โจทย์อัตราส่วน ช่วยคิดทีครับ

[t.B.]

หมายความว่า ข้อนี้ต้องบอก รัศมีทั้งสอง ของวงกลมวงเล็ก2วงข้างใน มาด้วยรึเปล่าครับ จึงจะได้จุด Q ที่แน่นอน ที่ซึ่งสามารถลาก PQ และ PC แล้วทำให้จากจุด C มาตั้งฉากกับ O ได้ และมีเส้นเดียว(เพราะจุดCโดนfixไว้ด้วยความยาวด้าน3เหลี่ยม)? ผมเข้าใจถูกรึเปล่าครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

หมายความว่า ข้อนี้ต้องบอก รัศมีทั้งสอง ของวงกลมวงเล็ก2วงข้างใน มาด้วยรึเปล่าครับ จึงจะได้จุด Q ที่แน่นอน ที่ซึ่งสามารถลาก PQ และ PC แล้วทำให้จากจุด C มาตั้งฉากกับ O ได้ และมีเส้นเดียว(เพราะจุดCโดนfixไว้ด้วยความยาวด้าน3เหลี่ยม)? ผมเข้าใจถูกรึเปล่าครับ

คุณ t.B. ใจเย็นๆก่อนนะครับ ผมไม่ได้หมายถึงตัวโจทย์ครับ ดังนั้นลืมเรื่องจุด C ไปได้เลย

ผมกำลัง focus ไปที่ Hint แรกของคุณ Puriwatt ที่บอกว่า
"เส้นสัมผัสทั้ง 3 เส้น ที่ลากผ่านจุดสัมผัสของวงกลมที่ A,B, Q จะตัดกันที่จุดเดียว(สมมุติให้เป็นจุด P)"

Hint ดังกล่าวนั้นเป็นจริง โดยไม่ขึ้นกับเงื่อนไขOC ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสร่วมครับ

จากนั้นผมพยายามจะสื่อว่า PA=PB=PQ ไม่ใช่เหตุผลที่ยืนยันว่า 3 เส้นสัมผัสไปตัดกันที่จุดเดียว (นั่นคือสื่งที่ผม mark ไว้ในความเห็นก่อนหน้าของผม)

การจะบอกว่า 3 เส้นสัมผัสตัดกันที่จุดเดียว ควรจะต้องเริ่มจากการให้เส้นสัมผัสที่ A, B ไปตัดกันที่จุดๆหนึ่งก่อน (สมมติเป็น P) จากนั้นลาก PQ แล้วอธิบายให้ได้ว่า PQ เป็นเส้นสัมผัสครับ

ถ้าตอบคำถามนี้ได้ ก็เท่ากับเป็นการพิสูจน์ Hint แรกของคุณ Puriwatt ครับ

[Onasdi]

มีอีกวิธีมาให้ดูกันครับ

ทำต่อจากคุณ Puriwatt ที่สร้างจุด P ขึ้นมานะครับ
ให้ Q อยู่บน AC ที่ทำให้ BQ ขนานกับ OC
ABCO concyclic เลยได้ $\angle BAC=\angle BOC$
ต่อไป $\angle ABQ=\angle ABO - \angle QBO=\angle BAO - \angle BOC=\angle BAO - \angle BAC=\angle OAC=\angle OBC$
ดังนั้น $\triangle BQA \sim \triangle BCO$
และก็พบว่า $\angle CBQ=\angle CBO +\angle OBQ=\angle QBA +\angle BAC=\angle BQC$ จึงได้ว่า $CB=CQ$

ดังนั้น $\displaystyle{\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{CO}=\frac{AB}{AQ}=\frac{26}{25-3}=\frac{13}{11}}$

[Onasdi]

ได้ไปดูหนังมาแล้วครับ คิดว่าอันนี้คงเป็น solution ในหนัง (เดาเอาจากที่เด็กเขียนครับ)

ขั้นแรกพิสูจน์ว่า ABCO cyclic ตามวิธีของคุณ Puriwatt เลยครับ
ต่อจากนั้น กำหนดจุด E บน AC ที่ทำให้ $\angle AOE=\angle BOC$
จะเห็นได้ไม่ยากว่า $\triangle AOE\cong \triangle BOC$ จึงได้ $AE=BC=3$
และได้อีกว่า $\triangle OAB \sim \triangle OEC$ (ทั้งคู่หนัาจั่ว) ดังนั้น $\frac{OA}{OC}=\frac{AB}{EC}=\frac{AB}{AC-AE}=\frac{26}{25-3}=\frac{13}{11}$

(จริงๆแล้วเห็นในหนังเค้าใช้ปโตเลมีด้วย แต่ผมคิดว่ามันก็ซ้ำกับการใช้สามเหลี่ยมคล้ายครับ)