เตรียมสอบการเเข่งต่างๆ ของ ม.ปลาย

[artty60]

#8 ว่าแต่ข้อ2. มีเฉลยวิธีรึเปล่าครับ

[Thgx0312555]

หมายถึงเฉลยว่าทำไมต้องคิดอย่างนี้ใช่ไหมครับ

ก่อนอื่นก็พยายามจัดรูปให้ทั้ง $a_n,b_n$ มีหน้าตาคล้ายกัน โดยการหาร $a_n$ ด้วย $\sqrt{2}$
แล้วก็สังเกตว่าเราสามารถ bound $b_n$ ได้
จากนั้นก็ take limit n to infinity ดูว่าค่าที่ bound ได้มันจะลู่เข้าสู่ๆค่าๆหนึ่งหรือไม่
น่าจะประมาณนี้แหละครับ

[artty60]

ขอบคุณครับ

ผมเพียงแต่เผื่อว่าท่านอื่นอาจมีเฉลยวิธีคิดแบบอื่นๆอีกน่ะครับ


ปล.อ้อ! ผมสงสัยนิดเดียวว่าทำไมต้อง$\geqslant $ แทนที่จะเป็น $>$

[artty60]

แล้วเป็นแบบนี้ได้ไหม

$a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2} }+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+...$

$b_n=\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+...$

$a_n-b_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{8}}+...$

$a_n-b_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}a_n $

$b_n+1=(1-\frac{1}{\sqrt{2}})a_n$

$\frac{b_n+1}{a_n}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$

$\frac{b_n}{a_n}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{a_n}$

$\lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$

[Thgx0312555]

solution นี้ก็เล่นเอางงอยู่นานทีเดียว
มันเป็นเรื่องเกี่ยวกับอนุกรม divergent น่ะครับ
เช่นเราจะหาค่าของ $1+2+4+8+\cdots$
$S=1+2+4+8+\cdots$
$2S=2+4+8+16+\cdots$
$S=-1$
ซึ่งเห็นได้ชัดว่าขัดแย้ง ผมคิดว่ากรณีนี้ก็น่าจะคล้ายๆกันครับ