|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#181
15 พฤษภาคม 2011, 08:33
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ลืมไปว่าวิธีที่ผมใช้ต้องสมมติว่า $A,B,C$ เป็นมุมแหลมด้วยครับ แล้วก็ใช้ $f(x)=\sin{x}$ เป็น concave function บน $[0,\pi]$ แต่สำหรับกรณีทั่วไปลองพิสูจน์ว่า $\dfrac{\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}}{\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}}=\dfrac{R}{2r}$ แล้วก็ใช้ $R\geq 2r$ ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 
|
|
#182
15 พฤษภาคม 2011, 12:29
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
$(*) \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}=2\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}=\frac{2\Delta}{bc}$ $(**) \Delta =\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$ กำหนด $R$ เเทนรัศมีวงกลมที่ ล้อมรอบ $\Delta$ และ $r$ เเทนรัศทีของวงกลมเเนบมน $\Delta$ $a,b,c$ เเทน ความยาวด้านของด้านตรงข้ามมุม ของ มุม $A,B,C$ ตามลำดับ จะได้ $$\frac{R}{2r}=\frac{abc(a+b+c)}{16\Delta^2}$$ เเละ จาก $(*)$ จะได้ $\sin A+\sin B+\sin C=\frac{2\Delta(a+b+c)}{abc}$ นั่นคือ เราต้องการพิสจน์ $\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=\frac{32\Delta^3}{a^2b^2c^2}$ พิจารณา จากกฎของ Cosine เเละ $(*)$ $$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=2(\frac{2\Delta}{bc}\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{2\Delta}{ca}\cdot\frac{c^2+a^2-c^2}{2ca}+\frac{2\Delta}{ab}\cdot\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})$$ $$=\frac{2\Delta}{a^2b^2c^2}(2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4))=\frac{32\Delta^3}{a^2b^2c^2}$$ จากนั้น $$\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}=\frac{R}{2r}\ge 1$$ โดย Euler's Formular  ปล. เเล้ว Diff ฟังก์ชัน ตรีโกณอย่างไรครับ 
__________________
Vouloir c'est pouvoir
|
|
#184
15 พฤษภาคม 2011, 13:09
|
||||
|
||||
|
จริงๆ ผมซื้อมาเล่มนึงครับ ของ รศ.คนนี้หละครับ
เเต่ไม่ค่อยเข้าใจเลย 555+
__________________
Vouloir c'est pouvoir
|
|
#185
15 พฤษภาคม 2011, 20:40
|
||||
|
||||
|
ตั้งโจทย์ต่อเลยครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir
|
|
#186
15 พฤษภาคม 2011, 21:09
|
|||
|
|||
|
26. ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริง จงหาค่าสูงสุดของ
$\min\{a-b^2,b-c^2,c-d^2,d-a^2\}$ 27. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงโดยที่ $a+b+c=0$ จงพิสูจน์ว่า $|a|+|b|+|c|\leq |a-|b-c||+|b-|c-a||+|c-|a-b||$ 28. ให้ $0<a<1$ จงพิสูจน์ว่า $a+a^{-a}<2$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
|
#187
16 พฤษภาคม 2011, 06:31
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
$$a+a^{-a}<2 \Leftrightarrow a^{a+1}+1<2a^a$$ $$\Leftrightarrow a^a(a-2)+1<1(-1)+1=0$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir
|
|
#188
16 พฤษภาคม 2011, 06:37
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
__________________
Vouloir c'est pouvoir
|
|
#190
16 พฤษภาคม 2011, 14:53
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
ปล. ลองมั่วๆดู ก่อนนะครับ WLOG $a\ge b\ge c\ge d \rightarrow d-a^2 $ เป็นค่าที่น้อยที่สุด $d\leq a\leq a^2$ เมื่อ $a\ge 1 $ หรือ $ a\leq 0$ ให้ค่าที่มากที่สุดของค่าน้อยสุดระหว่าง 4 ตัวนั้นคือ $0$ เเต่ผมว่าถ้า $a,b,c,d\in [0,1]$ น่าจะให้ค่าที่มากกว่าได้ เเต่ทำไม่เป็นครับ ช่วยชี้เเนะด้วยนะครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir
|
|
#191
16 พฤษภาคม 2011, 15:46
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
ผมเขียนไม่ค่อยละเอียดนี้อาจจะเรียกว่า Hint ก็ได้นะครับ (ขี้เกียจเขียนเต็ม  )เราจะพิสูจน์ว่า คำตอบคือ $\frac{1}{4}$ ซึ่งได้ จากการที่ให้ทุกตัวเป็น $\frac{1}{2}$ ขั้นที่ 1 พิจารณากรณีที่ มีอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นลบ -->trivial !! ขั้นที่ 2 พิจารณากรณีที่ min{a,b,c,d}>=1 ขั้นที่ 3 พิจารณากรณีที่ มีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่น้อยกว่า 1 (คร่าวๆนะ) ขั้นที่ 4 ทุกตัวอยู่ในเซต [0,1] ใช้อสมการธรรมดาช่วยและจัดรูปนิดหน่อย
|
|
#192
16 พฤษภาคม 2011, 19:31
|
||||
|
||||
|
ลอง เขียน Soln มาเลยดีกว่าครับ
ผมอ่านไม่ค่อยเข้าใจ เพราะ ผมทำหลายรอบเเล้วมันยังได้เป็น $0$ อีก หรือผมจะสมมุติว่า $a=b=c=d$ จะได้ค่าสูงสุด
__________________
Vouloir c'est pouvoir
|
|
#194
16 พฤษภาคม 2011, 19:46
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
__________________
Vouloir c'est pouvoir
|
| |
|
|
