โจทย์ครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kira Yamato

1.ถ้าa,b,cเป็นรากของสมการ $x^{3}-5x^{2}+7x+6=0$
แล้วค่าของ $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ เท่ากับเท่าใด

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ข้อ1.สมมติสมการเป็น (x-a)(x-b)(x-c)=0 กระจายแล้วเทียบสปส.ดูครับ

ข้อ1. ถ้าa,b,cเป็นรากของสมการ $x^{3}-5x^{2}+7x+6=0$
แล้วเราจะพบว่า (x-a)(x-b)(x-c)=0 เป็นสมการเดียวกันครับ

เราสามารถกระจายสมการนี้ได้เป็น $x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc =0$

** เทียบสัมประสิทธิ์กันจะได้ -(a+b+c) = -5 , +(ab+ac+bc) = +7 และ -abc = +6 **

เรานำชุดแรก -(a+b+c) = -5 มายกกำลังสองได้เป็น $(a+b+c)^2$ = 25

กระจายได้เป็น 25 = $a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ = $a^2+b^2+c^2$ +2(ab+ac+bc)

ดังนั้น $a^2+b^2+c^2$ = 25 - 2(ab+ac+bc) = 25 -2(7) = 11 ตอบครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kira Yamato

3.ถ้าพหุนามP(x)หารด้วย x-2 เหลือเศษ3 และหารด้วย x-1เหลือเศษ 2 แล้วพหุนามP(x)หารด้วย
(x-2)(x-1) จะเหลือเศษเท่าใด
ก. 2x-1 ข.2x+1 ค.x-1 ง. x+1

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ที่ถูก คือ $x+1$
แนวคิด ให้ $P(x) = q(x)(x-1)(x-2)+ax+b$
แทนค่า $x =1-->P(x) =2$ และ $x =2-->P(x) =3$แล้วแก้สมการหา $a,b$

สมมุติ ให้เศษที่เกิดจากการหารพหุนามP(x)ด้วย (x-2)(x-1) เป็น (ax+b)
ดังนั้นเราจะได้รูปของพหุนามP(x) เป็น $P(x) = q(x)(x-1)(x-2)+ax+b$

เรามีวิธีแก้ปัญหานี้ได้หลายแบบเช่น

แบบที่ 1 เมื่อนำ P(x) มาหารด้วย (x-2) เหลือเศษ3 และหารด้วย (x-1) เหลือเศษ 2
แสดงว่า ax+b = a(x-2)+3 = ax +(3-2a) และ ax+b = a(x-1)+2 = ax+(2-a)
เทียบพจน์ได้ b = (3-2a) = (2-a) จะได้ค่า a = 1 และได้ b = 1

ดังนั้น $P(x) = q(x)(x-1)(x-2)+ax+b = q(x)(x-1)(x-2)+(x+1) $

แบบที่ 2 เมื่อนำ P(x) มาหารด้วย (x-2) เหลือเศษ3 และหารด้วย (x-1) เหลือเศษ 2
2.1) ถ้าเราแทนค่า x = 2 ลงในพหุนามP(x) แล้วทุกชุดในพหุนามP(x) ที่มี (x-2) เป็นตัวประกอบ จะมีค่าเป็นศูนย์
และเราได้สมการเป็น P(2) = 2a+b = 3 ----(1)
2.2) ถ้าเราแทนค่า x = 1 ลงในพหุนามP(x) แล้วทุกชุดในพหุนามP(x) ที่มี (x-1) เป็นตัวประกอบ จะมีค่าเป็นศูนย์
และเราได้สมการเป็น P(1) = 1a+b = 2 ----(2)

แก้สมการ(1) และ(2) จะได้ค่า a = 1 และได้ค่า b = 1 , ดังนั้นพหุนาม $P(x) = q(x)(x-1)(x-2)+(x+1) $

[Kira Yamato18]

ขอบคุณครับ