ช่วยคิดเรื่องผลคูณของรากของสมการหน่อยนะ

[[FC]_Inuyasha]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

วิธีของคุณ ห้าดาว เป็นวิธีการทั่วไปในการทำโจทย์แนวนี้ครับ

สมมติ $x=a^4+1,y=b^4+1,z=c^4+1,w=d^4+1$

จากนั้นก็พยายามสร้างพหุนามที่มี $x,y,z,w$ เป็นคำตอบ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่โจทย์กำหนดให้

จะเห็นว่าคำตอบที่โจทย์ต้องการก็คือ พจน์ที่เป็นค่าคงที่ที่ได้จากพหุนามใหม่ที่เราสร้างขึ้นมา อันนี้สรุปมาจากความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์

ตัวอย่าง สมมติว่า $a,b,c$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3-3x+3=0$ จงหาค่าของ $(a+1)(b+1)(c+1)$

ให้ $x=a+1,y=b+1,z=c+1$

จะได้ว่า $a=x-1,b=y-1,c=z-1$

ดังนั้น $x,y,z$ เป็นรากของสมการ

$(x-1)^3-3(x-1)+3=0$

เนื่องจากโจทย์ต้องการค่าของ $xyz$

เราก็ไม่ต้องกระจายให้ยุ่งยากเพราะจากความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์พหุนาม

$-xyz$ ก็คือพจน์ค่าคงที่ที่ได้จากพหุนามข้างบนนั่นเอง

ดังนั้น $-xyz=-1+3+3=5$

ตรงบรรทัดสีแดงอ่ะครับ มันมาจากไหนหรือครับ

[nooonuii]

#16 มาจากความสัมพันธ์ของรากและ สัมประสิทธ์ครับ

โจทย์ต้องการหา $xyz$ แต่จากสมการใหม่

$-xyz$ ก็คือเทอมค่าคงที่ในพหุนามใหม่

อันนี้มาจากการกระจาย $(t-x)(t-y)(t-z)$

ซึ่งเทอมค่าคงที่จะมาจากการกระจาย

$(t-1)^3-3(t-1)+3$

แต่เราไม่ต้องกระจายออกมาทั้งหมดก็ได้เพราะต้องการดูแค่ค่าคงที่

ค่าคงที่ของ $(t-1)^3$ ก็คือ $(-1)^3$

ค่าคงที่ของ $-3(t-1)$ ก็คือ $3$

จึงได้ค่าคงที่เป็น $-1+3+3$

ขอเปลี่ยนตัวแปรเป็น $t$ จะได้ไม่งงกับตัวแปร $x$ ที่นิยามไว้ก่อนหน้านี้ครับ