Calculus Marathon

[nooonuii]

47. จงหาค่าของ $$\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\cdots }$$

[Mastermander]

ผมคิดได้แบบนี้อะครับ

$$S=\int_0^1 \frac{1+x+x^2+x^3-x^4-x^5-x^6-x^7}{1-x^8}\ dx$$

Compute by Mathematica

$$\frac{(1+2\sqrt2)\pi+\ln 4}{8}$$

[passer-by]

อธิบายเพิ่มเติมจากน้อง Mastermander นะครับ

เราสามารถเขียน integrand ได้ใหม่เป็น $\frac{1+x+x^2+x^3}{1+x^4} $ (โดยดึงตัวร่วมและใช้ผลต่างกำลังสอง)

จากนั้นก็ integrate แยก 3 ส่วนดังนี้ครับ

$$ S= \int_0^1 \frac{1+x^2}{1+x^4}\, dx + \int_0^1 \frac{x}{1+x^4}\, dx +\int_0^1 \frac{x^3}{1+x^4}\, dx $$

เทอมที่ 2 กับ 3 คงจะ integrate ได้ไม่ยากนัก ส่วนเทอมที่ 1 ให้นำ $x^2$ หารทั้งเศษและส่วนก่อน แล้วจึงให้ $ u= x-\frac{1}{x} $ ....สุดท้ายจะสามารถเปลี่ยนให้กลายเป็น $$ \int_{-\infty}^0 \frac{1}{u^2+2}\, du $$ ซึ่งอินทิเกรตได้อย่างง่ายดาย

[Mastermander]

ขอบคุณคุณ passer-by มากครับ ที่ช่วยแนะนำทางที่ดีกว่า

ตอนแรกผม partial fraction พอเห็นแล้วก็...กดเครื่องเลยดีกว่า

48. คำนวน
$$\int _0^1 \int_0^1 \frac{1}{1-xy} \ dxdy$$

[nooonuii]

เป็นเทคนิคการเปลี่ยนตัวแปรที่น่าทึ่งจริงๆครับคุณ passer-by

48. คงต้องใช้ Fubini's Theorem อีกแล้วครับ

$\displaystyle{ \int_0^1\int_0^1 \frac{1}{1-xy}dxdy }$
$\displaystyle{ = \int_0^1(\int_0^1 \frac{1}{1-xy}dx) }dy$
$\displaystyle{ = - \int_0^1 \frac{\ln{(1-y)}}{y} dy }$
$\displaystyle{ = \int_0^1 \frac{1}{y}(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n}) dy }$
$\displaystyle{ = \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^1 \frac{y^{n-1}}{n} dy }$
$\displaystyle{ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} }$
$\displaystyle{ = \frac{\pi^2}{6} }$

[Punk]

เปลี่ยนเป็นแนวอนุพันธ์บ้างดีกว่า (ขอฉวยโอกาศแทน nooonuii แล้วกัน)

49. ให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันค่าจริงนิยามบนช่วงปิด $[0,1]$ ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับ และสอดคล้องสมการ
\[
f''(x)+xf'(x)=(f(x))^2
\]
และ $f(0)=f(1)=0\,\,$ จงพิสูจน์ว่า $f(x)\equiv0$

(ไม่เกินความรู้ Calculus 1 แน่นอนครับผม)

[nooonuii]

เพิ่งเห็นว่ามีโจทย์ของพี่ Punk ครับ งั้นแถมข้อนี้ด้วยละกัน
50. จงหาค่าของ
$$\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3}{(4n)!} +\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(4n+1)!}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(4n+2)!}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(4n+3)!}}$$

[Mastermander]

$$ BesselI[-\frac{1}{2},1]$$
$$ BesselJ[-\frac{1}{2},1]$$

มันคืออะไรครับ (ผลจากการแอบกดเครื่องมา)

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
$$ BesselI[-\frac{1}{2},1]$$
$$ BesselJ[-\frac{1}{2},1]$$

มันคืออะไรครับ (ผลจากการแอบกดเครื่องมา)

น่าจะหมายถึง Bessel function ครับ I คือ first kind และ J คือ second kind

[Mastermander]

เห็นคำตอบแล้วผมคงทำข้อนี้ไม่ได้หรอกครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
เห็นคำตอบแล้วผมคงทำข้อนี้ไม่ได้หรอกครับ

คำตอบไม่ได้ยากอย่างที่แอบถาม mathematica มาหรอกครับ ใช้ความสามารถของมนุษย์แก้ได้
ความฉลาดของผมไม่สามารถสร้างโจทย์ที่ผมแก้ไม่ได้ครับ
ถ้าผมไม่ได้คิดอะไรผิดนะครับ เพราะเป็นโจทย์ที่ผมตั้งเอง

[warut]

ตอนแรกนึกว่าโจทย์ของคุณ nooonuii ผิด แต่ตอนนี้คิดออกแล้วครับว่าคำตอบคือ $$ e + \frac1e + \sin 1 + \cos 1 $$ เป็นโจทย์ที่สวยงามมากครับ

[Mastermander]

หลังจากที่กด Mathematica เห็นตอบก็..เลิกล้มความคิดที่จะทำ

แต่พอมาถามน้องเปิ้ล...กลับได้คำตอบที่ง่ายกว่า

[Mastermander]

51.$$ \frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}+2y=4e^{-x}\sec^3x $$
when$\quad; y(0)=1\quad,y'(0)=0$
Determine $\;y(x)$

[M@gpie]

ปัญหา ODE ข้อนี้ไม่น่ารวมเป็น Calculus นะครับ อิอิ แถมยังป่าเถื่อนไม่เบาทีเดียวครับ หุหุ
\[ y''(x) + 2y'(x)+2y(x)=4e^{-x}\sec^3 x\]
พิจารณากรณี Homogeneous \[ y''(x) + 2y'(x)+2y(x) = 0 \]
ให้ $y=e^{mx}$ จะได้ \[ m^2+2n+2=0 \rightarrow m= -1\pm j\]
ได้ Complementrary solution เป็น \[ y_c(x) = c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\]
โดยที่ \[ y_1(x) = e^{-x}\cos x , \quad y_2(x)=e^{-x} \sin x\]
หา particular solution โดยวิธีการ parameter variation โดย $ y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)$
หา $u_1(x), u_2(x)$ จาก
\[ \bmatrix{y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2}\bmatrix{u_1' \\ u'_2 } = \bmatrix{0 \\ 4e^{-x} \sec^3x }\]
แก้สมการมา (ถ้าผมทำไม่ผิดจะได้)
\[ u_1(x) = -2\sec ^2 x, \quad \quad u_2(x)=4\tan x\]
ดังนั้น \[ y(x) = y_c(x)+y_p(x) = e^{-x}(c_1\cos x+ c_2 \sin x) -2e^{-x}\cos x \sec^2 x +4e^{-x}\tan x\sin x\]
หาค่า $c_1,c_2$ จากการแทนค่า initial condition $y(0)=1,y'(0)=0$ ครับ (ทำต่อเองนะครับกระผมหมดแรงแล้ว แหะๆ)