marathon:ม.ปลาย

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

อยากรู้ที่มาของสูตรจังครับ

แนวคิดของผมก็ไม่มีอะีไรมากครับ

$a_1 = 1+2 = (1+2) - (0) $

$a_2 = 3+4+5+6 = (1+2+3+4+5+6) - (1+2) $

$a_3 = 7+8+9+10+11+12 = (1+2+3+...+12) - (1+2+...+6) $

พิจารณาลำดับ $2, 6, 12, ...$ จะมีพจน์ทั่วไปคือ $i^2+i$

ดังนั้นลำดับ $0, 2, 6, ... $ จะมีพจน์ทั่วไปคือ $(i-1)^2+(i-1) = i^2-i$

จากนั้นก็หาสูตรพจน์ทั่วไปของอนุกรมซิกมา i ตามปกติ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ★★★☆☆

แนวคิดของผมก็ไม่มีอะีไรมากครับ

$a_1 = 1+2 = (1+2) - (0) $

$a_2 = 3+4+5+6 = (1+2+3+4+5+6) - (1+2) $

$a_3 = 7+8+9+10+11+12 = (1+2+3+...+12) - (1+2+...+6) $

พิจารณาลำดับ $2, 6, 12, ...$ จะมีพจน์ทั่วไปคือ $i^2+i$

ดังนั้นลำดับ $0, 2, 6, ... $ จะมีพจน์ทั่วไปคือ $(i-1)^2+(i-1) = i^2-i$

จากนั้นก็หาสูตรพจน์ทั่วไปของอนุกรมซิกมา i ตามปกติ

โอ้ ขอบคุณมากครับ ได้อะไรเยอะเลยครับ
ถ้ามองโจทย์ออกก็ง่ายไปเลยนะครับเนี่ย แล้วเรื่องตัวเลือกนี่เห็นด้วยเลยครับ
ตอนแรกว่าจะไม่ลงตัวเลือกแล้ว แต่กลัวจะไปไม่ถูก ตั้งข้อต่อไปได้เลยครับ

[★★★☆☆]

ผมไม่ค่อยได้ตุนโจทย์เอาไว้ครับ ขอตั้งครั้งเดียว 2 ข้อเลยแล้วกัน ถ้าร่วมสนุกอีกผมขอยกสิทธิ์ให้แก่ใครก็ได้ที่จะตั้งปัญหาข้อต่อไปแทนผมก็แล้วกันนะครับ

1. จงแก้สมการ $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x+(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = (\sqrt{5})^x$

2. จงแก้อสมการ $(\frac{12}{5})^x+(\frac{15}{4})^x+(\frac{20}{3})^x \ge 3^x + 4^x + 5^x$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ 1 ผมเขียนกราฟคร่าวๆ แล้วไม่ตัดกันเลยครับ
ข้อ 1 ไม่มีค่า x ที่เป็นไปได้ครับ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ข้อ 1 ผมเขียนกราฟคร่าวๆ แล้วไม่ตัดกันเลยครับ
ข้อ 1 ไม่มีค่า x ที่เป็นไปได้ครับ

ใช่แล้วครับ คำตอบคือไม่มีผลเฉลย แต่ถ้าจะให้สมบูรณ์ คงต้องให้เหตุผลโดยใช้ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องครับ.

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ★★★☆☆

1. จงแก้สมการ $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x+(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = (\sqrt{5})^x$

พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $\sqrt{3}+\sqrt{2}>\sqrt{5}>\dfrac{1}{\sqrt{5}}$


ถ้า $x\geq 0$ จะได้ว่า

$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x+(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x>(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~>(\sqrt{5})^x$

ถ้า $x<0$ จะได้ว่า

$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x+(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-x}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{-x}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~>(\sqrt{5})^{-x}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~>\Big(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Big)^{-x}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=5^x$

[★★★☆☆]

วิธีคิดของผมนะครับ

นำ $(\sqrt{5})^x$ หารตลอด จะได้

$(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}})^x + (\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}})^x = 1$

สมมติให้

$p = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ แล้ว $0 < p < 1$ แล้ว $p^x$ เป็นฟังก์ชันลด

$q = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ แล้ว $q > 1$ แล้ว $q^x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม

$p^x+q^x=1$

กรณีที่ 1, $x \ge 0$ จะำได้ $0 < p^x \le 1$ , $q^x \ge 1$ ดังนั้น $p^x + q^x > 1$

กรณีที่ 2, $x < 0$ จะำได้ $p^x > 1$ , $0 < q^x < 1$ ดังนั้น $p^x + q^x > 1$ เช่นกัน

[poper]

ข้อ 2 นี่เห็นแน่ๆแล้วว่ามี 0 เป็นคำตอบหนึ่งแน่นอน คิดมาหลายวันแล้วก้ไม่ออกสักทีว่ามีคำตอบอื่นอีกมั้ยอะไรบ้าง
ถ้าให้ $3^x=a,4^x=b,5^x=c$ แล้วทำแบบนี้
$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geqslant a+b+c$
$({ab)}^2+{(ac)}^2+{(bc)}^2\geqslant abc(a+b+c)$
$a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-a^2bc-ab^2c-abc^2\geqslant 0$
$(b^2-bc+c^2)a^2-bc(b+c)a^2+b^2c^2\geqslant 0$
หา discriminant ได้
$D=-3b^4c^2+6b^3c^3-3b^2c^4=-3b^2c^2{(b-c)}^2\leqslant 0$
ดังนั้นจะสรุปได้มั้ยครับว่าอสมการเป็นจริงทุกค่า a ทำให้เป็นจริงทุกค่า x ด้วย (เพราะไม่ว่า b,c จะเป็นอะไรจะทำให้อสมการมากกว่า 0 เสมอ)
และจะเท่ากับ 0 เมื่อ b=c ซึ่งจะทำให้ x=0
แต่ก็ยัง งงงง อยู่ รบกวนคุณสามดาวช่วยด้วยครับ ไม่ไหวแล้ว

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ถ้าให้ $3^x=a,4^x=b,5^x=c$ แล้วทำแบบนี้
$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geqslant a+b+c$

อ๋อใช้อสมการนี้นี่เอง คิดอยู่ตั้งนาน
ถูกแล้วล่ะครับ

อีกวิธีคือ สร้าง SOS แบบนี้

$\dfrac{1}{2}[(ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2]\geq 0$

หรือถ้าใครรู้จัก Cauchy - Schwarz inequality ก็พิสูจน์ได้ไม่ยาก

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

อ๋อใช้อสมการนี้นี่เอง คิดอยู่ตั้งนาน
ถูกแล้วล่ะครับ

อีกวิธีคือ สร้าง SOS แบบนี้

$\dfrac{1}{2}[(ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2]\geq 0$

หรือถ้าใครรู้จัก Cauchy - Schwarz inequality ก็พิสูจน์ได้ไม่ยาก

อ้อ ผมก็คิดอยู่เหมือนกันว่ามีอสมการนี้อยู่แต่ไม่แน่ใจเท่าไหร่ เลยทำไปแบบงงๆ
ขอบคุณคุณ nooonuii ครับ แสดงว่าอสมการนี้เป็นเอกลักษณ์สินะครับ

[nooonuii]

ข้อต่อไปครับ

จงแก้สมการ

$$\dfrac{x+3}{x+2}+\dfrac{x+4}{x+3}+\dfrac{x+6}{x+5}=\dfrac{x-1}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-3}+\dfrac{x-4}{x-5}$$

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

อ๋อใช้อสมการนี้นี่เอง คิดอยู่ตั้งนาน
ถูกแล้วล่ะครับ

อีกวิธีคือ สร้าง SOS แบบนี้

$\dfrac{1}{2}[(ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2]\geq 0$

หรือถ้าใครรู้จัก Cauchy - Schwarz inequality ก็พิสูจน์ได้ไม่ยาก

ไม่ได้มาตอบคำถามเพิ่ม แต่มาขยายความตรง Cauchy schwarz ให้ครับ

$ (\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b})^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2$

[Keehlzver]

รบกวนช่วย Check ด้วยนะครับ

ข้อของพี่ Nooonuii

$$\dfrac{x+3}{x+2}+\dfrac{x+4}{x+3}+\dfrac{x+6}{x+5}=\dfrac{x-1}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-3}+\dfrac{x-4}{x-5}$$

เเจกหารป.6 ออกมา $\frac{(x+2)+1}{x+2}=1+\frac{1}{x+2}$ ข้างขวาก็ $\frac{(x-2)+1}{x-2}=1+\frac{1}{x-2}$ ทำเเบบนี้ไปทุกเทอม โจทย์จะทอนความยากลงเหลือเเค่

$$\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x-5}$$

$$(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2})+(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3})+(\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x+5})=\frac{(x+2)-(x-2)}{x^2-4}+\frac{(x+3)-(x-3)}{x^2-9}+\frac{(x+5)-(x-5)}{x^2-25}=0$$

ทีนี้ก็ร่วมส่วนป.6อีกครั้งหนึ่ง

$$\frac{4(x^2-9)(x^2-25)+6(x^2-4)(x^2-25)+10(x^2-4)(x^2-4)}{(x^2-9)(x^2-9)(x^2-25)}=0$$

เมื่อ $x\not= \pm 2,\pm 3,\pm 5$ กระจายออกมา

$x^4-22x^2+93=0$ เเก้หา $x$ ออกมาได้ $x=\pm\sqrt{11\pm 2\sqrt{7}}$ เป็นคำตอบ

จงหาจำนวนจริง $m$ ที่ทำให้ $m^2+5,m^2-5$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ (โจทย์อาจจะเก่ามากๆนะครับ เพราะโจทย์ข้อนี้เป็นโจทย์ที่ฟีโบนักชีโดนถาม )

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อต่อไปครับ

จงแก้สมการ

$$\dfrac{x+3}{x+2}+\dfrac{x+4}{x+3}+\dfrac{x+6}{x+5}=\dfrac{x-1}{x-2}+\dfrac{x-2}{x-3}+\dfrac{x-4}{x-5}$$

$$1+\frac{1}{x+2}+1+\frac{1}{x+3}+1+\frac{1}{x+5}=1+\frac{1}{x-2}+1+\frac{1}{x-3}+1+\frac{1}{x-5}$$
$$\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x-5}=0$$
$$\frac{4}{x^2-4}+\frac{6}{x^2-9}+\frac{10}{x^2-25}=0$$
$$2x^4-68x^2+450+3x^4-87x^2+300+5x^4-65x^2+180=0$$
$$x^4-22x^2+93=0$$
$$x^2=11\pm2\sqrt{7}$$
$$x=\pm\sqrt{11\pm2\sqrt{7}}$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

จงหาจำนวนจริง $m$ ที่ทำให้ $m^2+5,m^2-5$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

กำลังสองของจำนวนชนิดใดครับ

ถ้าตอบ $m\geq \sqrt{5}$ หรือ $m\leq -\sqrt{5}$ จะได้หรือไม่

เพราะ $m^2+5=\Big(\sqrt{m^2+5}\Big)^2$ และ $m^2-5=\Big(\sqrt{m^2-5}\Big)^2$

แต่คิดว่าไม่ใช่อยู่แล้วล่ะ