|
|
#226
07 มีนาคม 2012, 16:13
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เพราะฉะนั้นมี k แน่นอน เลือก $k =3^p+3^{p-1}( \dfrac{p-1}{2})+...+3$ พิสูจน์ต่อว่า k เป็นจำนวนเต็ม เนื่องจาก $\dbinom{p}{m} $ เป็นจำนวนเต็ม เมื่อ $m= 1,2,...,p-1$ $\dfrac{\dbinom{p}{m}}{p}$ ก็ยังเป็นจำนวนเต็มเพราะใน $m!$ นั้นไม่มี $p$ เป็นตัวประกอบแน่นอน ดังนั้น k เป็นจำนวนเต็ม 
|
|
#227
08 มีนาคม 2012, 05:18
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
จริงๆแล้ว ถ้า Y เป็น orthocenter ดังกล่าว มันได้แค่ว่า AY ตั้งฉากกับ BC ส่วน A'Y ตั้งฉากกับ B'C' ที่ X โดยมีวิธีวาดมากมายที่ทำให้ A,X,A' ไม่ collinear เวลาวาดรูป อาจจะดู collinear แต่ต้องพิสูจน์ให้ได้ด้วย ไม่งั้นก็ต้องเลี่ยงไปใช้วิธีอื่นครับ วิธีของผม คือ ใช้ incenter ให้เป็นประโยชน์ครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 08 มีนาคม 2012 05:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by
|
|
#228
08 มีนาคม 2012, 21:19
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
ตันจริงๆครับเฉลยหน่อยได้ไหมครับ ผมไม่รู้จะเอา orthocenter ไปใช้ยังไงเลย (นอกจากทำ(คากการณ์มากกว่า)ให้เป็น collinear)
|
|
#229
09 มีนาคม 2012, 03:10
|
|||
|
|||
|
สมมติ H เป็น orthocenter ร่วมของ 2 สามเหลี่ยม ดังกล่าว และ I เป็น incenter ของสามเหลี่ยม ABC
เพราะ AH ตั้งฉากกับ BC และ IA' ก็ตั้งฉากกับ BC ,ดังนั้น AH ขนานกับ IA' .......(1) ในขณะเดียวกัน AI ตั้งฉากกับ B'C' และ A'H ก็ตั้งฉากกับ B'C' ,ดังนั้น A'H ขนานกับ AI .......(2) Now AIA'H เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น $ AH= IA' \rightarrow 2RcosA = r $ ในทำนองเดียวกัน $ 2RcosB = r $ และ $ 2RcosC = r $ แสดงว่า cos A = cos B =cos C นั่นคือ ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|
|
#230
12 มีนาคม 2012, 22:04
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
 ปล. ตอบช้าหน่อย รร ยังไม่ปิดครับ
|
|
#231
12 มีนาคม 2012, 22:13
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
__________________
The only way to do mathematics is to do mathematics . 12 มีนาคม 2012 22:15 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Nostalgius
|
|
#232
12 มีนาคม 2012, 22:32
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
 ผมงงที่$AH= 2R\cos A$ มาได้ไง แต่ตอนนี้ได้แล้วครับขอบคุณมากๆครับ
|
|
#233
13 มีนาคม 2012, 12:11
|
||||
|
||||
|
Plane Geometry
14. สี่เหลี่ยมนูน ABCD , ให้ AB ตัด CD ที่ K และ P อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งมุม $A\hat{K}D $ โดย BP,CP แบ่งครึ่ง AC,BD ตามลำดับ พิสูจน์ AB=CD ข้อนี้ลองใช้ Applied Ceva แล้วก็ Law of sine ดูครับ ค่อยๆไล่ไปจะได้อัตราส่วนที่เท่ากันครับ 
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... 13 มีนาคม 2012 12:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ~ArT_Ty~
|
|
#234
13 มีนาคม 2012, 20:37
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
__________________
Vouloir c'est pouvoir
|
|
#235
14 มีนาคม 2012, 14:05
|
||||
|
||||
|
ช่วยอธิบายหน่อยได้มั้ยอ่ะครับว่า Inversion Homothety Coaxial มันคืออะไร
และก็ขอทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง+โจทย์ด้วยนะครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... 14 มีนาคม 2012 14:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ~ArT_Ty~
|
|
#236
03 เมษายน 2012, 18:43
|
||||
|
||||
|
ผมมาสานต่อแล้วกันครับ (ใช้เทคนิค Homogeneous นะครับ หรืออาจจะไม่ใช้ก็ได้)
1. $a,b,c > 0 $ จงพิสูจน์ว่า $$\dfrac{(2a+b+c)^2}{a^2+(b+c)^2}+\dfrac{(2b+c+a)^2}{b^2+(c+a)^2}+\dfrac{(2c+a+b)^2}{c^2+(b+a)^2} \leq 8$$ 2. จงพิสูจน์ว่า ระบบสมการต่อไปนี้ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม $$x^6+x^3+x^3y+y=147^{157}$$ $$x^3+x^3y+y^2+y+y^9=157^{147}$$ 3. $a,b,c > 0$ จงพิสูจน์ว่า $$(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3) \geq (a+b+c)^3$$
|
|
#237
04 เมษายน 2012, 17:59
|
||||
|
||||
|
4. $a,b,c >0$ จงพิสูจน์ว่า
$$\dfrac{a^2}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^2}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^2}{c^2+ca+a^2} \geq 1$$ 5. จงหาคู่อันดับ (m,n) ซึ่ง m,n เป็นจำนวนเต็มบวกโดยที่ $\dfrac{n^3+1}{mn-1}$ เป็นจำนวนเต็ม
|
|
#238
07 เมษายน 2012, 18:42
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
 replace $b/a=xy/z^2,c/b=yz/x^2,c/a=zx/y^2$We suffice to prove $$\sum_{cyc} \frac{z^4}{z^4+xyz^2+x^2y^2}\ge 1$$ by Cauchy Schwraz $$\sum_{cyc} \frac{z^4}{z^4+xyz^2+x^2y^2}\ge \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{(x^4+y^4+z^4)+xyz(x+y+z)+(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}$$ If we explain $(x^2+y^2+z^2)\ge (x^4+y^4+z^4)+xyz(x+y+z)+(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$ we're done
__________________
Vouloir c'est pouvoir
|
|
#239
07 เมษายน 2012, 19:25
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
สมมติให้$x,y\in \mathbb{Z} $ นำสองสมการมาบวกกันและบวก $1$ทั้งสองข้างจะได้ว่า $(x^3+y+1)^2+z^9=147^{157}+157^{147}+1$แต่จาก $147^{157}\equiv 4^{12\bullet 13+1}\equiv 4(mod13)$และ$157^{147}\equiv 1^{147}=1(mod13)$ take mod $13;(x^3+y+1)^2+z^9\equiv 4+1+1=6(mod13).................(1)$ แต่จาก$x^3\equiv 0,1,5,8,12(mod13)$ พิจารณาสมการแรกของโจทย์ $x^6+x^3+x^3y+y=(x^3+1)(x^3+y)=147^{157}\equiv 4(mod13)...............(2)$ ถ้า$x^3\equiv 12(mod13)\Rightarrow x^3+1\equiv 13\equiv 0(mod13)$จะทำให้สมการไม่มีคำตอบ ดังนั้นเราจะพิจารณาเฉพาะ $x^3\equiv 0,1,5,8(mod13)$เท่านั้น จาก(2)เราได้$(x^3+1)(x^3+y)\equiv 4(mod13)$ ถ้า$x^3\equiv 0(mod13)$จะได้$(x^3+1)(x^3+y)\equiv x^3+y\equiv 4(mod13) $ ถ้า$x^3\equiv 1(mod13)$จะได้$(x^3+1)(x^3+y)\equiv 2(x^3+y)\equiv 4(mod13)\Rightarrow x^3+y\equiv 2(mod13) $ ถ้า$x^3\equiv 5(mod13)$จะได้$(x^3+1)(x^3+y)\equiv 6(x^3+y)\equiv 4(mod13) \Rightarrow x^3+y\equiv 5(mod13)$ ถ้า$x^3\equiv 8(mod13)$จะได้$(x^3+1)(x^3+y)\equiv 9(x^3+y)\equiv 4(mod13) \Rightarrow x^3+y\equiv 12(mod13)$ พิจารณาทุกกรณีจาก$x^3+y+1\equiv 0,3,5,6$และ$(z^3)\equiv 0,1,5,8$เราได้จะได้ว่า$(x^3+y+1)^2+z^9\equiv 0,1,2,4,5,7,8,9,10,11,12(mod13)$เท่านั้น ซึ่งเกิดข้อขัดแย้งกับ(1) ดังนั้นระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม เนื่องจาก$(a-1)^2(a+1)(a^2+a+1)\geqslant 0\Leftrightarrow (a^2-1)(a^3-1)\geqslant 0\Leftrightarrow a^5-a^2+1\geqslant a^3\Leftrightarrow a^5-a^2+3\geqslant a^3+2$ ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า$b^5-b^2+3\geqslant b^3+2$และ$c^5-c^2+3\geqslant c^3+2$ โดยอสมการบรรทัดบนนี้และอสมการโฮลเดอร์จะได้ว่า $(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3) \geqslant (a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)=(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3) \geqslant (a+b+c)^3$ นั่นคือ$(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3) \geqslant (a+b+c)^3$
|
|
#240
07 เมษายน 2012, 19:30
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
|
  |
|
|
