อสมการ

[Metamorphosis]

ตอนนี้ได้ทั้ง 2 ข้อแล้วครับ ได้ Big hint มา 555

[Metamorphosis]

ข้อ 2 #1แนวคิดคล้าย ๆ PP_Nine

$\dfrac{a}{1+b^2c}=a-\dfrac{ab^2c}{1+b^2c} \geqslant a-\dfrac{ab\sqrt{c}}{2} = a-\dfrac{b\sqrt{a*ac}}{2} \geqslant a-\dfrac{b(a+ac)}{4} $

จะได้ $$\sum_{cyc} \frac{a}{1+b^2c} \geqslant \sum_{cyc}a-\frac{1}{4}\sum_{cyc}ab-\frac{1}{4}abc$$

โดย am-gm จะได้ $\sum_{cyc}ab \leqslant 4 , \sum_{cyc}abc \leqslant 4$ จากเงื่อนไข (a+b+c =4)

จะได้ $$\sum_{cyc} \frac{a}{1+b^2c} \geqslant a+b+c+d-1-1 =2$$

ข้อ 2 #7

cauchy-schwarz $$\frac{c^2}{c^2a^2+2c^2b^2}+ \frac{a^2}{a^2b^2+2a^2c^2}+\frac{b^2}{b^2c^2+2b^2a^2}\geqslant \frac{9}{3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)} $$

เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \leqslant 3$ ภายใต้เงื่อนไข $a+b+c=3$
ให้ $p=a+b+c , q=ab+bc+ca , r=abc$

พิสูจน์ $q^2-2pr \leqslant 3$
จาก $p^2 \geqslant 3q \leftrightarrow \frac{p^2}{3} \geqslant q$
จะได้ $q^2-2pr \leqslant \frac{p^2q}{3}-2pr = pq-6r$

จะได้สิ่งที่ต้องการพิสูจน์คือ $pq \leqslant 3+6r , 4pq \leqslant 12+24r \leqslant p^3+9r$ ซึ่งเป็นจริงโดย Schur's

** $p^3+9r \geqslant 12+24r , 27-12 \geqslant 15r , r \leqslant 1$ ซึ่งเป็นจริงจาก (a+b+c =3)

[PP_nine]

ว่าแล้วต้องมา PQR methods

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

ให้ $p=a+b+c , q=ab+bc+ca , r=abc$

จะได้สิ่งที่ต้องการพิสูจน์คือ $pq \leqslant 3+6r , 4pq \leqslant 12+24r \leqslant p^3+9r$ ซึ่งเป็นจริงโดย Schur's

** $p^3+9r \geqslant 12+24r , 27-12 \geqslant 15r , r \leqslant 1$ ซึ่งเป็นจริงจาก (a+b+c =3)

งงตรงนี้ครับ คือเราไ้ด้ว่า $p^3+9r\ge 4pq$ จาก Schur
กับ $p^3+9r\ge 12+24r$ งั้นเราก็สรุปไม่ได้สิรับว่า $4pq \le 12+24r$