FFTMO9

[วะฮ่ะฮ่า03]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

เขียนแบบนี้น่าจะเข้าใจมากกว่า
เทียบทีละพจน์
$(n+1)(n+2)...(2n-k) > (k+1)(k+2)...n$
$\dfrac{(2n-k)!}{n!} > \dfrac{n!}{k!}$

เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณครับ

[จูกัดเหลียง]

(ปัตตานี) กำหนดให้ $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง

$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+....+\dfrac{1}{x_n}= n$ จงแสดงว่า

$$x_1x_2^2x_3^3...x_n^n \geq\left(\,\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{n+1}{2n+1}\right)^{\dfrac{n(n+1)}{2}}$$

ไม่ค่อยชัวร์นะครับ - -* assume that $x_1\le x_2...\le x_n$
By Cosidering G.M-H.M $$x_1x_2^2...x_n^n\ge\Big(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{2x_2}+...+\frac{1}{nx_n}\Big)^{n(n+1)/2}$$
and by Chebyshev's and Cauchy's $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{2x_2}+...+\frac{1}{nx_n}\ge \frac{1}{n}\Big(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\Big)\Big(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\Big)\ge \frac{2n}{n+1}$$
จึงเหลือเเค่พิสูจน์ว่า $$\frac{2n}{n+1}\ge \frac{3}{2}\cdot\frac{n+1}{2n+1}\leftrightarrow 5n^2-2n+1\ge 0$$
ซึ่งจริงเสมอ เเต่ผมคิดว่าไม่น่าจะมีวันเกิดสมการอ่ะ - -* เเล้วก็ไม่รู้ว่าassume ได้ไหม 555

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ไม่ค่อยชัวร์นะครับ - -* assume that $x_1\le x_2...\le x_n$
By Cosidering G.M-H.M $$x_1x_2^2...x_n^n\ge\Big(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{2x_2}+...+\frac{1}{nx_n}\Big)^{n(n+1)/2}$$
and by Chebyshev's and Cauchy's $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{2x_2}+...+\frac{1}{nx_n}\ge n\Big(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\Big)\Big(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\Big)\ge \frac{2n}{n+1}$$
จึงเหลือเเค่พิสูจน์ว่า $$\frac{2n}{n+1}\ge \frac{3}{2}\cdot\frac{n+1}{2n+1}\leftrightarrow 5n^2-2n+1\ge 0$$
ซึ่งจริงเสมอ เเต่ผมคิดว่าไม่น่าจะมีวันเกิดสมการอ่ะ - -*

ผมว่ามันก็ไม่เกิดนะครับ ดูวิธีผมบ้าง (สำหรับผมผมว่า สวยมากๆ )

HINT

$\dfrac{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{2x_2}+\dfrac{1}{2x_2}+....+ \dfrac{1}{nx_n}+...+\dfrac{1}{nx_n}}{\dfrac{(n)(n+1)}{2}} \geq \sqrt[\frac{n(n+1}{2}]{\dfrac{1}{x_1}\dfrac{1}{2^2x_2^2}...\dfrac{1}{n^nx_n^n}}$

HINT_1

$\dfrac{1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2}{\dfrac{(n)(n+1)}{2}} \geq \sqrt[\frac{n(n+1)}{2} ]{12^23^3...n^n}$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

ผมว่ามันก็ไม่เกิดนะครับ ดูวิธีผมบ้าง (สำหรับผมผมว่า สวยมากๆ )

HINT

$\dfrac{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{2x_2}+\dfrac{1}{2x_2}+....+ \dfrac{1}{nx_n}+...+\dfrac{1}{nx_n}}{\dfrac{(n)(n+1)}{2}} \geq \sqrt[\frac{n(n+1}{2}]{\dfrac{1}{x_1}\dfrac{1}{2^2x_2^2}...\dfrac{1}{n^nx_n^n}}$

HINT_1

$\dfrac{1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2}{\dfrac{(n)(n+1)}{2}} \geq \sqrt[\frac{n(n+1)}{2} ]{12^23^3...n^n}$

-0- เจ๋งมากก 555 จัดมาอีกครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

ขอแหวกแนวไปเรขา นิดนึงนะครับเดี๋ยวสถานการณ์ (ของผม) มันจะตึงเครียดไปมากกว่านี้

------------------------------------------------------------------------

1. (TMO 8 วันแรก) กำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก $ABC$ โดยมี $C$ เป็นมุมฉาก

ให้จุด D เป็นจุดภายในของรูปสามเหลี่ยม $ABC$ (จุด D ไม่อยู่บนได้ใดของรูปสามเหลี่ยม)

เส้นตรง $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BD}$ และ $\overrightarrow{CD}$ ตัดด้าน$ BC,AC $และ$ AB $ที่จุด$ P,Q$ และ$ R$ ตามลำดับ

ให้ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $PQ$

และให้$ B\hat RP=C\hat RP$ แล้วจงพิสูจน์ว่า $MR=MC$

Outline

พิสูจน์ว่า สี่เหลี่ยม $PRQC$ เป็น concyclic


ปล .พึ่งทำได้ไม่นานเลยอยากลองวิชา (กำลังร้อนวิชา )

-------------------------------------------------------------------------------

2. (TMO 8 วันที่ 2) กำหนดรูปสามเหลี่ม $ABC$ มีจุด $G$ เป็นจุด centriod

ุถ้าเส้นตรง $AC$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม $ABG$ แล้ว จงพิสูจน์ว่า $AB+BC \leq 2AC$

Outline

สามเหลี่ยมคล้าย แล้วก็อัด Law of cosine ก็จะหลุดเลย

ไม่รู้จะหาอะไรให้ ลองทำอันเดิมๆ แก้เบื่อ สำหรับคุณ จูกัดเหลียง ไปก่อนแล้วกันครับ (พรุ่งนี้มี่สอบอังกฤษ)

ส่วนข้อของคุณ passed-by ถ้าทำได้แบบสบายๆ คงแข็งแรงขึ้นเยอะเลยครับ ขอกลับไปทบทวนอะไรใหม่ก่อนครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

16. หาจำนวนนับทั้งหมด ที่เขียนได้ในรูปแบบ $ \left\lfloor a\sqrt{2}+ b\sqrt{3}\right\rfloor $ บางจำนวนนับ a,b

#215 ลองทำดูเน้อ เเต่คงยาก 555
Hint หน่อยครับ ไม่รู้จะพิสูจน์ยังไงเลย

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

Hint หน่อยครับ ไม่รู้จะพิสูจน์ยังไงเลย

Hint : start ที่ $3\sqrt{2}+ \sqrt{3}$ แล้วพยายามสร้างลำดับเพิ่มโดยแท้ (strictly increasing)ของ $a\sqrt{2}+ b\sqrt{3}$ โดยผลต่างที่เป็นบวกของเทอมที่ติดกัน < 1

ถ้าสร้างได้ ก็จะรู้ว่าคำตอบข้อนี้คืออะไรครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

เอาแบบคร่าวๆนะครับ ข้อนี้ เริ่มต้นจากการลองแทน a,b เป็นอนันต์ ที่ให้จำนวนตรรกยะที่ simple บางตัวออกมาก่อน

a,b ที่ผมจะเลือก คือ take a = -b แล้วก็พิสูจน์ให้ได้ว่า P(x)= P(-x) ทุกจำนวนจริง x ......(*)

ตรงนี้ ใช้เครื่องมือหนักๆ ในการพิสูจน์ว่า P(x)=P(-x) รึเปล่าครับ ตันมากๆ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

ตรงนี้ ใช้เครื่องมือหนักๆ ในการพิสูจน์ว่า P(x)=P(-x) รึเปล่าครับ ตันมากๆ

ก็ไม่ได้หนักนะครับ พอแทน a=-b แล้วจะได้

$ F(b) = P(-b)-P(b) \in \mathbb{Q} $ ทุกจำนวนจริง b

แสดงว่า $F(b)$ เป็นได้กรณีเดียว คือ constant polynomial (ถ้าเป็น nonconstant จะส่งจาก R ไป Q ไม่ได้ เพราะพหุนามเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง)

Now $P(-x)-P(x) =c $ สำหรับบางจำนวนตรรกยะ c

แทน x=0 จะได้ c=0

[PP_nine]

เพิ่งนึกโจทย์อะไรเจ๋งๆออกครับ ลองทำดู

(โพสเดิมอยู่ในนี้ครับ Number Theory Marathon)



นิยาม : สำหรับเมตริกซ์ $A=[a_{ij}]_{m \times m}$ และ $B=[b_{ij}]_{m \times m}$ ซึ่ง $A,B \in \mathbb{Z} ^{m \times m}$

$A \equiv B \pmod{n}$ ก็ต่อเมื่อ $a_{ij} \equiv b_{ij} \pmod{n}$ สำหรับทุก $i,j \in \{ 1,2,...,m \}$



จงพิสูจน์ว่า ถ้า $(det(A),n)=1$ แล้ว จะมีบางจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $A^k \equiv I_m \pmod{n}$

เมื่อ $I_m$ คือเมตริกซ์เอกลักษณ์มิติ $m \times m$

[Nostalgius]

กระทู้เงียบไปเลยนะครับ :]

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

15. วงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC สัมผัสด้านทั้งสามที่ $A' \,\, ,B'\,\, ,C'$ ,ถ้า orthocenter สามเหลี่ยม ABC และ สามเหลี่ยม $A'B'C'$ เป็นจุดเดียวกัน พิสูจน์ สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

ตรวจหน่อยครับไม่แน่ใจเลย แต่อยากให้ดูว่าผิดตรงไหนให้ลากเส้น $A'X$ มาตั้งฉาก $B'C'$ ที่ $X$ และ เนื่องจากมี orthocenter จุดเดียวกัน

จะได้ว่า $ AXA'$ เป็นเส้นตรงเดียวกัน จาก $AX \bot B'C'$ และ $AA' \bot BC$ ทำให้ได้ $\triangle AXC'$ คล้ายกับ $\triangle AA'B$ และในทำนองเดียวกันกับ $\triangle AA'C$

$\dfrac{AC'}{AB}=\dfrac{AX}{AA'}=\dfrac{AB'}{AC}$

และ $AC'=AB'$ จะได้ $AB=CA$ ในทำนองเดียวกันด้านอื่นๆก็เหมือนกัน

เพราะฉะนั้น ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

[Nostalgius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

ตรวจหน่อยครับไม่แน่ใจเลย แต่อยากให้ดูว่าผิดตรงไหนให้ลากเส้น $A'X$ มาตั้งฉาก $B'C'$ ที่ $X$ และ เนื่องจากมี orthocenter จุดเดียวกัน

จะได้ว่า $ AXA'$ เป็นเส้นตรงเดียวกัน จาก $AX \bot B'C'$ และ $AA' \bot BC$ ทำให้ได้ $\triangle AXC'$ คล้ายกับ $\triangle AA'B$ และในทำนองเดียวกันกับ $\triangle AA'C$

$\dfrac{AC'}{AB}=\dfrac{AX}{AA'}=\dfrac{AB'}{AC}$

และ $AC'=AB'$ จะได้ $AB=CA$ ในทำนองเดียวกันด้านอื่นๆก็เหมือนกัน

เพราะฉะนั้น ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

ผมคิดว่าไม่จริงเสมอไปนะครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Nostalgius

ผมคิดว่าไม่จริงเสมอไปนะครับ

ลองยกตัวอย่างหน่อยครับ

[จูกัดเหลียง]

มาเติมโจทย์ครับ จงเเสดงว่ามีจำนนเต็ม $k$ ที่ทำให้ $$pk+3^p+1=4^p$$
สำหรับทุกจำนวนเฉพาะ $p$