Calculus Marathon

[Timestopper_STG]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
$$\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = a \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a_n} = a .}$$

อันนี้เป็นความจริงที่เขายอมรับกันทั่วไปเลยรึเปล่าครับเผื่อจะได้เอาไปใช้บ้าง

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:

อันนี้เป็นความจริงที่เขายอมรับกันทั่วไปเลยรึเปล่าครับเผื่อจะได้เอาไปใช้บ้าง

เป็นทฤษฎีบทครับ ลืมบอกไปว่าใช้ได้เฉพาะลำดับของจำนวนจริงบวกครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
57.

โดยการแทนค่าตัวแปร $u=x-n\pi$ จะได้ว่า $\displaystyle{\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} e^{-3x}f(x)dx=e^{-3n\pi}I}$
ดังนั้น
$$\displaystyle{ \int_0^{\infty} e^{-3x}f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\int_0^{n\pi}e^{-3x}f(x)dx = \lim_{n\to\infty} \bigg( \sum_{k=0}^{n-1} e^{-3\pi k}I \bigg)} $$
$$\displaystyle{ = \bigg ( \sum_{k=0}^{\infty} e^{-3\pi k} \bigg ) I = \bigg( \frac{e^{3\pi}}{e^{3\pi}-1} \bigg) I }$$

[Mastermander]

58.

[nooonuii]

ข้อ 58 นี่เอามาจาก Green Book รึเปล่าครับ ถ้าใช่ผมรอเฉลยละกัน ยังคิดวิธีอื่นไม่ออกเลยครับ

[Mastermander]

ใช่ครับ

รอคำตอบจากท่านอื่นอีก 1 วัน ถ้าไม่มีผู้ตอบจะเฉลยครับ

59.Laplace transformation$$L^{-1}\bigg\{\frac{s}{(s^2+a^2)^2}\bigg\}$$

[M@gpie]

อ่าว น้อง Mastermander รวมการแปลงลาปลาซไว้ในกระทู้นี้เลยเหรอครับ อิอิ
ข้อ 58 คิดไม่ออกครับ ขอข้อ 59 ดีกว่า
Consider \[ f(t) = \sin (at) \Rightarrow L\{ f(t)\} = \frac{a}{s^2+a^2}\]
and \[ L\{ tf(t)\} = -\frac{dF(s)}{ds} \]
then \[ L\{ t\sin (at) \} = -\frac{d}{ds} \left( \frac{a}{s^2+a^2}\right) = \frac{2as}{(s^2+a^2)^2}\]
finally \[ L^{-1} \left\{ \frac{s}{(s^2+a^2)^2} \right\} = \frac{t}{2a}\sin (at) \]

[Mastermander]

[M@gpie]

ขอแจม เอาแบบ Simple มั่งนะครับ
จงหาค่าลิมิตโดยใช้ไม่ใช้กฏของโลปิตาล หรือ อนุกรมเทย์เลอร์ นะครับ อิอิ \[ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sinh x}{x}\]

[nooonuii]

คิดว่าข้อข้างบนคงมีคนมาตอบเร็วๆนี้ ผมต่อให้อีกข้อละกันครับ

61. จงหาค่า $a\in (0,1)$ ซึ่งทำให้ $$\displaystyle{ \int_a^{2a} e^{-x^2} dx }$$
มีค่าสูงสุด

[Mastermander]

$a=\sqrt{\ln2}$

ใช่รึเปล่าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
$a=\sqrt{\ln2}$

ใช่รึเปล่าครับ

ยังไม่ใช่ครับ

[Mastermander]

ยอมแพ้ครับ

[nooonuii]

Hint : Let $\displaystyle{ f(a)= \int_0^a e^{-x^2} dx}$. Then write the given integral in terms of the function $f$ and use the Fundamental Theorem of Calculus to find the maximum.

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
ขอแจม เอาแบบ Simple มั่งนะครับ
60. จงหาค่าลิมิตโดยใช้ไม่ใช้กฏของโลปิตาล หรือ อนุกรมเทย์เลอร์ นะครับ อิอิ \[ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sinh x}{x}\]

ข้อนี้ผมทำไม่ได้ แต่สนใจคำตอบมากครับ ถ้าไม่มีใครคิดจะทำ คุณ M@gpie ช่วยเฉลยให้หน่อยนะครับ

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
61. จงหาค่า $a\in (0,1)$ ซึ่งทำให้ $$\displaystyle{ \int_a^{2a} e^{-x^2} dx }$$
มีค่าสูงสุด

ข้อนี้ไม่ยากครับ ถ้าผมคิดเลขไม่ผิด คำตอบคือ $$ \sqrt{ \frac{\ln2}{3} }$$ แต่ผมคงไม่มีเวลาแสดงวิธีทำหรอกนะครับ เพราะยังติดคิวอยู่อีกหลายกระทู้