สำหรับคนชอบตรีโกณครับ

[gon]

เพิ่งคิดได้สด ๆ ร้อน ๆ เลยครับ. อยากให้ดูกัน

พอจะบอกข้อมูลเกี่ยวกับ
การแก้อสมการตรีโกณได้หรืไม่
ว่าหาจากเล่มไหนได้บ้าง
เพราะจากเนื้อหาจะไม่มี
แต่ test ของปีเก่าๆจะมี
ช่วยสร้างเนื้อเรื่องตรงนี้ขึ้นมาด้วยก็จะ
ทำให้เข้าใจได้มากขึ้น

mathematic man register

พอจะมี ท.บ. เกี่ยวกับอสมการตรีโกณ
ด้วยหรือไม่ เพราะเท่าที่ค้นดู จะไม่มี
ถ้าเป็นไปได้ช่วย ลงมาให้ด้วยได้ก็จะดี
เพราะขนาดเรื่อง ตรีโกณมี ท.บ. เป็นร้อย
แต่พอมา link กับ อสมการ เป็น
อสมการตรีโกณก็ไม่เห็นมีข้อมูล
โผล่ออกมาให้อ่านบ้าง โดยสรุปอยากจะให้
ลงเกี่ยวกับเนื้อหาตรงนี้ด้วย และทำเป็น
ท.บ.ไปเลยก็จะช่วยได้มาก และอยากจะให้ช่วย
ใช้ Ex and solution ไปด้วยในแต่ละ ท.บ.
ก็จะทำให้ได้รับความเข้าใจได้อย่างรวดเร็ว
และคิดว่าเนื้อหาส่วนนี้ก็มีความสำคัญไม่แพ้เรื่อง
สมการตรีโกณเช่นเดียวกันเพราะอะไรงั้นหรือ
มันยากกว่านั่นเองไม่เชื่อลองเทียบระหว่างการแก้สมการ
และการแก้อสมการดูใน ม4 เล่ม1 ขนาดยัง
ไม่มีตรีโกณเข้าไปเกี่ยวก็ยังทำแทบไม่ทันกับเวลา


mathematic man register

[gon]

เอ่อ. อสมการตรีโกณที่น้องว่ามา หมายถึง ใช้กับข้อสอบระดับไหนหรือครับ. Ent', สมาคม ฯ , โอลิมปิก หรือ สูงกว่านั้น จากที่อ่านมาเข้าใจว่าคงหมายถึง ระดับสอบ Ent' เท่านั้นหรือเปล่า

ถ้าจะให้พูดถึงหลักการแก้อสมการ โดยทั่ว ๆ ไป ก็เหมือนกับการแก้อสมการในเรื่องจำนวนจริง ถ้าเข้าใจตรงนั้นกระจ่างจริง ตรีโกณมิติก็ทำแบบเดียวกัน เพียงแต่ในเรื่องตรีโกณมิติอาจจะมี ลูกเล่นเพิ่มเติมเล็กน้อย เช่น การแทน cos q ด้วย x และ sin q ด้วย y เพื่อให้ดูง่ายขึ้น เท่านั้น

ลองดูปัญหาพื้นฐานก่อน เช่น
ถ้า cos q ณ 1/2 แล้ว จงหาค่าของ q เมื่อ

ก. 0 ฃ q ฃ 2p ปัญหาแบบนี้ สำหรับน้องถือว่าหมูหรือไม่ ? ถ้าหมูลองขยับเปลี่ยนโดเมนเป็น
ข. -p ฃ q ฃ p กระดูกขึ้นหรือไม่เวลาตอบ และ ถ้าตอบรูปทั่วไปเลย คือ ตอบเป็นหรือไม่

ลองขยับข้ามไป 2 ขั้น คือ เป็น [ sin q - (1/2) ] / (cos²q - cos q) ณ 0 อย่างนี้ถือว่าหมูหรือไม่ ถ้าแค่ระดับสอบ Ent' การ solve ปัญหานี้ได้ด้วยความเข้าใจ น่าจะเพียงพอในการแก้ปัญหาอสมการตรีโกณทุกอย่างแล้ว

จะให้ดีน้องต้องยกตัวอย่างปัญหาที่น้องคิดว่า กระดูก สำหรับน้องให้ดูครับ. พี่จะได้เข้าใจก่อนว่าระดับความรู้ของน้องอยู่ตรงไหน เดี๋ยวคุยกันไม่ถูก อ้อ. ช่วงนี้พี่ยังไม่ว่างทำอย่างที่น้องต้องการครับ. รออีกไม่นาน (ล่ะมั้ง)เดี๋ยวหนังสือที่พี่เขียนอยู่ ก็จะเสร็จแล้ว (ว่าแบบนี้มาหลายปีแล้ว )

ข้อความซ้ำ

วันนี้ได้มาเปิดดูตามคำถามที่ถามไว้
ก็เลยเอาโจทย์มาให้ช่วยอธิบาย
เกี่ยวกับอสมการ

1/sin(m) +1/sin^2 (m) +1/sin^3(m) < 1

คืออยากจะให้ช่วยอธิบายรายละเอียดให้ด้วย
และวิธีการ solution ที่ใช้เวลาน้อย
และรวดเร็ว และมีเทคนิคอะไรบ้าง

mathematic man register

ไม่รู้ว่าทำไมในเนื้อหาจะไม่มีเรื่องนี้
แต่พอไปสอบก็จะพบ
ตามสนามสอบต่างๆ
พอจะแนะนำweb side ที่มีเรื่องนี้ได้บ้างหรือไม่

คือไม่เข้าใจวิธีการแก้อสมการตรีโกณ
โดยปกติถ้าเป็นเรื่องตรีโกณก็รู้เรื่องทั้งหมด
รวมถึงการแก้สมการด้วย
แต่พอเป็นอสมการก็ไม่เห็นจะมี
เนื้อหาเกี่ยวกับส่วนนี้โดยตรงทำให้ไม่สามารถไปศึกษา
ข้อมูลมาใช้ได้
เรื่องโจทย์มีให้เห็นมากมายหลายหลาก
ก็ลองไปถามอาจารย์ดูบ้าง ทีนี้พอไม่อยู่ในเนื้อหาที่
อาจารย์สอน ท่านก็เลยตอบแบบไม่ค่อย clear
ผมจึงคิดว่า ถ้าในข้อสอบต่างๆออกมาได้
ก็น่าจะมีเนื้อหาส่วนนี้ support อยู่ด้วย
เพื่อรองรับกันยังไง แต่ทีนี้พอเอาเข้าจริง
กลับไม่มี ก็หวังท่านพี่นี่แหละเป็น key man
ที่ช่วยแนะนำแทน อาจารย์ที่สอนอยู่ที

mathtermatic man register

อยากรู้เรื่อง สมการกำลังมากกว่าหรือเท่ากับห้าครับ

แล้วก็อยากได้เว็บดีๆอ่านง่ายๆ และเนื้อหาครอบคุมเกี่ยวกับเรื่องของ Abel และ Galois Theory นะคร๊าบ

[warut]

ในระหว่างที่ยังไม่มีผู้เชี่ยวชาญทางตรีโกณมาตอบ ผมขอตอบให้แทนไปก่อนนะครับ

กรณีที่ 1: sin(m) > 0
จะเห็นว่า 1/sin(m) ณ 1 ดังนั้นในกรณีนี้อสมการโจทย์จึงไม่เป็นจริงเสมอ

กรณีที่ 2: sin(m) < 0
จะเห็นว่า 1/sin(m) ฃ -1 ดังนั้นในกรณีนี้อสมการโจทย์จึงเป็นจริงเสมอเพราะ
ถ้า x ฃ -1 แล้ว x³ + x² + x - 1 = x²(x + 1) + x - 1 < 0 เสมอ

สรุปว่าคำตอบคือค่า m ทุกค่าที่ทำให้ sin(m) < 0 (คงหาเองได้นะครับ)

วันนี้ผมเข้ามาดูคำถาม
ผมพอเข้าใจบ้างแล้วล่ะ
คิดว่าคงพอช่วยได้
วันนี้เลยอยากจะถามเกี่ยวกับโจทย์
อีกบ้างเล็กน้อย
ดังนี้ คือ

I . [sin(m)+sin(2m)+sin(3m)]/tan(m) =< 1............A
II . [sin(m)+sin(2m)+sin(3m)]/tan(m) >=1.............B

จงหา (A-B)

ก็เหมือนเคยคืออยากจะถามเทคนิค
concept และวีธีการจากพวกท่านพี่
อีกเช่นเคย ว่าสองข้อนี้ หลักและ
ข้อแตกต่างอย่างไรบ้าง และมีวิธีการ
ร่นเวลาลงได้อย่างไรบ้าง เพื่อช่วย
ประหยัดเวลา

mathematic man register

[warut]

ข้อนี้คงต้องรอให้คนอื่นมาตอบแล้วล่ะ ผมทำบ่ได้เพราะอ่านโจทย์ไม่เข้าใจอะครับ

คือว่าต้องขออภัยท่านพี่
ที่ไม่ได้ให้รายละเอียด
เลยทำให้เข้าใจคลาดเคลื่อน
คือว่าให้ set A เป็นสมาชิกของ ...........I
และให้ set B เป้นสมาาชิกของ.............II
คือแก้อสมการออกมาให้ได้ในแต่ละข้อ
แล้วต่อไปก็คิดเหมือน เรื่องสมาชิก set



mathematic man register

[gon]

หลักการแก้อสมการ โดยทั่วไป คือ ซ้ายมือแยกตัวประกอบ ขวามือเป็น 0 พจน์ที่แยกตัวประกอบมีกำลังแต่ละวงเล็บเป็น 1, ส.ป.ส ของแต่ละตัวแปรเป็นบวก

หลักการแก้ข้อนี้ :
1. By Sense เรื่องสมมาตรที่ตัวเศษ จะต้องจับเอา sin q + sin 3q กันก่อน แล้วดึงตัวร่วม จากนั้นแปลง tan q กลับสู่สามัญคือ sin q / cos q แล้วแปลงร่าง sin 2q คูณ ๆ ตัด ๆ จึ๊ก พร้อมกับย้าย 1 ไปจะได้ 4cos³q + 2cos² - 1 ฃ 0

2. simplify ปัญหาให้ง่ายขึ้นโดยให้ x = cos q อสมการจึงเป็น 4x³ + 2x² - 1 ฃ 0 จากนั้นมุ่งที่จะแยกตัวประกอบของพจน์ทางซ้ายมือ By sense อีกเช่นกัน นำ 2 คูณตลอดจะได้ 8x³ + 4x² - 2 ฃ 0 ตอนนี้คิดว่าเป็นสมการก็พอก่อน
จากนั้นสมมติให้ y = 2x ก็จะได้ว่า y³ + y² - 2 = 0 สมการนี้ obvious ว่า y = 1 เมื่อนำไป y = 1 ไปหารสังเคราะห์ก็จะได้ (y - 1)[ (y + 1)² + 1 ] ฃ 0 นั่นคือ 2x - 1 ฃ 0 --> cos q ฃ 1/2

ที่เหลือคิดต่อเอาเองนะครับ. ถือว่าจบโดยหลักการแล้ว

สำหรับผมแล้ว
พอได้
4k^3+2k^2-1 >=0.........1
โดยที่ k=cos(m)

แล้วแทนค่า k=1 พบว่า ..........1 เป็นจริง
แทนค่า k=0 พบว่า...........1 ไม่เป็นความจริง
แทนค่า k=1/2พบว่า...........1 เป็นจริง
ดังนั้นผมสรุปว่า
cos(m) ก็จะอยู่ในช่วง [ 0 ถึง 60]จาก..........1
และ
4k^3+2K^2-1=<0............2
ก็จะสรุปว่าอยู่ในช่วง (60 ถึง 180]จาก..........2

พอผมรู้อย่างนี้แล้วแต่ผมไม่พอใจกับคำตอบแค่นี้
ผมอยากถามว่ามีวิธีแก้ อสมการกำลังสาม
แบบตรงเลยได้มั้ย เพราะผมต้องการ final solution
ที่หาจากสมการ ผมลองแทนค่าดูพบว่ามันแก้ไม่ได้
เพราะจากความรู้เรื่อง ตัวประกอบ มันก็ยังไม่พอ

จึงอยากถามท่านพี่ว่าเราจะแก้จากอสมการโดยตรงไปเลยได้อย่างไร
คือพอจะแยกออกมาเป็นตัวประกอบก่อนได้หรือไม่
เพราะผมใช้ความรู้จากห้องเรียนมันก็ยังหาไม่ได้
คือผมอยากลองแก้แบบตัวประกอบ(cos )(cos )(cos )
3 วงเล็บคูณกันธรรมดาจะได้หรือไม่


mathematic man register

point ของผมคือว่า
จากการแก้ของท่านพี่
ถ้าไม่คูณ 2 และ ไม่กำหนด ค่า y= 2x
จะสามารถ solution โดยตรงไปเลย
ได้หรือไม่ คือถ้าเราแยกให้เป็น ค่า cos มาคูณกัน
สามวงเล็บตามที่ได้อ้างมาไว้
แต่ต้องขอชมว่า technic by sense ของท่านพี่
มันทำให้ผมเชื่อว่า นี่คือตัวจริง
ขนาดผมยังมองไม่เห็นเลย

mathematic man register