ช่วยแนะนำ ทำอย่างไรกับโจทย์ตรีโกณฯกับอนุกรม (มี 2 ข้อค่ะ)

[Suwiwat B]

เเล้วมันตอบอะไรอะ .. อยากรู้
PAT1 ปีนี้ง่ายเนอะ ... จนกระทั่งธนูปักที่หัวเข่า T_T

[PP_nine]

สังเกต $x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)$

แต่ว่า $x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)$

ดังนั้น $x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

ที่เหลือก็ telescopic summation เอาครับ

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^4+k^2+1}=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2-k+1}-\frac{1}{k^2+k+1}$$

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^4+k^2+1}=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1/2)^2+3/4}-\frac{1}{(k+1/2)^2+3/4}$$

ตัดกันหมดเหลือตัวแรกเป็น

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^4+k^2+1}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(1-1/2)^2+3/4}=\frac{1}{2}$$