ตะลุยโจทย์กัน ^_______^

[Siren-Of-Step]

อีกข้อครับ อ่านโจทย์แล้ว งง

แก้วน้ำทรงกระบอก 2 ใบสีเขียวกับสีน้ำตาล มีรัศมีภายในของฐานยาว $r_1$ และ $r_2$ cm. ตามลำดับ ส่วนลูกตุ้ม $A$ มีเส้นผ่านศูนย์กลางสั้นกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานของแก้วน้ำทรงกระบอกทั้งสองและสั้นกว่าส่วนสูงของระดับน้ำที่มีอยู่ในแก้วน้ำนั้น เมื่อหย่อนลูกตุ้ม $A$ ลงในแก้วสีน้ำตาลระดับน้ำในแก้วจะสูงขึ้นจากเดิมเท่าใด ถ้า $r_1 : r_2 = 1:2$

อีกข้อครับ

ใส่โลหะทรงกลมรัศมี $5 cm.$ ลงในถังน้ำทรงกระบอกซึ่งรัศมีของฐานยาว $6 cm.$ ถ้าน้ำในขณะที่โลหะทรงกลมอยู่ในถังดังกล่าวทำให้ระดับน้ำถังสูง $9 cm.$ พื้นที่ผิวน้ำขณะนั้นเป็นเท่าใด

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

5.ท่านคิดว่ามีหรือไม่

$x+y+z = 0$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = 0$

ถ้ามี/ไม่มีพร้อมให้เหตุผล

ถ้าอยากได้คำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อนล่ะก็ คำตอบจะอยู่ในรูป

$(x,y,z)=(r,r\omega,r\omega^2)$ เมื่อ $r>0,\omega=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

หรือ

$(x,y,z)=(-r,-r\omega,-r\omega^2)$ เมื่อ $r>0,\omega=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

และวิธีเรียงสับเปลี่ยนของทั้งสองชุดนี้

ถ้าถามหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริง ทำแบบนี้ก็ได้

$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$

ซึ่งจะได้ $x^2+y^2+z^2=0$ จึงได้ $x=y=z=0$ เป็นไปไม่ได้

[Ne[S]zA]

ข้อ11) $f(1)=(1+1)^{335}=2^{335}$
จะได้ $\sqrt{\sum_{n = 168}^{335} a_n}=\sqrt{\dfrac{2^{335}}{2}}=\sqrt{2^{334}}=2^{167}$
ใช่ป่ะครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

แก้วน้ำทรงกระบอก 2 ใบสีเขียวกับสีน้ำตาล มีรัศมีภายในของฐานยาว $r_1$ และ $r_2$ cm. ตามลำดับ ส่วนลูกตุ้ม $A$ มีเส้นผ่านศูนย์กลางสั้นกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานของแก้วน้ำทรงกระบอกทั้งสองและสั้นกว่าส่วนสูงของระดับน้ำที่มีอยู่ในแก้วน้ำนั้น เมื่อหย่อนลูกตุ้ม $A$ ลงในแก้วสีน้ำตาลระดับน้ำในแก้วจะสูงขึ้นจากเดิมเท่าใด ถ้า $r_1 : r_2 = 1:2$

ถ้าลูกตุ้ม$A$ มีความถ่วงจำเพาะมากกว่าน้ำ(จมมิด) และมีรัศมี $r_A$ แล้วใช้หลักการแทนที่น้ำจะได้ว่า
"ปริมาตรน้ำที่เอ่อสูงขึ้นของทั้งสองแก้ว จะเท่ากับปริมาตรของลูกตุ้ม$A$"
ดังนั้น $\frac{4}{3}\pi r_A^3 = \pi r_1^2h_1 = \pi r_2^2h_2$ จะได้ว่า $\dfrac{h_1}{h_2} = (\dfrac{r_2}{r_1})^2 = \dfrac{4}{1}$ น่าจะแก้สงสัยได้นะครับ

** แม้ว่าลูกตุ้ม$A$ มีความถ่วงจำเพาะน้อยกว่าน้ำ(จมบางส่วน) ก็ยังได้คำตอบเป็นอัตราส่วนเดิมครับ **

[Ne[S]zA]

เงียบๆ
เอาไปง่ายๆก่อนดีก่า
จงหาจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับสมการ $\sqrt{x+9}+\sqrt[3]{x-3}=0$

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

เงียบๆ
เอาไปง่ายๆก่อนดีก่า
จงหาจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับสมการ $\sqrt{x+9}+\sqrt[3]{x-3}=0$

ให้ $y=\sqrt{x+9}$ แทนค่าจะได้ $y^3+y^2-12=(y-2)(y^2+3y+6)=0$
เนื่องจากดำเนินการบนระบบจำนวนจริง จะได้ $y=2$ ดังนั้น $x=-5$ เป็นคำตอบของสมการ

[Ne[S]zA]

ถูกแล้วครับ
ข้อต่อไป ลองทำดู
ให้ $\alpha ,\beta ,\gamma $ เป็นรากของสมการ $x^3-x-1=0$
จงหาค่าของ
$$\dfrac{2011+2009\alpha }{1+\alpha }-2010(1+\alpha)+\dfrac{2011+2009\beta }{1+\beta }-2010(1+\beta) +\dfrac{2011+2009\gamma }{1+\gamma }-2010(1+\gamma)$$

[teamman]

ข้อ ของ เนส ถ้าผมคิดไม่ผิดน่าจะตอบ 1 ใช่ป่าวครับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ teamman

ข้อ ของ เนส ถ้าผมคิดไม่ผิดน่าจะตอบ 1 ใช่ป่าวครับ

ใช่แล้ว

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ถูกแล้วครับ
ข้อต่อไป ลองทำดู
ให้ $\alpha ,\beta ,\gamma $ เป็นรากของสมการ $x^3-x-1=0$
จงหาค่าของ
$$\dfrac{2011+2009\alpha }{1+\alpha }-2010(1+\alpha)+\dfrac{2011+2009\beta }{1+\beta }-2010(1+\beta) +\dfrac{2011+2009\gamma }{1+\gamma }-2010(1+\gamma)$$

ตามที่พี่เนส เรียกร้อง อิอิ
ให้ $a$ แทนแอลฟา , $b$ แทนบีตา , $c$ แทนแกมมา
$a+b+c = 0$
$ab+bc+ca = -1$
$abc = 1$

พิจารณา $-2010(1+\alpha)-2010(1+\beta)-2010(1+\gamma)$
$-6030 -2010(a+b+c)$
$-6030$

พิจารณา
$$\dfrac{2011+2009\alpha }{1+\alpha } +\dfrac{2011+2009\beta }{1+\beta } + +\dfrac{2011+2009\gamma }{1+\gamma }$$
ดูตัวส่วน $(1+a)(1+b)(1+c) = 1+abc+ab+bc+ca+a+b+c$
$= 1 + 1 - 1 + 0$
$1$
เศษ $(2011+2009a)(1+bc+b+c) = 2011+2011bc+2011b+2011c+2009a+2009abc+2009ab+2009ac$
$=(2011+2009b)(1+ac+a+c) = 2011+2011ac+2011a+2011c+2009b+2009abc+2009ab+2009bc$
$=(2011+2009c)(1+ab+a+b) = 2011 + 2011ab+2011a+2011b+2009c+2009abc+2009ac+2009bc$
$=(2011+2009a)(1+bc+b+c) (2011+2009b)(1+ac+a+c) (2011+2009c)(1+ab+a+b) = 6033-2011+6027-4018-6030$
$= 1$

[Ne[S]zA]

ข้อต่อไป ง่ายๆละกัน
กำหนดให้ $1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+...+\dfrac{1}{x^n}=2012$ โดยที่ $x\not=0$
จงหาค่าของ $2011x+\dfrac{1}{x^n}$

[Ne[S]zA]

อีกวิธีที่คิดไว้นะครับ
$\dfrac{2011+2009\alpha }{1+\alpha } +\dfrac{2011+2009\beta }{1+\beta } +\dfrac{2011+2009\gamma }{1+\gamma }-3(2010)$
$=\dfrac{2+2009+2009\alpha }{1+\alpha } +\dfrac{2+2009+2009\beta }{1+\beta } +\dfrac{2+2009+2009\gamma }{1+\gamma }-3(2010)$
$=2(\dfrac{1}{1+\alpha }+\dfrac{1}{1+\beta }+\dfrac{1}{1+\gamma })+3(2009)-3(2010)=2(\dfrac{1}{1+\alpha }+\dfrac{1}{1+\beta }+\dfrac{1}{1+\gamma })-3$
ให้ $P(x)=x^3-x-1$ ซึ่งมี $\alpha,\beta,\gamma$ เป็นราก
จะได้ว่า $1+\alpha,1+\beta,1+\gamma$ เป็นรากของสมการ $P(x-1)=x^3-3x^2+2x-1$
จึงได้ว่า $\dfrac{1}{1+\alpha }+\dfrac{1}{1+\beta }+\dfrac{1}{1+\gamma }=2$
นั่นคือ $2(\dfrac{1}{1+\alpha }+\dfrac{1}{1+\beta }+\dfrac{1}{1+\gamma })-3=4-3=1$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ข้อต่อไป ง่ายๆละกัน
กำหนดให้ $1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+...+\dfrac{1}{x^n}=2012$ โดยที่ $x\not=0$
จงหาค่าของ $2011x+\dfrac{1}{x^n}$

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+...+\dfrac{1}{x^n}= 2011$
$(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+...+\dfrac{1}{x^{n-1}}=2011x$
บวกทั้งสองข้างตอบ $2012$

[Ne[S]zA]

ขอดัดโจทคุณ Scylla_Shadow นะครับ อิอิ ดัดนิดนึงมากๆๆ
ให้ $F_n$ แทนจำนวนฟีโบนับชีตัวที่ $n$ จงหาค่าของ $F_{2010}^2+F_{2009}^2+F_{2010}(2F_{2009}-F_{2012})+2012$

[Ne[S]zA]

hint:$F_{n}^2-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n+1}$
เฉลยละกัน $F_{2010}^2+F_{2009}^2+F_{2010}(2F_{2009}-F_{2012})+2012=F_{2011}^2-F_{2010}F_{2012}=1+2012=2013$