos3x-cos9x=a, cosx-cos3x=b$ ได้ว่า
$a^3+b^3=(a+b)^3$
$3ab(a+b)=0$
ดังนั้น $cos3x-cos9x=0$ หรือ $cosx-cos3x=0$ หรือ $cosx-cos9x=0$
ถ้า $cos3x-cos9x=0$
จะได้ $cos3x=4cos^33x-3cos3x\rightarrow 4cos3x(cos^23x-1)=0$ นั่นคือ $x=\frac{k\pi}{6}$ สำหรับ $k=0,1,2,...,12$
ถ้า $cosx-cos3x=0$
ทำในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $x=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$ ซึ่งจะพบว่ามันซ้ำกับในกรณีแรกทั้งหมด
ถ้า $cosx-cos9x=0$
สุดท้ายจะกระจายได้ $256cos^9x-576cos^7x+432cos^5x-120cos^3x+8cosx=0$
จัดการแยกตัวประกอบ(อย่างไม่น่าเชื่อ)ได้ว่าจะสมมูลกับ
$cosx(cosx+1)(cosx-1)(cosx+\frac{1}{\sqrt{2}})(cosx-\frac{1}{\sqrt{2}})(cosx-\frac{1+\sqrt{5}}{4})(cosx+\frac{1+\sqrt{5}}{4})(cosx-\frac{1-\sqrt{5}}{4})(cosx+\frac{1-\sqrt{5}}{4})=0$
ไ้ด้ (ขอตอบเป็นองศานะครับ) $x=90,270,180,0,360,135,225,45,315,144,216,36,324,72,288,108,252$
ทั้งหมด(ขอตอบเป็นองศานะครับ)คือ $x=0,30,36,45,60,72,90,108,120,135,144,150,180,210,216,225,240,252,270,288,300,315,324,330,360$

61

Hint

Induction บน n ครับ

[Brownian]

ข้อ 64 เป็นข้อที่ผมคิดขึ้นมาเองครับ ความจริงมันมีเทคนิคในการทำนิดหน่อย ไม่จำเป็นต้องแยก factor ขนาดนั้นหรอกครับ (คุณ owlpenguin สุดยอดจริงๆ)
แต่ตรงบรรทัดที่ว่า $\cos x - \cos 9x = 0$ ทำได้อีกวิธีนึงนะครับ คือ
$\cos x - \cos 9x = 0 \Rightarrow \sin 5x \sin 4x = 0 \Rightarrow x = \frac{n\pi}{5}, \frac{n\pi}{4} , n\in \mathbb{Z}$

Hint ข้อ 64

Identity: $a+b+c=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3 = 3abc$

เฉลยข้อ 64(ในแบบของผม)

เพราะว่า $\sin 3\phi\sin 6\phi + \sin\phi\sin 2\phi - \sin 4\phi\sin 5\phi = 0$ จึงได้ว่า
$$(\sin 3\phi\sin 6\phi)^3+(\sin\phi\sin 2\phi)^3+(-\sin 4\phi\sin 5\phi)^3 = 3(\sin 3\phi\sin 6\phi)(\sin\phi\sin 2\phi)(-\sin 4\phi\sin 5\phi) = -3\sin\phi\sin 2\phi\sin 3\phi\sin 4\phi\sin 5\phi\sin 6\phi$$
ดังนั้น คำตอบของสมการคือ คำตอบของ
$$\sin\phi\sin 2\phi\sin 3\phi\sin 4\phi\sin 5\phi\sin 6\phi = 0$$
ซึ่ง ก็คือ $\phi = \frac{n\pi}{k}$ โดยที่ $k=1, 2, 3, 4, 5, 6$ ซึ่งจะมีคำตอบบางตัวซ้ำกัน และ เราเลือกจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ $0\leqslant\phi\leqslant 2\pi$ ครับ

ข้อ 61 ยังมีวิธีอื่นนอกจาก Induction นะครับ

[owlpenguin]

ข้อ 60

Solution

$\frac{sinz}{c}=\frac{sin(x+y)}{c}$
เทียบแต่ละคู่ได้ว่า
$asiny=bsinx$
$csinx=asinxcosy+asinycosx\rightarrow csinx=asinxcosy+bsinxcosx$
$csiny=bsinxcosy+bsinycosx\rightarrow csiny=asinycosy+bsinycosx$
$\therefore c(sinx+siny)=acosy(sinx+siny)+bcosx(sinx+siny)$
แต่จาก $x+y+z=\pi\rightarrow \therefore sinx+siny\not =0$
ดังนั้นจะได้ว่า $c=acosy+bcosx$
จาก $\frac{sinx}{a}=\frac{siny}{b}\rightarrow \therefore \frac{sinx}{a}=\frac{siny}{b}=\frac{sinx+siny}{a+b}$
$\therefore \frac{sinx+siny}{a+b}=\frac{sin(x+y)}{acosy+bcosx}$
คูณกระจายได้ว่า
$asinxcosy+bsinxcosx+asinycosy+bsinycosx=asinxcosy+asinycosx+bsinxcosy+bsinycosx$
$bsinxcosx+asinycosy=asinycosx+bsinxcosy$
$asiny(cosy-cosx)=bsinx(cosy-cosx)$
แต่จาก $asiny=bsinx\not =0$
$\therefore cosx=cosy\rightarrow x=y$
จะได้อีกว่า $a=b, c=2acosx, z=\pi-2x$
จาก $c=2acosx\rightarrow cosx=\frac{c}{2a}\rightarrow x=arccos(\frac{c}{2a})$ (ซึ่งได้เนี่องจาก $0\leq arccosk\leq\pi$)
และจาก $x=y\rightarrow\therefore y=arccos(\frac{c}{2a})$
และจาก $z=\pi-2x\rightarrow\therefore z=\pi-2arccos(\frac{c}{2a})=\pi-arccos(\frac{c^2}{2a^2}-1)$
ดังนั้น $x=y=arccos(\frac{c}{2a}), z=\pi-arccos(\frac{c^2}{2a^2}-1)$

ทำผิดครับ

[Brownian]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

ข้อ 60 นี่ให้หาอะไรครับ?

ข้อ 60 ให้หาค่าของ x, y และ z ในรูปของตัวแปร a,b, c ครับ

[owlpenguin]

แก้ Solution ข้อ 60 ในความเห็นที่ 163 นะครับ