Please check answer

[owlpenguin]

-_-" ทำไมพิมพ์ไทยครึ่งนึง อังกฤษครึ่งนึงล่ะเนี่ย...
คืองงข้อ5ครับ ว่าทุกพจน์ที่ติดกันเป็นกำลังสองสมบูรณืนี่หมายความว่าอะไร หมายความว่า ถ้า $a_{n}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แล้ว $a_{n-1}$ และ $a_{n+1}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ด้วยเหรอคับ

ข้อ3
ให้ $a_{k}=\underbrace{111...111}_{k}$
เลือก $a_{1}, a_{2},...,a_{n+1}$ จาก pigeonhole principle ได้ว่าเมื่อนำ n ไปหาร $a_{1}, a_{2},...,a_{n+1}$ ต้องมีอย่างน้อยสองจำนวนที่เหลือเศษเท่ากัน ให้เป็น $a_{i}, a_{j}; i>j$
ได้ว่า
$a_{i}=q_{1}n+r$ และ $a_{j}=q_{2}n+r$
$\therefore a_{i}-a_{j}=(q_{1}-q_{2})n$ นั่นคือ $n|a_{i}-a_{j}$
$a_{i}-a_{j}=\underbrace{11...11}_{i-j}\underbrace{00...00}_{j}\ =10^{j}a_{i-j}$
แต่จาก $(n,5)=1, \therefore n$ หาร $10^{j}$ ไม่ลงตัว
$\therefore n|a_{i-j}=\underbrace{111...111}_{i-j>0}$

ว่าไปถ้านำโจทย์ไปลงใน NT Marathon ก็อาจจะดีนะครับ... เพราะดูเหมือนว่าทางคุณมีโจทย์เยอะพอดู

[CmKaN]

Oh..I can type thai because I copy a that word from this board so I can type thai but it's difficult 55+

and about problem 5 <I think> jumนวน mak ti sud ti pod ti tid kun pen kumlung song som boon example 4,9,81(tid kun pen kum lung 2 som boon)

[owlpenguin]

ข้อ 5
พิจารณา $a_{n-1},a_{n},a_{n+1}$ แล้วแบ่งเป็น 2 กรณีคือ $n$ เป็นคู่ กับ $n$ เป็นคี่ครับ
สุดท้ายจะได้ว่าไม่มี n ที่ว่า

[CmKaN]

6.Find the biggest integer $n$ that $n\leq 2004$ and $169|3^{3n+3}-27$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

6.Find the biggest integer $n$ that $n\leq 2004$ and $169|3^{3n+3}-27$

Hint:

$169|3^{3n+3}-27$ สมมูลกับ $27^n\equiv 1\pmod{13^2}$

จากนั้นใช้ Euler's Theorem ครับ

[CmKaN]

please see what i wrong
6.3^{\phi169} \equiv 1(mod13^{2})
$27^{4} \equiv 1(mod169)$
and $27^{n} \equiv 1(mod 169)$
$\therefore n=4k,k\in N$<---very not sure
$\therefore$ the biggest $n=2004$
but the real answer is $2002$?

P.s.How to do problem 5??

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

$27^{4} \equiv 1(mod169)$

บรรทัดนี้ไม่จริงครับ

โทษทีครับให้ Hint กว้างไปหน่อย
่เราต้องหา order ของ $27$ modulo $13^2$
ซึ่งตัว order จะเป็นตัวประกอบของ $\phi(13^2)$ ครับ
ลองหาดูครับว่า จำนวนนับ $k$ ที่น้อยที่สุดซึ่งเป็นตัวประกอบของ $\phi(13^2)$
และทำให้ $27^{k}\equiv 1 \pmod {13^2}$ คือจำนวนใด

[owlpenguin]

5)

Solution

ถ้า $n=2k$ สำหรับบาง $k\in\mathbb{N}$
ได้ว่า $a_{2k-1}$ กับ $a_{2k+1}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ดังนั้นมี $m,n\in \mathbb{N}$ ซึ่ง $a_{2k-1}=(2k)2^{2k-1}=k2^{2k}=m^{2}$ และ $a_{2k+1}=(2k+2)2^{2k+1}=(k+1)2^{2k+2}=n^{2}$
จาก $2^{2k},m^{2},2^{2k+2},n^{2}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ดังนั้น $k$ และ $k+1$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่ ซึ่งจะได้ $k=0$ ซึ่งเกิดข้อขัดแย้งขึ้น

ถ้า $n=2k+1$ สำหรับบาง $k\in\mathbb{N}$
ได้ว่า $a_{2k}$ กับ $a_{2k+2}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ดังนั้นมี $m,n\in \mathbb{N}$ ซึ่ง $a_{2k}=(2k+1)2^{2k}=m^{2}$ และ $a_{2k+2}=(2k+3)2^{2k+2}=n^{2}$
จาก $2^{2k},m^{2},2^{2k+2},n^{2}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ดังนั้น $2k+1$ และ $2k+3$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่ ซึ่งเกิดข้อขัดแย้งขึ้น

ดังนั้น จะไม่มี $n$ ที่ทำให้ พจน์ที่อยู่ติดกับมันเป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่

6)

Solution

Lemma ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $a^{p}\equiv b^{p}\pmod{p}$ แล้ว $a^{p}\equiv b^{p}\pmod{p^{2}}$
Proof อยู่ใน post ที่ 25 ในเรื่องนี้
จาก lemma นี้ได้ว่าให้ $p=13, a=27, b=1$ (และจาก $27^{13}\equiv 1^{13}\pmod{13}$)
ดังนั้น $27^{13}\equiv 1\pmod{13^{2}=169}$
ดังนั้น n=13 ก็เป็นคำตอบหนึ่ง

จากโจทย์สมมูลกับ $27^{n}\equiv 1\pmod{169}$
$\therefore n| \phi(169)=156$
สาเหตุที่เราต้องทำแบบนี้ก็เพราะมันอาจจะมี $n$ ที่เล็กกว่า $156$ ที่สอดคล้องก็ได้ ขณะนี้เรากำลังหา n ที่น้อยที่สุด
เราจะได้ว่า $n=1,2,3,4,6,12,13,26,39,52,78,156$ แต่จาก $n=13$ เป็นคำตอบหนึ่ง
เราก็ลองไล่ดูว่ามีตัวที่น้อยกว่านี้ไหม ซึ่งจะได้ว่า $n=13$ เป็นตัวที่น้อยที่สุดจริงๆ
ดังนั้น $27^{13}\equiv 1\pmod{169}$
ได้ $27^{13*154}\equiv 1^{154}\pmod{169}$
$27^{2002}\equiv 1\pmod{169}$ ซึ่งก็เห็นชัดเจนแล้วว่า $2002$ นี่มากสุดแล้ว

[CmKaN]

I have a question for problem 5
$a_{2k-1}$ and $a_{2k+1}$ mun mai tid kun ni na maybe $a_{2k},a_{2k+1}$ pen kum lung song som boon kor dai
Am I right?? or I dont understand it??.thanks

P.S. Proof Lemma,Lemma=????

[owlpenguin]

อ๋อ... ข้อ 5 นี่... คำว่าติดกันนี่คือ พจน์นี้กับพจน์หน้าเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ไม่ใช่พจน์ที่แล้ว พจน์นี้ กับพจน์หน้าเป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้ง 3 พจน์... ถ้างั้นเดี๋ยวคงต้องคิดใหม่แล้วครับ
ส่วนเรื่อง Proof ของ Lemma ที่ผมกล่าวถึงนั้น ได้วิธี Proof แล้วครับ

Proof Lemma

Proof
จากที่กำหนดให้ $a^{p}\equiv b^{p}\pmod{p}$
จาก $a^{p}\equiv a\pmod{p}$ และ $b^{p}\equiv b\pmod{p}$
$\therefore a\equiv b\pmod{p}$ นั่นคือ $a^{k}\equiv b^{k}\pmod{p}$ ทุก $k\in\mathbb{N}$
จาก $a^{p}-b^{p}=(a-b)(a^{p-1}+a^{p-2}b+...+ab^{p-2}+b^{p-1})$
จาก $a^{p-1}+a^{p-2}b+...+ab^{p-2}+b^{p-1}\equiv a^{p-1}+a^{p-2}a+...+aa^{p-2}+a^{p-1}\equiv pa^{p-1}\equiv 0\pmod{p}$
$\therefore p^{2}|a^{p}-b^{p}$ นั่นคือ $a^{p}\equiv b^{p}\pmod{p^2}$

[CmKaN]

NOOoo! problem 5 means พจน์ที่ติดกันเป็นกำลังสองสมบูรณ์ longest
Example; 4,9,81 and 144,169 the first one is longer than the second and if the first one is longest so the answer is 3 พจน์

So you prove that 3 พจน์ที่ติดกันmaiเป็นกำลังสองสมบูรณ์ therefore i think if you prove/disprove that 2 พจน์ที่ติดกันเป็นกำลังสองสมบูรณ์
you can get the answer ((I think??))

[owlpenguin]

2 พจน์ติดกันนี่มีแน่ๆครับ ก็ $a_7=1024=32^{2}$ กับ $a_8=2304=48^{2}$

[CmKaN]

7.Let $n \in N$prove that$2^{2^{2n+1}}+3$is จำนวนประกอบ

[owlpenguin]

ข้อนี้พิสูจน์โดย Induction ว่า $7|2^{2^{2n+1}}+3$ ทุก $n\in\mathbb{N}$ ครับ

[CmKaN]

Let $2^{2^{2n+1}}+3$ is prime number that >3 we get
Case1
$2^{2^{2n+1}}+3 \equiv -1(mod 6)$
$2^{2^{2n}} \equiv -1(mod 6)$
$2^{2^{2n}} =5+6k$
but $2^{2^{2n}}$ is a even number and $5+6k$ is odd number $\therefore$เกิดข้อขัดแย้งขึ้น
Case2
$2^{2^{2n+1}}+3 \equiv 1(mod 6)$
$2^{2^{2n+1}} \equiv 4(mod 6)$
$2^{2^{2n}} \equiv 1(mod6)$
$2^{2^{2n}}=1+6k$
but $2^{2^{2n}}$ is a even number and $5+6k$ is odd number $\therefore$เกิดข้อขัดแย้งขึ้น
Case3
$2^{2^{2n+1}} +3=0$<---never happen
from case1,2,3 $\therefore2^{2^{2n+1}} +3$ is จำนวนประกอบ
Is this Correct??

P.S. How do you know that $7| 2^{2^{2n+1}} $