ข้อสอบ สอวน ค่าย 3

[~ArT_Ty~]

ผมเทียบอัตราส่วนพื้นที่เอาอ่ะครับ 555+

แต่ได้เหมือนกัน

ข้อ 2 เรขา มีข้อมูลให้ครับ

http://en.wikipedia.org/wiki/Brocard_points

http://mathworld.wolfram.com/CircumcevianTriangle.html

Hint : Cyclic

[coke]

ข้อสอบ AL นะครับ

1.จงพิสูจน์ว่า $x^3 - 2x^2 - 2x + a$ ไม่มีรากตรรกยะที่ต่างกัน $3$ ราก และ $a\in \mathbb{R}$
2. จงหาพหุนาม $P(x)$ ที่สอดคล้องกับ $xP(x-a) = (x-b)P(x)$ เมื่อ $a\not= 0$ และ $b\in \mathbb{R} $
3. กําหนดลําดับ $a_n$ ซึ่ง $a_n = 3a_{n-1} - 3a_{n-2} + 1$ และ $a_0 = a , a_1 = b,a_2 = 2b - a + 2$ จงหาพจน์ทั่วไปของ $a_n $
4. กําหนด $z\in \mathbb{C}$ และ $11z^{10} - 10iz^9 - 10iz - 11 = 0$ จงพิสูจน์ว่า $|z| = 1 $
ปล. ข้อ 3 ในวงเล็บคือเลขห้อยนะครับ พอดีพิมพ์ไม่เป็น

[Pain 7th]

ถ้า $ \dfrac{ f(x)}{f(y)} =\dfrac{x}{y}$ แล้ว $f(x)=kx $

อันนี้มันพิสูจน์ไงอ่ะครับ (เป็นคำตอบของข้อ 2 อ่ะครับ)

แล้วข้อ 3 อ่ะครับ หใ้ติดแค่ค่า a,b ไว้หรอครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

ถ้า $ \dfrac{ f(x)}{f(y)} =\dfrac{x}{y}$ แล้ว $f(x)=kx $

อันนี้มันพิสูจน์ไงอ่ะครับ (เป็นคำตอบของข้อ 2 อ่ะครับ)

แล้วข้อ 3 อ่ะครับ หใ้ติดแค่ค่า a,b ไว้หรอครับ

ถ้า $x$ กับ $y$ เป็นตัวแปรที่อิสระต่อกัน แทน $y$ ด้วยค่าคงที่ก็จะได้คำตอบครับ

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถ้า $x$ กับ $y$ เป็นตัวแปรที่อิสระต่อกัน แทน $y$ ด้วยค่าคงที่ก็จะได้คำตอบครับ

สมมติ ผมแทน y เป็น a จะได้ โดย $f(a)=b$

$f(x)= \dfrac{f(a)x}{a}$ ก็ได้ $k=\dfrac{b}{a}$ อย่างนี้หรอครับ

ปล. อ่านฟังชันก์ควรเริ่มจากตรงไหนอ่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

สมมติ ผมแทน y เป็น a จะได้ โดย $f(a)=b$

$f(x)= \dfrac{f(a)x}{a}$ ก็ได้ $k=\dfrac{b}{a}$ อย่างนี้หรอครับ

ปล. อ่านฟังชันก์ควรเริ่มจากตรงไหนอ่ะครับ

ใช่ครับ ถ้าหมายถึงสมการเชิงฟังก์ชัน ผมใช้เล่มของสอวน.ครับ แต่เลือกโจทย์ที่ไม่ยากมากมาทำก่อน

ถ้าอ่านภาษาอังกฤษได้ลองเริ่มจากที่นี่ครับ

http://www.mathdb.org/notes_download...ebra/ae_A9.pdf

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ใช่ครับ ถ้าหมายถึงสมการเชิงฟังก์ชัน ผมใช้เล่มของสอวน.ครับ แต่เลือกโจทย์ที่ไม่ยากมากมาทำก่อน

ถ้าอ่านภาษาอังกฤษได้ลองเริ่มจากที่นี่ครับ

http://www.mathdb.org/notes_download...ebra/ae_A9.pdf

ขอบคุณมากๆครับ ฟังชันก์ข้อที่ 2 ทุกคนคงได้ว่า

$f(x+1)= f(x)+1$ แล้วเราอุปนัยก็ได้ $f(x)=x+1$ สำหรับจำนวนเต็ม

แต่ตามลิงค์ของคุณ nooonuii มีวิธีขยายจากจำนวนเต็มไปเป็นจำนวนตรรกยะด้วยครับ

[AnDroMeDa]

FE/IE
2.กำหนดให้ $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} $ เป็นฟังก์ชันซึ่งสอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้
2.1 $f(1)=2$
2.2 $f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1,\forall x,y\in \mathbb{Q} $
จงหาฟังก์ชัน $f(x)$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเบื้องต้น

Sol.
กำหนดให้ $P(x,y):f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1,\forall x,y\in \mathbb{Q} $
$P(x,1):f(x+1)=f(x)+1.........(1)$
$P(0,1):f(0)=1$
$P(-1,1):f(-1)=0.........(2)$
ให้ $f(x)=g(x)+1$ จะได้ $g(xy)+g(x+y)=g(x)g(y)+g(x)+g(y).............(3),\forall x,y\in \mathbb{Q} :Q(x,y)$
จาก $(1)$ จะได้ $g(x+1)=g(x)+1$
จาก $(2)$ จะได้ $g(-1)=-1$
$Q(-x,-1):g(x)+g(-x-1)=g(-x)g(-1)+g(-x)+g(-1)=-g(-x)+g(-x)-1=-1$
จะได้ว่า $-g(-x-1)=g(x)+1=g(x+1)$ แทน $x$ ด้วย $x-1$ จะได้ว่า $g(-x)=-g(x).........(4)$
$Q(-x,-y):g(xy)-g(x+y)=g(x)g(y)-g(x)-g(y).............(5) $
$(3)-(5):g(x+y)=g(x)+g(y),\forall x,y\in \mathbb{Q} $ ซึ่งสอดคล้องCauchy FE จะได้$g(x)=kx,\exists k\in \mathbb{Q} $
แทนค่ากลับใน $(3)$ จะได้ $g(x)=0,\forall x\in \mathbb{Q} $ หรือ $g(x)=x,\forall x\in \mathbb{Q}$
ทำให้ได้ว่า$f(x)=x+1,\forall x\in \mathbb{Q} \square$

[Pain 7th]

f(x)=1

ไม่ได้ครับ เพราะเขาให้เงื่อนไขมาครับ

[PP_nine]

ถ้าไม่กำหนด $f(1)=2$ ก็สามารถขยายไปได้อีกคำตอบหนึ่ง

ซึ่งผมเคยเฉลยไว้แล้ว กระจุยกระจายมากครับ

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=343

[polsk133]

คอมบิ1ทำไงหรอครับ นอนคิดนานแล้ว ไม่ออกอะครับ

[Thgx0312555]

หาว่ามี 1x6 กับ 1x7 อย่างละเท่าไีร
แล้วพิสูจน์ว่าถ้าสามารถลงได้จะเกิดสี่เหลี่ยมตรงกลาง(สีแดง)ขึ้นซึ่งไม่สามารถลง 1x6 หรือ 1x7 ได้

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

หาว่ามี 1x6 กับ 1x7 อย่างละเท่าไีร
แล้วพิสูจน์ว่าถ้าสามารถลงได้จะเกิดสี่เหลี่ยมตรงกลาง(สีแดง)ขึ้นซึ่งไม่สามารถลง 1x6 หรือ 1x7 ได้
Attachment 9768

ทำไงอะครับ

[Thgx0312555]

เฉลยเลยละกันครับ
แบ่งสี่เหลี่ยมเป็นช่องช่องละ 1x1 จะได้ว่าสี่เหลี่ยม 11x12 ประกอบด้วย 132 ช่อง
ซึ่ง สี่เหลี่ยม 1x6 มี 6 ช่องและ สี่เหลี่ยม 1x7 มี 7 ช่อง,มีรวมทั้งหมด 19 รูป
ให้ x แทนจำนวน สี่เหลี่ยม 1x6
ุ$6x+7(19-x)=132$
$x=1$
ดังนั้นมี 1x6 1 รูปและ 1x7 18 รูป

พิสูจน์ว่าจะเกิดช่องตรงกลาง


พิจารณาสี่เหลี่ยม 1x7 ใดๆ(สีส้ม) ให้เป็นแนวตั้ง จะมีปลายด้านหนึ่งที่ไม่ติดขอบ พิจารณาช่องถัดจากปลายนั้นออกไป
พิจารณาว่าถ้าสี่เหลี่ยมที่ผ่านช่องนั้นอยู่ในแนวตั้งจะเกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้นสี่เหลี่ยมที่ผ่านจะอยู่ในแนวนอน(สีเหลือง)



ทำเช่นนี้ไปจนครบสี่ด้าน
นิยามรูปในลักษณะนี้(สี่เหลี่ยม 4 รูปต่อกันโดยปลายของรูปที่ 1 ต่อกับรูปที่ 2 ปลายรูปที่ 2 ต่อกับรูปที่ 3 และปลายของรูปที่ 3 ต่อกับรูปที่ 4)
ว่าเป็น สี่เหลี่ยม "good" และพื้นที่สีเทาเป็นขนาดของสี่เหลี่ยม "good"
เราได้สี่เหลี่ยม good มาแล้วหนึ่งรูป



พิจารณาสี่เหลี่ยม good ที่มีขนาดน้อยที่สุด
ถ้าสี่เหลี่ยมที่ประกอบเป็นสี่เหลี่ยม good รูปที่ 4 ไม่จรดกับรูปที่ 1 จะได้ว่ามีสี่เหลี่ยม good ที่พื้นที่น้อยกว่า เกิดข้อขัดแย้ง
ดังนั้นสี่เหลี่ยมที่ประกอบเป็นสี่เหลี่ยม good รูปที่ 4 จะจรดกับรูปที่ 1

เพราะฉะนั้นจะเกิดสี่เหลี่ยมที่ด้านทั้ง 4 จรดกันขึ้น

จากนั้นก็พิสูจน์ว่าไม่สามารถลงสี่เหลี่ยมใดในสี่เหลี่ยม good ได้
แยกเคส
มี 1x6 ใน good กับไม่มี

ตรงนี้ก็น่าจะต่อได้แล้วครับ

[polsk133]

ขอบคุณมากครับ
แนวคิดนี้ใหม่สำหรับผมจริงๆ