ขอ ข้อสอบPMWCปี2003-2005

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

อัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม I:II:III เท่ากับ $a:b:c$เท่ากับ$3:4:5$ $\rightarrow $อัตราส่วนของรัศมีก็เท่ากับ$3:4:5$เหมือนกัน
พื้นที่ของวงกลมIII เท่ากับ 24 .ให้วงกลมIIIมีรัศมีเท่ากับ $c$ $\rightarrow $ $24=\frac{1}{2} \times \pi c^2$ ดังนั้น $c^2 = \frac{48}{\pi } $
ไม่ต้องถอดรูทก็ได้ เพราะในสูตรการหาพื้นที่มีการใช้รัศมียกกำลังสอง
จากนั้นเริ่มจาก $a:b:c$เท่ากับ$3:4:5$ $\rightarrow $ จะได้ว่า $a=\frac{3}{5}c $ และ$b=\frac{4}{5} c$
พื้นที่ครึ่งวงกลมI+II $= \frac{\pi (a^2+b^2)}{2} $
$a^2 =(\frac{3}{5}c )^2 = \frac{9}{25} c^2$
$b^2 =(\frac{4}{5}c )^2 = \frac{16}{25} c^2$
$a^2 + b^2 =(\frac{9}{25}+\frac{16}{25}) c^2 $
$a^2 + b^2 =c^2 $ จาก$c^2 = \frac{48}{\pi } $
พื้นที่ครึ่งวงกลมI+II $= \frac{1}{2} \times \pi (a^2+b^2) = \frac{\pi c^2}{2}$
แทนค่า$c^2$ $\rightarrow $ พื้นที่ครึ่งวงกลมI+II $= \frac{1}{2} \times \pi\times \frac{48}{\pi } =24$
พื้นที่วงกลมI+II เท่ากับ 24 ตารางเซนติเมตร

อีกวิธีนะครับ

อัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม I:II:III เท่ากับ $ \ a:b:c \ $เท่ากับ$ \ 3:4:5$

ดังนั้น อัตราส่วนของพื้นที่ของวงกลม I:II:III เท่ากับ $a:b:c$เท่ากับ$ \ 9:16:25$

จะเห็นว่า $9+16 =25$

ดังนั้น พื้นที่วงกลม I + วงกลม II = วงกลม III = $24$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

พื้นที่แรเงาเป็นรูป 5 เหลี่ยม

hint ตามรูป

เศษส่วนในรูป เป็นเศษส่วนของสี่เหลี่ยม $ABCD (=300$ ตารางหน่วย)
Attachment 2709

ถ้าเป็นผม ผมใช้วิธีนี้ครับ

[กิตติ]

ข้อ10.ผมขอถามแบบไม่รู้ว่าทำไมต้องซอยเป็นส่วนๆด้วย เพราะทำแบบไม่ซอยก็ได้...ถามเพราะอยากรู้ ถ้าเป็นวิธีที่ง่ายกว่าก็จะได้เรียนรู้ไว้ครับ
ผมคิดว่าหาพื้นที่แรเงาโดยเอาพื้นที่สามเหลี่ยมสองรูปนั้นไปลบจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยม
ขออนุญาตใช้ภาพของคุณหยินหยาง
พื้นที่สามเหลี่ยม$CDE$ = $\frac{1}{2}\times CD\times CE $ $=\frac{1}{2}\times b \times\frac{2}{3}a $ $=\frac{ab}{3}$......เรารู้แล้วว่า$ab = 300$
พื้นที่สามเหลี่ยม$AFH$ = $\frac{1}{2}\times AF\times AH $ $=\frac{1}{2}\times\frac{b}{2}\times \frac{3}{4}a$ =$\frac{3ab}{16}$
พื้นที่ส่วนแรเงา =$พื้นที่สี่เหลี่ยมABCD-พื้นที่สามเหลี่ยมCDE-พื้นที่สามเหลี่ยมAFH$ $=ab-\frac{ab}{3}-\frac{3ab}{16}$ =$\frac{23}{48}ab$ =$\frac{23\times 25}{4}$ $=143.75$

[กิตติ]

ปี2003
ข้อ1 มีธนบัตรแบงค์ดอลลาร์อยู่ 4 ชนิดคือ 1,5,10และ50ดอลลาร์ ถ้ามีจำนวนแบงค์อยู่ทั้งหมด 9 ใบโดยที่มีธนบัตรทุกชนิด(คือมีอย่างน้อยชนิดละหนึ่งใบ)และมีจำนวนเงินรวมกันได้ 177 ดอลลาร์ จะมีธนบัตร10ดอลลาร์กี่ใบ

เริ่มจากมีธนบัตรอย่างละหนึ่งใบ โจทย์บอกว่าอย่างน้อยอย่างละหนึ่งใบ รวมได้ 4ใบ เป็นเงิน 66ดอลลาร์ รู้ว่ารวมเป็นเงิน 177 ดอลลาร์จึงยังขาดอยู่ 111 ดอลลาร์ มาดูที่ลงท้ายด้วย 1 เป็นการบังคับว่าต้องมีธนบัตร 1ดอลลาร์หนึ่งใบ รวมแล้วตอนนี้มีธนบัตร 5ใบ ขาดอีก 4ใบ....ที่รวมกันได้ 110 ดอลลาร์ ซึ่งเป็นไปได้กรณีเดียวคือธนบัตร50ดอลลาร์2ใบกับธนบัตร5ดอลลาร์อีก2ใบ...ดังนั้นมีธนบัตร10ดอลลาร์จำนวน 1 ใบ

[กิตติ]

ข้อ4 จงหาค่าของ
$\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5})+. ..+(\frac{1}{100}+\frac{2}{100}+\frac{3}{100}+...+\frac{99}{100})$

พจน์แรกคือ$\frac{1}{2}$
พจน์ที่2 คือ $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}$ =$1$
พจน์ที่3 คือ $\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}$ =$\frac{3}{2} $ =$1\frac{1}{2} $
พจน์ที่ 4 คือ $\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5}$ =$2$
พจน์ที่ 5 คือ $\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}$ =$2\frac{1}{2}$
พจน์ที่ 99 คือ $\frac{1}{100}+\frac{2}{100}+\frac{3}{100}+...+\frac{99}{100}$ = $49\frac{1}{2}$
ลองมาเขียนใหม่จะได้เป็น
$\frac{1}{2}+1+1\frac{1}{2}+2+2\frac{1}{2}+...+47\frac{1}{2}+48+48\frac{1}{2}+49+49\frac{1}{2}$
จัดหน้าตาใหม่อีกทีจะได้
$(1+2+3+...+49)+(\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}+...47\frac{1}{2}+48\frac{1}{2}+49\frac{1}{2})$
$(1+2+3+...+49)$ มีทั้งหมด 49 พจน์ ดังนั้น$(\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}+...47\frac{1}{2}+48\frac{1}{2}+49\frac{1}{2})$มีทั้งหมด 50 พจน์ จับคู่กันได้25คู่แต่ละคู่มีผลรวมกันได้ 50
$(1+2+3+...+49) =25\times 51= 1275$-----ตรงนี้คูณผิด....25x51 = 1225
$(\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}+...47\frac{1}{2}+48\frac{1}{2}+49\frac{1}{2}) = 50\times 25 = 1250$
คำตอบคือ$1275+1250 = 2525$.....คำตอบที่ถูกคือ $1225+1250 $คือ $2475$...ขอบคุณคุณอาBanker...ชี้จุดให้ครับ...

[หยินหยาง]

#18
ต้องขอโทษด้วยครับที่ทำให้สับสน ผมเพียงต้องการแซว คุณ banker ครับ เพราะเห็นคุณ banker ลากเส้นหลายเส้นผมก็เลยเสนอว่าถ้าจะทำแบบนั้นก็ทำแบบนี้ก็ได้ ซึ่งเป็นวิธีที่ง่ายกว่าเท่านั้น และสามารถทดในใจได้ โดยดูสัดส่วนของฐานและสูง และวิธีของคุณ กิตติ ก็เป็นวิธีที่ง่ายและสะดวกแล้วครับ

[กิตติ]

ถามเพื่อรู้ครับ...ถ้ามีวิธีการที่ง่ายกว่า ผมก็อยากเรียนรู้ไว้ครับ ไม่ได้คิดอะไรครับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

อีกวิธีนะครับ

อัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม I:II:III เท่ากับ $ \ a:b:c \ $เท่ากับ$ \ 3:4:5$

ดังนั้น อัตราส่วนของพื้นที่ของวงกลม I:II:III เท่ากับ $a:b:c$เท่ากับ$ \ 9:16:25$

จะเห็นว่า $9+16 =25$

ดังนั้น พื้นที่วงกลม I + วงกลม II = วงกลม III = $24$

เห็นด้วยครับทำให้ดูง่ายขึ้น...ขอบคุณครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

PMWC 2003 Individual
3.มีพื้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามรูป ทำการปูกระเบื้องด้วยกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเท่ากันโดยกระเบื้องที่อยู่ในแนวเส้นทะแยงมุมนั้นจะใช้กระเบื้องสีดำ ส่วนพื้นที่ที่เหลือปูด้วยกระเบื้องสีขาว ถ้าใช้กระเบื้องสีดำทั้งหมด 101 แผ่น จะต้องใช้กระเบื้องสีขาวกี่แผ่น

หิน HINT


นับช่องลงมา จะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัส 51 x 51 = 2601

ลบ สีดำออก 101 จะเหลือเท่าไร?

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

พจน์แรกคือ$\frac{1}{2}$
พจน์ที่2 คือ $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}$ =$1$
พจน์ที่3 คือ $\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}$ =$\frac{3}{2} $ =$1\frac{1}{2} $
พจน์ที่ 4 คือ $\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5}$ =$2$
พจน์ที่ 5 คือ $\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}$ =$2\frac{1}{2}$
พจน์ที่ 99 คือ $\frac{1}{100}+\frac{2}{100}+\frac{3}{100}+...+\frac{99}{100}$ = $49\frac{1}{2}$
ลองมาเขียนใหม่จะได้เป็น
$\frac{1}{2}+1+1\frac{1}{2}+2+2\frac{1}{2}+...+47\frac{1}{2}+48+48\frac{1}{2}+49+49\frac{1}{2}$
จัดหน้าตาใหม่อีกทีจะได้
$(1+2+3+...+49)+(\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}+...47\frac{1}{2}+48\frac{1}{2}+49\frac{1}{2})$
$(1+2+3+...+49)$ มีทั้งหมด 49 พจน์ ดังนั้น$(\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}+...47\frac{1}{2}+48\frac{1}{2}+49\frac{1}{2})$มีทั้งหมด 50 พจน์ จับคู่กันได้25คู่แต่ละคู่มีผลรวมกันได้ 50
$(1+2+3+...+49) =25\times 51= 1275$$<-- =25\times 49= 1225$
$(\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}+...47\frac{1}{2}+48\frac{1}{2}+49\frac{1}{2}) = 50\times 25 = 1250$
คำตอบคือ$1275+1250 = 2525$

ลองมาเขียนใหม่จะได้เป็น
$k = \frac{1}{2}+1+1\frac{1}{2}+2+2\frac{1}{2}+...+47\frac{1}{2}+48+48\frac{1}{2}+49+49\frac{1}{2}$


$ 2k = 1+2+3+...+49 = 4950$


$k = 2475$

[กิตติ]

ขอบคุณครับ....เมื่อคืนเบลอไปหน่อยครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

พจน์แรกคือ$\frac{1}{2}$
พจน์ที่2 คือ $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}$ =$1$
พจน์ที่3 คือ $\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}$ =$\frac{3}{2} $ =$1\frac{1}{2} $
พจน์ที่ 4 คือ $\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5}$ =$2$
พจน์ที่ 5 คือ $\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}$ =$2\frac{1}{2}$
พจน์ที่ 99 คือ $\frac{1}{100}+\frac{2}{100}+\frac{3}{100}+...+\frac{99}{100}$ = $49\frac{1}{2}$
ลองมาเขียนใหม่จะได้เป็น
$\frac{1}{2}+1+1\frac{1}{2}+2+2\frac{1}{2}+...+47\frac{1}{2}+48+48\frac{1}{2}+49+49\frac{1}{2}$
จัดหน้าตาใหม่อีกทีจะได้
$(1+2+3+...+49)+(\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}+...47\frac{1}{2}+48\frac{1}{2}+49\frac{1}{2})$
$(1+2+3+...+49)$ มีทั้งหมด 49 พจน์ ดังนั้น$(\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}+...47\frac{1}{2}+48\frac{1}{2}+49\frac{1}{2})$มีทั้งหมด 50 พจน์ จับคู่กันได้25คู่แต่ละคู่มีผลรวมกันได้ 50
$(1+2+3+...+49) =25\times 51= 1275$-----ตรงนี้คูณผิด....25x51 = 1225 <-- สงสัยเมื่อเช้าคุณกิตติยังไม่ได้ถอน
$(\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}+...47\frac{1}{2}+48\frac{1}{2}+49\frac{1}{2}) = 50\times 25 = 1250$
คำตอบคือ$1275+1250 = 2525$.....คำตอบที่ถูกคือ $1225+1250 $คือ $2475$...ขอบคุณคุณอาBanker...ชี้จุดให้ครับ...

อย่างนี้ต้องถอนนนนนน

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ5 มีดวงไฟกระพริบสองดวงที่กระพริบทุก 30 และ 36 วินาที ถ้าครั้งแรกกระพริบพร้อมกันตอน 10.45น.จงหาว่าไฟทั้งสองจะกระพริบพร้อมกันเป็นครั้งที่ 13 ในเวลาเท่าไหร่

ครน. ของ 30 และ 36 คือ 180
12 x 180 = 2160 วินาที = 36 นาที

ตอบ ถ้าครั้งแรกกระพริบพร้อมกันตอน 10.45น.ไฟทั้งสองจะกระพริบพร้อมกันเป็นครั้งที่ 13 ในเวลา 11 : 21 นาที


หหมายเหตุ
ถ้าครั้งแรกกระพริบพร้อมกันตอน 10.45น. จึงตัองนับไปอีก 12 ครั้ง

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ7.ปีเตอร์เริ่มนับจากเลข100ไปทีละ7(100,107,....) ส่วนแมรีนับถอยหลังจากเลข 1000 ลงทีละ 8 (1000,992,...) ปีเตอร์และแมรี่เริ่มนับพร้อมกัน จงหาว่าทั้งสองคนจะนับได้เลขตรงกันที่จำนวนอะไร(เลขไหน)

จาก 100 ขึ้นไปทีละ 7
จาก 1000 ลงมาทีละ 8

อัตราส่วนเท่ากับ 7:8

15 ส่วน เท่ากับ 1000 - 100 = 900

หนึ่งส่วน = 60

ขึ้น 7 เท่ากับ 7 x 60 เท่ากับ 420 ดังนั้นขึ้นไปถึง 100 + 420 = 520

ลง 8 เท่ากับลง 8 x 60 = 480 ดังนั้นนับลงมา 1000 - 480 = 520

ทั้งสองคนจะนับได้เลขตรงกันที่จำนวน 520

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ8 ในงานปาร์ตี้ครั้งหนึ่งมีคนร่วมงาน $n$ คน และถ้าทุกคนจับมือกันโดยที่จับมือครบทุกคนและจับมือกันหนึ่งคนต่ิอหนึ่งครั้ง นับได้ว่าทั้งงานมีการจับมือกัน 231 ครั้ง จงหาว่า$n$มีค่าเท่าไหร่

จับมือ n คน = (n-1) + (n-2) +...+ 1 ครั้ง

$1+2+3+...+21 = 231$

ดังนั้นมีคนร่วมงาน 22 คน