เกี่ยวกับ Factorial

[Thgx0312555]

คำถาม::

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

$\frac{2007!}{4^{1000}}$ เหลือเศษ $3*2^{1998}$

$\frac{2007!}{4^{1000}}$ เหลือเศษ $3*4^{999}$ ---(1)

$\frac{2007!}{3^{1000}}$ ลงตัว ---(2)

$\frac{2007!}{12^{1000}}$ เหลือเศษ $??$

solution

----------หมายเหตุ $a|b$ มีความหมายว่า $a$ หารด้วย $b$ ลงตัว-----------

สมมติ x สอดคล้องกับทั้ง (1) และ (2)

จาก (1) $ x = 4^{1000}p - 4^{999}$
จาก (2) $ x = 3^{1000}q$

$3^{1000}q = 4^{1000}p - 4^{999}$
$3^{1000}|4^{1000}p-4^{999}$
$3^{1000}|4^{999}\bullet (4p-1)$

แต่ $3^{1000} \nmid 4^{999}$
$\therefore 3^{1000}|4p-1$

$\frac{3^{1000}}{4}$เหลือเศษ 1 แต่ $\frac{4p-1}{4}$ เหลือเศษ3
$\therefore p_{ตัวแรก} = \frac{3\bullet 3^{1000}+1}{4} $
$p_{ตัวที่สอง} = \frac{3\bullet 3^{1000}+1}{4}+3^{1000} $
$p_{ตัวที่สาม} = \frac{3\bullet 3^{1000}+1}{4}+2\bullet 3^{1000} $
$p_{ตัวที่สี่} = \frac{3\bullet 3^{1000}+1}{4}+3\bullet 3^{1000} $
......
$p_{n+1} = \frac{3\bullet 3^{1000}+1}{4}+n\bullet 3^{1000} $

แทนค่า p ใน (1) จะได้
$x = 3^{1001}\bullet 4^{999} + n\bullet 12^{1000}$
$x = 12^{1000}n+3^{1001}4^{999}$

$\therefore \frac{2007!}{12^{1000}} $ เหลือเศษ $3^{1001}4^{999}$