Marathon - มัธยมต้น

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JSompis

โจทย์จากรูป

เมื่อ QA = QB = QC

สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

มี R = AQ = BQ

r จะให้ที่สุดเมื่อสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เป็นหน้าจั่ว (2มุมที่เหลือมุมละ 45 องศา)

ลากไปๆมาๆได้

$cot 22.5องศา = \frac{R}{r}$

$\frac{1}{tan22.5องศา} =\frac{1}{\frac{sin45องศา}{(1+cos45องศา)}} $

$=\frac{1}{\frac{\sqrt2}{(2+\sqrt2)}} = \sqrt{2} + 1$

ตอบข้อ 1 ครับ

_____________________________________________________________________

ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็ม และ $M = (\sqrt{n-2010} )(\sqrt{2553-n} )$
แล้ว $n$ มีค่าได้กี่ค่าที่ทำให้ M เป็นจำนวนจริง

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

จากรูปนี้ใบ้กันเต็มๆเลยว่า สามเหลี่ยมabcเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าไม่ใบ้ ไม่รู้นะเนี๊ยะ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JSompis

โจทย์จากรูป

การจะให้ $\frac{R}{r}$ มีค่าน้อยที่สุด ก็แปลว่า $R$ ต้องมีค่าน้อยที่สุด หรือ$r$ ต้องมีค่ามากที่สุด

เท่าที่มองดู (พิสูจน์ไม่ได้) ว่า $r$ จะมากที่สุดก็ต่อเมื่อ สามเหลี่ยม ABC เป้นสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

ตามรูป

สามเหลี่ยม OBD คล้ายสามเหลี่ยม QBC

$\frac{R}{r} = \frac{\sqrt{2}R }{R - r}$

$R^2 - Rr = \sqrt{2}Rr $

$R^2 = Rr(\sqrt{2} + 1)$

$\frac{R}{r} = \sqrt{2} + 1$

[~ArT_Ty~]

ตั้งต่อเลยครับๆ อยากทำ คันมือครับ 555+

[Ne[S]zA]

ให้รากทั้งสองของสมการ $x^2-63x+k=0$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงหาค่าของ $k$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ให้รากทั้งสองของสมการ $x^2-63x+k=0$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงหาค่าของ $k$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้

เนื่องจาก 63 เป็นจำนวนคี่ จึงต้องมีจำนวนเฉพาะตัวใดตัวหนึ่งเป็นจำนวนคู่

ซึ่งก็คือ 61 และ 2 ดังนั้น $k=122$ ครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169

_____________________________________________________________________

ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็ม และ $M = (\sqrt{n-2010} )(\sqrt{2553-n} )$
แล้ว $n$ มีค่าได้กี่ค่าที่ทำให้ M เป็นจำนวนจริง

$2010 \leqslant n \leqslant 2553 $

$n \in \left[\,\right. 2010,2553 \left.\,\right] $
$n$ มีได้ $544$ ค่า

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

$2010 \leqslant n \leqslant 2553 $

$n \in \left[\,\right. 2010,2553 \left.\,\right] $
$n$ มีได้ $544$ ค่า

ถูกต้องครับ

[Siren-Of-Step]

ผมตั้งโจทย์ต่อ
จงหา $x+y$ จากสมการ $x^2+84x+2008 = y^2$

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

เนื่องจาก 63 เป็นจำนวนคี่ จึงต้องมีจำนวนเฉพาะตัวใดตัวหนึ่งเป็นจำนวนคู่

ซึ่งก็คือ 61 และ 2 ดังนั้น $k=122$ ครับ

งง ครับ ขยายความให้หน่อยได้ไหมครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

งง ครับ ขยายความให้หน่อยได้ไหมครับ

$x^2-63x+k=0$ มีรากของสมการเป็นจำนวนเต็ม2ค่าแล้ว ผลบวกของรากจะเท่ากับ63
ซึ่งเป็นจำนวนคี่ นั่นคือจำนวนเต็ม 2 ตัวบวกกันได้จำนวนคี่จะต้องเป็นจำนวนคี่กับจำนวนคู่เท่านั้น
และรากของสมการกำหนดว่าเป็นจำนวนเฉพาะ แต่มีจำนวนเฉพาะที่เป็นจำนวนคู่จำนวนเดียวเท่านั้นคือ2ดังนั้น
อีกรากนึงจึงเป็น 61 ครับ
แล้ว k ก็คือผลคูณของราก
$\therefore k=61\times2=122$

[~ArT_Ty~]

ผมตั้งคำถามนะครับ

จงทำให้ค่าต่อไปนี้อยู่ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ

$\frac{(2^4+2^2+1)(4^4+4^2+1)(6^4+6^2+1)(8^4+8^2+1)(10^4+10^2+1)}{(3^4+3^2+1)(5^4+5^2+1)(7^4+7^2+1)(9^4+9^2+1)(11^4+11^2+1)} $

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ผมตั้งโจทย์ต่อ
จงหา $x+y$ จากสมการ $x^2+84x+2008 = y^2$

ข้อนี้ยังไม่ได้ทำเลย

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JSompis

ข้อนี้ยังไม่ได้ทำเลย

คุณJSompisไม่ลองทำดูหรือครับ รับรองผมไม่เสียบ

หลับตาเพ่งกษิณ แล้ว อาจมีถึง 4 คำตอบ

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

คุณJSompisไม่ลองทำดูหรือครับ รับรองผมไม่เสียบ

หลับตาเพ่งกษิณ แล้ว อาจมีถึง 4 คำตอบ

ผมทดในกระดาษแล้ว มันยังไม่โผล่มาเลย ข้อนี้เชิญลุงเสียบได้เลย

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ผมตั้งโจทย์ต่อ
จงหา $x+y$ จากสมการ $x^2+84x+2008 = y^2$

ตอนนี้คิดได้แค่นี้
$x = 0$

$y^2=2008$
$y = \pm \sqrt{2008}$

$x+y = \pm \sqrt{2008}$