FFTMO9

[win1234]

เอ่อขอปล่อยพวกโจทย์ Number Theory,Algebra บ้างนะครับ
1.ให้ p,q เป็นจำนวนเฉพาะที่ทำให้ $ pq\mid(5^p+5^q)$ จงหาคู่อันดับ (p,q) ทั้งหมดที่เป็นไปได้
2.จงหาสี่สิ่งอันดับที่ไม่เป็นลบทั้งหมดที่ทำให้ $7^a=6^b+5^c+4^d$
3.ให้ a,b,c เป็นจำนนวนเต็มที่สอดคล้องสมการ $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3 $ จงหา (a,b,c) ทั้งหมดที่เป็นไปได้
4.จงหาค่า $x\in \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $x^{\left \lfloor x \right \rfloor}=\frac{9}{2}$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

3.ให้$f:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R} $เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องโดยสอดคล้องเงื่อนไข
(i) $f(2548)=2005$
(ii) $f(x)f(f(x))=1,\forall x\in \mathbb{R} $
จงหาค่าของ $f(2548/2005)$

ไม่เเน่ใจเลยครับ เเต่ลงเเบบไม่เต็มไว้ก่อน 555+
let $m=f(x),n=f(y)\in\mathbb{R}$then $mf(m)=nf(n)=1$ if $m>n$ then $f(m)<f(n)$ so $f$ is decreasing
clearly that $f(0)=f(1)=1$ and $f(2005)f(2548)=1$ by condition
assume $f(x/y)>f(x)f(y)/y^2$ for all $x>y>0$ we get $x/y>1\rightarrow f(x/y)<f(1)=1$ and $y<x\rightarrow f(x)>f(x)\therefore f(x)f(y)/y^2>f(x)^2/x^2$ then $1>f(x)/x^2\rightarrow -x<f(x)<x$ then $f(f(x))>f(x)\therefore f(x)<1$ for all $x>0$ which is contradiction (althought there exist $f(t)<1$ but not for all)
and if $f(x/y)<f(x)f(y)/y^2$ it will ctd. too so $$f\Big(\frac{x}{y}\Big)=\frac{f(x)f(y)}{y^2}\rightarrow f\Big(\frac{2548}{2005}\Big)=\frac{f(2548)f(2005)}{2005^2}=\frac{1}{2005^2}$$
ผมว่าผิดเเหงเลยอ่ะ มันเเม่งๆ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

Q3: สามเหลี่ยมมุมแหลม ABC มี P เป็นจุดภายใน และ $ d_a,d_b,d_c$ เป็นระยะจาก P ไปยังด้าน BC,CA,AB ตามลำดับ พิสูจน์ $$ \sum d^2_a \geq \sum (PA \sin (\frac{A}{2}))^2 \geq \frac{1}{3} (\sum d_a)^2 $$

จุด P นี่คือ จุดพีแดลใช่รึเปล่าครับถ้าใช่นะครับ

i ) $\displaystyle \sum d^2_a \geq \sum (PA \sin (\dfrac{A}{2}))^2$

ก่อนอื่นแปลง RHS. ได้เป็น $ d^2_a+d^2_b+d^2_c \geq 3r^2$

ให้ a,b,c แทนความยาวด้าน และเราจะได้ว่า $r=\dfrac{\Delta }{s}$ และเราสามารถหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนี้ได้คือ $\Delta=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\dfrac{1}{2}(ad_a+bd_b+cd_c)$

$2\Delta = ad_a+bd_b+cd_c \leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(d^2_a+d^2_b+d^2_c)}$ และจาก $r=\dfrac{\Delta}{s}$ เราก็จะได้

$$d^2_a+d^2_b+d^2_c \geq 3r^2= \sum (PA \sin (\dfrac{A}{2}))^2$$

ii ) $\displaystyle \sum (PA \sin (\frac{A}{2}))^2 \geq \frac{1}{3} (\sum d_a)^2$

นั่นคือเราต้องพิสูจน์ว่า $3r \geq d_a+d_b+d_c$ และให้ $a \geq b \geq c$ และ $d_a \geq d_b \geq d_c $ เราต้องพิสูจน์อสมการต่อไปนี้

$$3\Delta \geq (a+b+c)(d_a+d_b+d_c)$$

จริงโดย Chebyshev's Inequality

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

จุด P นี่คือ จุดพีแดลใช่รึเปล่าครับ

ข้อนี้ P เป็นแค่จุดๆหนึ่งภายในสามเหลี่ยม แล้วลากตั้งฉาก 3 ด้านครับ

ดังนั้น ผมว่า sigma sum ตรงกลางไม่น่าจะ simplify เป็น $3r^2$ ได้นะครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ข้อนี้ P เป็นแค่จุดๆหนึ่งภายในสามเหลี่ยม แล้วลากตั้งฉาก 3 ด้านครับ

ดังนั้น ผมว่า sigma sum ตรงกลางไม่น่าจะ simplify เป็น $3r^2$ ได้นะครับ

???? ทำไมหรอครับ จุด P ที่อยู่ในก้อนกลางน่าจะเป็นจุด incenter ไม่ใช่หรอครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

???? ทำไมหรอครับ จุด P ที่อยู่ในก้อนกลางน่าจะเป็นจุด incenter ไม่ใช่หรอครับ

ผมให้ P เป็นจุดใดๆ ภายในสามเหลี่ยมครับ ไม่จำเป็นต้องเป็น incenter (I)

mark จุดอะไรก็ได้ภายใน แล้วลากตั้งฉาก 3 ด้าน

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ win1234

เอ่อขอปล่อยพวกโจทย์ Number Theory,Algebra บ้างนะครับ
1.ให้ p,q เป็นจำนวนเฉพาะที่ทำให้ $ pq\mid(5^p+5^q)$ จงหาคู่อันดับ (p,q) ทั้งหมดที่เป็นไปได้
2.จงหาสี่สิ่งอันดับที่ไม่เป็นลบทั้งหมดที่ทำให้ $7^a=6^b+5^c+4^d$

ข้อเเรกผมได้ว่า $(p,q)=(2,3),(2,5),(5,313),(5,5)$ เเละสับเปลี่ยนได้ (ขี้เกียจพิมพ์เเล้วครับ)
ข้อสอง เห็นได้ชัดว่า ถ้า $b\ge 1$ เเล้ว $6|(7^a-5^c-4^d)$ เเละ $7^a-5^c-4^d\equiv 1-(-1)^c-4 \pmod 6$ เสมอ ดังนั้น $3+(-1)^c\equiv 0\pmod 6$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น $b=0$
ดังนั้น $7^a-1=5^c+4^d$ ทำให้ได้อีกว่า $d=0$ เท่านั้น เเละเห็นได้โดยง่ายว่า $a=c=1$ หรือ $c>a$
ถ้า $a\ge 2$ จะได้ว่า $c\ge 3$ เเละได้ว่า $125|7^a-2$ เเละพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $a=4k+1,\exists k\in\mathbb{N}$ เเละ $$7^a\equiv 7^{4k+1}\equiv 29^k\cdot 7\not\equiv 2\pmod {125}$$ ดังนั้นมีเพียง $(a,b,c,d)=(1,0,1,0)$
ปล.อสมการข้อทำยังไงอ่ะครับมัน strong มากอ่ะผมลองเเค่ $n=3$ ก็ยากเเล้วครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ผมให้ P เป็นจุดใดๆ ภายในสามเหลี่ยมครับ ไม่จำเป็นต้องเป็น incenter (I)

mark จุดอะไรก็ได้ภายใน แล้วลากตั้งฉาก 3 ด้าน

จุดใดๆ ในสามเหลี่ยม ซึ่งมันแบ่งครึ่งมุมทั้งของสามเหลี่ยมแล้วผมก็ตั้งว่า $\sin \dfrac{A}{2}= \dfrac{r}{PA}$

[win1234]

#277
พิมพ์อะไรผิดหรือเปล่าครับ เพราะว่า (3,13) มันไม่มีครับ ต้องเป็นอีกอย่างนึงครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

จุดใดๆ ในสามเหลี่ยม ซึ่งมันแบ่งครึ่งมุมทั้งของสามเหลี่ยมแล้วผมก็ตั้งว่า $\sin \dfrac{A}{2}= \dfrac{r}{PA}$

$\sin \dfrac{A}{2}= \dfrac{r}{IA}$ จริงเฉพาะ P= I ครับ

กรณี P เป็นจุดภายในจุดอื่น ไม่จริง

ข้อนี้ ผมต้องการให้พิสูจน์ P ใดๆครับ ไม่ใช่ P= I

ความยากอยู่ตรงที่จะ simplify $ PA \sin (\frac{A}{2})$ อย่างไร โดย AP ก็ไม่จำเป็นต้องแบ่งครึ่งมุม A

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

$\sin \dfrac{A}{2}= \dfrac{r}{IA}$ จริงเฉพาะ P= I ครับ

กรณี P เป็นจุดภายในจุดอื่น ไม่จริง

ข้อนี้ ผมต้องการให้พิสูจน์ P ใดๆครับ ไม่ใช่ P= I

ความยากอยู่ตรงที่จะ simplify $ PA \sin (\frac{A}{2})$ อย่างไร โดย AP ก็ไม่จำเป็นต้องแบ่งครึ่งมุม A

อันนี้จริงครับที่ผมสงสัยก็คือตรง sigma sum ตรงกลางทำไม P ถึงไม่เท่ากับ I ครับ

เพราะ sigma sum ตรงกลางนั้นเขาบอกมุมมาว่าเป็น $\dfrac{A}{2}$

แต่ sigma sum ของฝั่งซ้ายและฝั่งขวาจุด P ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ I

ขอความกรุณาด้วยครับ งงมากๆ

[Nostalgius]

แล้วทำไมคุณถึงคิดว่า $P=I$ ละครับ ? มันไม่เกี่ยวกับว่ามีมุม $\frac{A}{2}$ เพราะ $P$ มันเป็นจุดลอยนี่ครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Nostalgius

แล้วทำไมคุณถึงคิดว่า $P=I$ ละครับ ? มันไม่เกี่ยวกับว่ามีมุม $\frac{A}{2}$ เพราะ $P$ มันเป็นจุดลอยนี่ครับ

ก็ผมให้จุด P เป็นจุดใดๆ อยู่ในสามแล้วลาก PA และปรากฏว่ามันแบ่งมุมเป็น A/2 อ่ะครับ(ผมหมายถึง sigma sum ตรงกลางนะครับ)

หรือเขาหมายถึง P ที่เป็นจุดใดแล้วไม่ลาก PA แต่ไม่จำเป็นต้องแบ่งครึ่งมุม แล้วค่อยคูณ $\sin \dfrac{A}{2}$ ไปทีหลัง

[Nostalgius]

"ไม่จำเป็นต้องแบ่งมุมครับ"

[PP_nine]

#283

โจทย์ให้จุดลอย P มา ซึ่งเราไม่รู้ว่าจุดนั้นจะอยู่ตรงไหน จะมา assume ว่าทำไปทำมาแล้วมันแบ่งครึ่งไม่ได้ครับ

พูดง่ายๆก็คือ เราไม่สามารถกำหนดตายตัวอะไรกับจุด P ได้ครับ