marathon:ม.ปลาย

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

ไปต่างจังหวัดมาหลายวัน กระทู้นี้เงียบเลยครับ
ปลุกเสียหน่อย
กำหนดให้ $f(x) =\dfrac{x}{1+\dfrac{x}{1+...} } $
จงหา$f'(6)$

$$f(x)=\frac{x}{1+f(x)}$$
$$f'(x)=\frac{1+f(x)-x[1+f(x)]'}{{[1+f(x)]}^2}$$
$${[1+f(x)]}^2f'(x)+xf'(x)=1+f(x)$$
$$f'(x)=\frac{1+f(x)}{{[1+f(x)]}^2+x}$$
$$f'(6)=\frac{1+f(6)}{{[1+f(6)]}^2+6}$$
$f(6)=2$
$$\therefore f'(6)=\frac{1}{5}$$
คิดอีกทีง่ายกว่านิ
$f(x)[1+f(x)]=x$
$f(x)+{[f(x)]}^2=x$
$f'(x)+2f(x)f'(x)=1$
$f'(x)=\frac{1}{1+2f(x)}$
$f'(6)=\frac{1}{5}$

[poper]

$S=\{x\in R|2x^2-6x+11+2\sqrt{x^2-3x+5}=25\}$ แล้วผลบวกของสมาชิกใน S คือเท่าไร

[-InnoXenT-]

กำหนดให้ $A = x^2-3x+5$ จะได้

$2A+1+2\sqrt{A}=25$

$A=9$

$x^2-3x-4=0$

ผลบวก $= 3$

Solve the equation $\sqrt{x-4a+16}=2\sqrt{x-2a+4}-\sqrt{x}$ ,and determine the value of $a$ such that the equation is solvable.

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

Solve the equation $\sqrt{x-4a+16}=2\sqrt{x-2a+4}-\sqrt{x}$ ,and determine the value of $a$ such that the equation is solvable.

เหมือนจะมีค่า a หลายค่า และขึ้นกับค่า x นะครับ
เช่น $a=-2$ได้ $x=1$
$a=-6$ได้ $x=9$
ให้ตอบเป็นรูปทั่วไปหรือครับ

[-InnoXenT-]

ตอนผมทำข้อนี้ ผม solve ออกมาแล้ว ได้ $x = ??$ ค่านึง ที่ติด $a$ ไว้ พอลองแทนกลับเข้าไปในสมการ ก็สามารถ หาขอบเขตของค่า $a$ และ $x$ ได้ครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

แต่ผมว่าไม่น่ามีขอบเขตเลยครับ
เช่น $x=100 ได้ a=-20$
$x= 1000000 ได้ a= -2000$
สมการก็ยังเป็นจริงได้นะครับ

[-InnoXenT-]

หาค่าออกมาได้ $x = \frac{a^2}{4}$

ลองแทนค่ากลับเข้าไป จะได้ สมการใหม่

$\left| a \,\right| = \left| 2a-8\,\right| - \left| a-8\,\right|$

แก้สมการนี้จะได้ ว่า มี $a$ ในช่วง $(0,8)$ ใช้ไม่ได้ - -a ถ้าผมแก้ไม่ผิดนะ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

อ้อ หมายถึงให้ตอบเป็นช่วงจำนวน
งั้นผมตั้งต่อนะครับ
ถ้า $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2010)$
จงหา$f'(2010)$

[tongkub]

ให้ $Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)...(x-2009)$

$f(x) = Q(x)(x - 2010)$

$f'(x) = (Q'(x))(x-2010) + (Q(x)(1))$

$f'(2010) = (Q(2010)) + 0)$

$ f'(2010) = 2009! $ ครับ

ขอถามนิดนึงนะครับ พอดีสงสัยมากๆเลยครับ

สมมุติ

$f(x) = x-3 เมื่อ x \leqslant 2 $
$= x^2 - 4x + 3 เมื่อ x >2$

(ขอโทษด้วยนะครับ แบบว่าพิม latex แบบ 2 เงื่อนไขไม่เป็น)

เขาให้หา $\int_{2}^{5}f(x)\,dx$ ผมก็ลองอินทริเกต ปัญหาอยู่ตรง 2 นี่ละครับ รบกวนช่วยชี้แนะด้วยครับว่า ต้องอินทริเกตแยกเงื่อนไข หรือ อินทริเกต แบบใ้ช้เงื่อนไขอันไหนครับ และเพราะเหตุใดครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ฟังก์ชันต่อเนื่องที่x=2นี่ครับ
ก็ใช้เงื่อนไข$f(x)=x^2-4x+3$

[tongkub]

ขอรบกวนอีกทีครับว่า ถ้าไม่ต่อเนื่องจะหาได้ไหมครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

ขอรบกวนอีกทีครับว่า ถ้าไม่ต่อเนื่องจะหาได้ไหมครับ

หาได้บ้างไม่ได้บ้างครับ

เช่น

$f(x)=x,x\leq 2$

$f(x)=\dfrac{1}{(x-2)^2},x>2$

จะได้ว่า $\displaystyle{\int_2^5 f(x)\,dx}$ หาค่าไม่ได้

แบบนี้เรียกกันว่าเป็นอินทิกรัลไม่ตรงแบบ

แต่บางทีก็หาได้ เช่น

$f(x)=x+3,x\leq 2$

$f(x)=x^2-4x+3,x>2$

จะได้

$\displaystyle{\int_2^5 f(x)\,dx=\int_2^5 x^2-4x+3}\,dx$

แต่เอ๊ะเราไม่ได้นิยามฟังก์ชัน $x^2-4x+3$ ที่ $x=2$ นี่แล้วจะได้เหรอ

ทำได้ครับ เนื่องจาก $x^2-4x+3$ มันต่อเนื่องที่ $x=2$ เราก็เติมค่าของ ฟังก์ชันนี้ที่ $x=2$ ได้

หากถามว่าค่าที่เติมเข้าไปนี้มันจะส่งผลต่อค่าอินทิกรัลรึเปล่า ไม่ส่งผลใดๆครับได้เท่าเดิม

เพราะว่าถ้ามองในแง่พื้นที่ใต้กราฟแล้ว การเติมจุดเข้าไปหนึ่งจุดต่อจากของเดิม เวลาหาพื้นที่ใต้กราฟส่วนที่เราเติมเข้าไปจะให้พื้นที่เป็นศูนย์

เนื่องจากมันเป็นอาณาบริเวณที่มีแต่ความสูงแต่ไม่มีความกว้าง(ก็เติมไปจุดเดียว ความกว้างก็เป็นศูนย์)

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

มาตอบไม่ทันครับ มัวไปโพสกระทู้อื่น
ครับ ตามที่คุณnooonuii บอกมันขึ้นกับเงื่อนไขของฟังก์ชันครับ

[tongkub]

ขอบคุณมากๆครับ ผมขอตั้งโจทย์ต่อนะครับ น่าจะง่ายสำหรับทุกๆคนครับ

$ให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อน z^2 + \frac{1}{z^2} = 1 จงหาค่าของ \left|z\,\right| + \left|\,\right.z^2 - 1 \left.\,\right|$

ถามนิดนึงนะครับ ถ้าเป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่องแล้ว

ถ้าผมอยากได้พื้นที่ในช่วง 0 ถึง 5

ผมใช้ $\int_{2}^{5}f(x)dx + \int_{0}^{2}f(x),dx $ ถูกต้องไหมครับ โดยแยกฟังก์ชั่นตามเงื่อนไข

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

ขอบคุณมากๆครับ ผมขอตั้งโจทย์ต่อนะครับ น่าจะง่ายสำหรับทุกๆคนครับ

$ให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อน z^2 + \frac{1}{z^2} = 1 จงหาค่าของ \left|z\,\right| + \left|\,\right.z^2 - 1 \left.\,\right|$

ถามนิดนึงนะครับ ถ้าเป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่องแล้ว

ถ้าผมอยากได้พื้นที่ในช่วง 0 ถึง 5

ผมใช้ $\int_{2}^{5}f(x)dx + \int_{0}^{2}f(x),dx $ ถูกต้องไหมครับ โดยแยกฟังก์ชั่นตามเงื่อนไข

จาก $ z^2 + \frac{1}{z^2} = 1$ จะได้ $z^4-z^2+1=0$
$z^2=\frac{1\pm \sqrt{3}i }{2} $
$\left|\,z^2\right| =1$
จาก$z^4-z^2+1=0$จะได้ $\left|\,\right. z^4\left.\,\right| =\left|\,\right. z^2-1\left.\,\right|$
ดังนั้น $\left|\,\right. z^2-1\left.\,\right|=\left|\,\right. z^2\left.\,\right|^2=1$
ตอบ 1+1=2
และการอินทิเกรท ที่ถามมาก็เข้าใจถูกแล้วครับ