โจทย์ผมเป็นคนออกเอง

[[SIL]]

รู้สึกว่าจะ ม. ต้นหมดนะครับ (ผมแก่สุดแล้ว )

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

รู้สึกว่าจะ ม. ต้นหมดนะครับ (ผมแก่สุดแล้ว )

ก็นะครับ ม 3 เกือบหมดแหละครับ แต่คุณ SIL ไม่น่าจะแก่สุดนะ ^^
ตอนนี้ผมอยากรู้มากเลยคับข้อ 2 ทำไงอ่ะ งงสุดเลย เหอๆ

[[SIL]]

ใช้พหุนามในการช่วยครับสังเกตว่าถ้าเรากระจาย $(5k+1)^m = 5n+1$ ครับ และทุกๆจำนวนลองจัดให้อยู่ในรูป $5i+k$ ดูครับ ตัวแปรทุกตัวเป็นจำนวนจำนวนเต็มทุกตัวที่ไม่เป็นลบนะครับ

[Ne[S]zA]

เรขาข้อ2ตอบ$3\sqrt{11}$ครับ

[LightLucifer]

ข้อแรก เรขาอ่ะครับ ผมว่าน่าจะเป็นจำนวนเต็มมากกว่านะครับ เพราะถ้าเป็นตรรกยะมันคงจะเยอะมากเลย
ข้อสอง

solution

จากโจทย์จะได้ว่า $(AB)(AC)=(AD)(BC)$--------(1)
$AB^2+AC^2=BC^2$-------------------(2)
$AB+AC=49$----------------------------(3)
$AD+BC=50$---------------------------(4)
นำ$(3)^2$
$AB^2+2(AB)(AC)+AC^2=49^2$-----------(5)
นำ $(5)-(2)$
$2(AB)(AC)=49^2-BC^2$
$(AB)(AC)=\frac{49^2-BC^2}{2}$--------------(6)
จาก $(4)$
$BC=50-AD$-------(7)
แทน $(6)และ(7)ใน(1)$
$\frac{49^2-BC^2}{2}=(AD)(50-AD)$
$49^2(50-AD)^2=AD(100-2AD)$
$49^2-50^2+100(AD)-AD^2=100AD-2AD^2$
$49^2-50^2=-AD$
$AD=\sqrt{99}=3\sqrt{11}$

[Julian]

ตรรกยะครับ ขอยืนยัน นั่งยัน และนอนยัน ไม่เยอะมากครับ ไม่ถึง 50 เอง

[[SIL]]

น้อง Julian มาเพิ่มโจทย์ปัญหาตอนไหนครับเนี่ย ไว้จะลองทำทุกข้อเลยนะครับ
ข้อ 2 พีชคณิต ผมว่ามันเป็น แนวทฤษฎีจำนวนมากกว่านะครับ

[Julian]

นั่นสิครับ ไว้จะแก้นะครับ

[MirRor]

ข้อห้าโจทย์ถูกหรือเปล่าอ่ะครับ
ถ้าถูกแล้วก็โทษที

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MirRor

ข้อห้าโจทย์ถูกหรือเปล่าอ่ะครับ
ถ้าถูกแล้วก็โทษที

ผมว่าไม่น่าผิดนะครับ ข้อนี้ผมได้ step มาจาก การแก้ปัญหาของคุณ หยินหยาง ข้อหนึ่งใน กระทู้ math gift ที่คุณ SIL รวบรวมมา
ลองๆดูนี่นะครับ
$(x^2+ax-3)(x^2+bx+1)=x^4-2x^3-17x^2-14x-3$
แล้วจะได้ $a=-5, b=3$
$\therefore (x^2-5x-3)(x^2+3x+1)=x^4-2x^3-17x^2-14x-3$
แล้วจะแยกต่อเป็นหนึ่งวงเล็บก็ตามสบายครับแต่ผมว่าคำตอบไม่น่าสวย

[[SIL]]

คุณ Light ลองแยก 2 ข้อนี้ให้หน่อยครับแยกไม่ออกเลยจำได้ว่าเคยเห็นนะครับ
(i) $n^{10}+n^5+1$
(ii) $n^5+n^3+1$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

คุณ Light ลองแยก 2 ข้อนี้ให้หน่อยครับแยกไม่ออกเลยจำได้ว่าเคยเห็นนะครับ
(i) $n^{10}+n^5+1$
(ii) $n^5+n^3+1$

ผมก็ไม่มั่นใจนะครับว่าแยกได้อ่ะป่าว แต่ผมว่ามันออกมาไม่เป็นจำนวนจริงอ่ะครับ

[winlose]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL

]คุณ Light ลองแยก 2 ข้อนี้ให้หน่อยครับแยกไม่ออกเลยจำได้ว่าเคยเห็นนะครับ
(i) $n^{10}+n^5+1$
(ii) $n^5+n^3+1$

อย่างนี้ได้ไหมครับ
(i)$n^{10}+n^5+1=0$
$(n^5-1)(n^{10}+n^5+1)=0$
$n^{15}-1=0$
$\therefore n^5=1,\omega ,\omega^2$
$\therefore n^{10}+n^5+1=(n^5-\omega)(n^5-\omega^2)$

$\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$

[LightLucifer]

ช้อ 3 เรขาได้ $5+4\sqrt{2}\approx 10.656$ หรือป่าวครับไม่แน่ใจ

[[SIL]]

ขอบคุณครับคุณ winlose ไม่ทราบว่า ตัว$\omega$ นี่มีความหมายอย่างไรหรอครับ เพราะในวิธีของคาร์ดานผมก็เห็นแต่ไม่รู้เรื่องเลย