มาทำโจทย์กันเถอะ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

จริงข้อนี้ต้องเพิ่มว่า ถ้าต้องการให้ $a$ มีค่ามากที่สุดเท่าที่จะมากได้ ....นะครับ

a+b+c=44+75+88=207
http://www.mathcenter.net/forum/show...postcount=1208

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

2. Find all pairs of integers for which $mn \geqslant 0$
$m^3+n^3+99mn = 33^3$

ผมลองมั่วๆ ไปมานะครับ

$m^3+n^3+99mn=33^3$

$33^3-m^3-n^3=99mn$

จากลูกเล่นที่เราเคยเห็นบ่อยๆคือ $a^3+b^3+c^3=3abc$ จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ $a=b=c$ หรือ $a+b+c=0$

กรณีที่ 1 $a=b=c$

$33^3+(-m)^3+(-n)^3= 3(33)(-m)(-n)$

$m=n=-33$

ได้ $(m,n)=(-33,-33)$

กรณีที่ 2 $a+b+c=0$

$33^3+(-m)^3+(-n)^3= 3(33)(-m)(-n)$

$33-m-n=0$

จะได้ $(m,n)=(33,0),(32,1),(31,2)...(1,32)(0,33)$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

ผมลองมั่วๆ ไปมานะครับ

$m^3+n^3+99mn=33^3$

$33^3-m^3-n^3=99mn$

จากลูกเล่นที่เราเคยเห็นบ่อยๆคือ $a^3+b^3+c^3=3abc$ จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ $a=b=c$ หรือ $a+b+c=0$

กรณีที่ 1 $a=b=c$

$33^3+(-m)^3+(-n)^3= 3(33)(-m)(-n)$

$m=n=-33$

ได้ $(m,n)=(-33,-33)$

กรณีที่ 2 $a+b+c=0$

$33^3+(-m)^3+(-n)^3= 3(33)(-m)(-n)$

$33-m-n=0$

จะได้ $(m,n)=(33,0),(32,1),(31,2)...(1,32)(0,33)$

เผื่อบางคนยังไม่รู้ $a^3+b^3+c^3 - 3abc = \dfrac{1}{2}(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

a+b+c=44+75+88=207
http://www.mathcenter.net/forum/show...postcount=1208

เปลี่ยนเป็น 2011 นะครับ แต่แนวคิดก็คงได้แล้วหละ

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

คุณNo Name....ขยันจังครับ
ข้อแรก....ลักไก่ได้ไหมว่า
$3xy(x+y)=0$ เพราะจาก
$(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$
เนื่องจาก $x,y$ เป็นจำนวนเต็ม....
$x=0$ หรือ $y=0$ หรือ $x=-y$
มันมีคำตอบเป็นอนันต์เลยหรือเปล่าครับ

ขอโทษครับ พิมพ์โจทย์ผิดครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

5. Solve the following system in real numbers:
$ab=\dfrac{c^2}{1+c^2}$---------------(1)
$bc=\dfrac{a^2}{1+a^2}$---------------(2)
$ca=\dfrac{b^2}{1+b^2}$---------------(3)

สมการ (1) คูณด้วย $c$ และ สมการ (2) คูณด้วย $a$ ได้

$abc=\dfrac{c^3}{1+c^2}$

$abc=\dfrac{a^3}{1+a^2}$

$\dfrac{a^3}{1+a^2}=\dfrac{c^3}{1+c^2}$

$a^3+a^3c^2=c^3+c^3a^2$

$(c-a)(c^2+ca+a^2+a^2c^2)=0$

เมื่อ $a=c$ จะได้ $b=\dfrac{c}{1+c^2}$ แทนลองไปใน สมการ (3)

$c^2=\dfrac{ \dfrac{c^2}{1+2c^2+c^4}}{1+\dfrac{c^2}{1+2c^2+c^4}}$

$c^2=\dfrac{c^2}{1+3c^2+c^4}$

$c^2(c^4+3c^2)=0$

$c^4(c^2+3)=0$

ได้ $c=0,\sqrt{3}i$

และจากโจทย์ $a,b,c \in \mathbf{R} $ จะได้ $c=0,a=0,b=0$

$(a,b,c)=(0,0,0)$

ข้อนี้เหมือนจะมีคำตอบอื่นอีกอ่ะครับไม่แน่ใจเหมือนกัน เหมือนผิดๆอ่ะครับ

[No.Name]

เอามาฝากครับ (หนังสือจาก คุณ banker เลย)

1.) ถ้า $\cos A+\cos B+\cos C=0$ แล้ว จงหาค่าของ $\ \dfrac{ \cos 3A+\cos 3B+\cos 3C}{\cos A\cos B\cos C}$

2.) $x^{50}+x^{30}+1$ หารด้วย $(x-1)^4$ เหลือเศษเท่าใด

3.) สำหรับทุกจำนวนเต็ม $m>1$ แล้ว จงแสดงว่า $(m-1)^2$ หาร $m^{m-1}-1$ ลงตัว

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

1.) ถ้า $\cos A+\cos B+\cos C=0$ แล้ว จงหาค่าของ $\ \dfrac{ \cos 3A+\cos 3B+\cos 3C}{\cos A\cos B\cos C}$

ผมคิดได้ $12$
$\cos A+\cos B+\cos C=0 \rightarrow \cos^3 A+\cos^3 B+\cos^3 C=3\cos A\cos B\cos C$
เทียบจาก $a+b+c=0$ แล้ว $a^3+b^3+c^3=3abc$
$\cos 3A=4\cos^3A-3\cos A$
$\cos 3A+\cos 3B+\cos 3C=4(\cos^3 A+\cos^3 B+\cos^3 C)-3(\cos A+\cos B+\cos C)$
$=4(\cos^3 A+\cos^3 B+\cos^3 C)$
$=4(3\cos A\cos B\cos C)$

$\dfrac{ \cos 3A+\cos 3B+\cos 3C}{\cos A\cos B\cos C}=12$

[กิตติ]

1. Find all pairs of integers (x,y) such that
$x^3+y^3 = (x+y)^2$

ข้อแรก คิดได้คำตอบคือ $(x,y)=(0,0),(1,0),(0,1),(1,2),(2,1)$ กับ$x=-y$ อีกอนันต์
$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)^2$
$(x+y)\left\{\,x^2-xy+y^2-x-y\right\}=0 $
ได้$x=-y$ กับ $x^2-xy+y^2-x-y=0$
ให้$x+y=a$
$x-y=b$ โดยที่$a,b$ เป็นจำนวนเต็ม
$xy=\frac{a^2-b^2}{4} $ และ$x^2+y^2=\frac{a^2+b^2}{2}$

$\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{a^2-b^2}{4}-a=0$
$2a^2+2b^2-a^2+b^2-4a=0$
$a^2-4a+3b^2=0$
$a=2\pm \sqrt{4-3b^2} $ สมการนี้เป็นจริงเมื่อ $4-3b^2\geqslant 0$
จะได้$-\frac{2}{\sqrt{3} } \leqslant b \leqslant \frac{2}{\sqrt{3} }$
เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนเต็ม จะมีค่า$b$ คือ $-1,0,1$

เมื่อ $b=-1,1$ ได้ $a=1,3$
เมื่อ $b=0$ ได้ $a=0$
เพิ่มเติม...หายไปพจน์หนึ่ง...หลังจากดูเฉลยจากคุณNoooNuii
เมื่อ $b=0$ ได้ $a=0,$ $4$
นำไปแก้หาค่า $(x,y)$...ได้เท่ากับ $(0,0),(1,0),(0,1),(1,2),(2,1)$...เพิ่มอีกพจน์คือ....$(2,2)$
รวมกับคำตอบที่ได้มาในตอนแรกคือ $x=-y$

[No.Name]

ข้อ 3 ของคุณ Metamorphosis ทำอย่างไรเหรอครับ

ผมดูไม่ค่อยออก งงมากๆ

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

ข้อ 3 ของคุณ Metamorphosis ทำอย่างไรเหรอครับ

ผมดูไม่ค่อยออก งงมากๆ

ทำได้หลายวิธีครับ แต่ที่เห็นได้ทั่วไปคือ การใช้ ฟังก์ชันเพิ่มและลด เข้ามาช่วยในการสรุปค่าบางอย่างครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

ทำได้หลายวิธีครับ แต่ที่เห็นได้ทั่วไปคือ การใช้ ฟังก์ชันเพิ่มและลด เข้ามาช่วยในการสรุปค่าบางอย่างครับ

x เป็นจำนวนจริงใช่ไหมครับ ขอบคุณสำหรับคำแนะนำครับ

ปล. ผมไม่รู้จัก ฟังก์ชันเพิ่มและลด เลยครับแต่จะลองศึกษาดู

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

3. $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x + (\sqrt{3}+\sqrt{2})^x =\sqrt{5}$

โจทย์นี้น่าจะเป็นเทคนิคพื้นฐานนะ แต่ทำให้เลยละกัน

เริ่มจาก $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

เราก็ให้ $k=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{-x}$

สมการเปลี่ยนเป็น $k+\frac{1}{k}=\sqrt{5}$ แก้สมการได้ $k=\frac{\sqrt{5} \pm 1}{2}$

จึงได้ $x=log_{\sqrt{3}+\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{5} \pm 1}{2})$ เป็นคำตอบ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

6.Solve the equation
$$2(2^x-1)x^2+((2^x)^2-2)x = 2^{x+1}-2$$

ข้อนี้ดูแปลกๆไงไม่รู้ ช่วยลองดูรายละเอียดอีกทีหน่อยครับ ถ้าถูกแล้วจะได้ลองทำใหม่

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

เอามาฝากครับ (หนังสือจาก คุณ banker เลย)

2.) $x^{50}+x^{30}+1$ หารด้วย $(x-1)^4$ เหลือเศษเท่าใด

โจทย์ข้อนี้ทำมาหลายวันแล้วไม่ออก กระจายแล้วมันทอนกำลังของ $x$ ไม่ลงเหลือสั้นๆ....ตั้งหารยาวคงอีกสี่วันคงจะออก
ถ้าจำกัดแค่ความรู้ของม.ต้น ไม่ทราบว่ามีใครพอจะมองออกว่าแปลงเป็นอะไรได้บ้างถึงจะได้คำตอบ
ใช้ทฤษฎีเศษเหลือของสมการพหุนามก็ตันแค่
$p(x)=x^{50}+x^{30}+1=Q(x)(x-1)^4+ax^3+bx^2+cx+d$
ได้แค่ $a+b+c+d=3$
รบกวนขอHintหน่อยสิครับ...ไปไม่ถูก

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

โจทย์ข้อนี้ทำมาหลายวันแล้วไม่ออก กระจายแล้วมันทอนกำลังของ $x$ ไม่ลงเหลือสั้นๆ....ตั้งหารยาวคงอีกสี่วันคงจะออก
ถ้าจำกัดแค่ความรู้ของม.ต้น ไม่ทราบว่ามีใครพอจะมองออกว่าแปลงเป็นอะไรได้บ้างถึงจะได้คำตอบ
ใช้ทฤษฎีเศษเหลือของสมการพหุนามก็ตันแค่
$p(x)=x^{50}+x^{30}+1=Q(x)(x-1)^4+ax^3+bx^2+cx+d$
ได้แค่ $a+b+c+d=3$
รบกวนขอHintหน่อยสิครับ...ไปไม่ถูก

ได้ดูเล่มสีฟ้าหรือยังครับ (คณิตศาสตร์ปรนัยเล่ม 19)

(หนังสือไม่ได้อยู่กับผม ไม่แน่ใจว่า มีแนวทางในหนังสือเล่มนี้ไหม แต่คลับคล้ายคลับคลาว่าเคยเห็น)