ขอถามโจทย์ระบบสมการค่ะ

[TOP]

เซียนอสมการไม่มาแสดงวิธีทำเลย

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถ้าใช้อสมการโคชีจะพบว่า $n\geq 64$

พิจารณาอย่างไรครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

อสมการ Cauchy-Schwarz ครับ

อสมการโคชีช่วยสรุปจาก $\displaystyle{\left(\sum_{i = 1}^{n} a_i \right) \left(\sum_{i = 1}^{n} a_i^3 \right) = \left(\sum_{i = 1}^{n} a_i^2\right)^2}$ เป็น $a_1=a_2=a_3= \cdots =a_n$ ได้ยังไงครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymer

ก็ถ้าเกิดไม่เท่ามาแล้ว มันจะเหลือพจน์กลางออกมาเต็มเลยอ่ะค่ะ ซึ่งมันก็ผิดแน่นอนน่ะค่ะ (เหตุผลที่ง่ายที่สุดค่ะ)

พจน์ตรงกลางอาจมีค่าเป็นศูนย์ได้ หากมีค่า $a_i$ ที่เหมาะสม (แก้สมการพจน์ตรงกลางเท่ากับศูนย์) โดยที่มันไม่จำเป็นต้องเท่ากันทุกค่าก็ได้ไม่ใช่หรือ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathophile

เข้าใจล่ะครับ ขอบคุณสำหรับทุกคำตอบครับ

เข้าใจว่าอย่างไรครับ

ผมมีข้อคาดเดาว่า หาก $a_i \in \mathbb{R^+}$ และ $\displaystyle{\left(\sum_{i = 1}^{n} a_i \right) \left(\sum_{i = 1}^{n} a_i^3 \right) = \left(\sum_{i = 1}^{n} a_i^2\right)^2}$ แล้วจะได้ว่า $a_1=a_2=a_3= \cdots =a_n$

[nooonuii]

โดยอสมการโคชี
$a_1^2+a_2^2+\cdots + a_n^2=\sqrt{a_1}\cdot \sqrt{a_1^3}+\sqrt{a_2}\cdot \sqrt{a_2^3}+\cdot + \sqrt{a_n}\cdot \sqrt{a_n^3}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq \sqrt{(a_1+a_2+\cdots + a_n)(a_1^3+a_2^3+\cdots + a_n^3)}$

สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อมี $\lambda > 0$ ซึ่งทำให้เวคเตอร์
$$(\sqrt{a_1},\sqrt{a_2},...,\sqrt{a_n})=\lambda (\sqrt{a_1^3},\sqrt{a_2^3},...,\sqrt{a_n^3})$$

ก็ต่อเมื่อ $a_1=a_2=\cdots = a_n$


__________________________________________________________________________________


โดยอสมการโคชี

$96=a_1+\cdots + a_n$

$~~=1\cdot a_1 + \cdots + 1 \cdot a_n$

$~~\leq\sqrt{(1+\cdots + 1)(a_1^2+\cdots + a_n^2)}$

$~~=\sqrt{144n}$

ดังนั้น $n\geq 64$

[TOP]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

โดยอสมการโคชี

$96=a_1+\cdots + a_n$

$~~=1\cdot a_1 + \cdots + 1 \cdot a_n$

$~~\leq\sqrt{(1+\cdots + 1)(a_1^2+\cdots + a_n^2)}$

$~~=\sqrt{144n}$

ดังนั้น $n\geq 64$

ขอบคุณครับ ผมไปมองอีกแบบจึงได้แค่ $\displaystyle{\sum_{i = 1}^{n} a_i^4 \geqslant 324 }$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

โดยอสมการโคชี
$a_1^2+a_2^2+\cdots + a_n^2=\sqrt{a_1}\cdot \sqrt{a_1^3}+\sqrt{a_2}\cdot \sqrt{a_2^3}+\cdot + \sqrt{a_n}\cdot \sqrt{a_n^3}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq \sqrt{(a_1+a_2+\cdots + a_n)(a_1^3+a_2^3+\cdots + a_n^3)}$

สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อมี $\lambda > 0$ ซึ่งทำให้เวคเตอร์
$$(\sqrt{a_1},\sqrt{a_2},...,\sqrt{a_n})=\lambda (\sqrt{a_1^3},\sqrt{a_2^3},...,\sqrt{a_n^3})$$

ก็ต่อเมื่อ $a_1=a_2=\cdots = a_n$

ใช่แล้วครับ ด้วยเหตุผลนี้จึงทำให้ สำหรับ $a_i \in \mathbb{R^+}$ และถ้า $\displaystyle{\left(\sum_{i = 1}^{n} a_i \right) \left(\sum_{i = 1}^{n} a_i^3 \right) = \left(\sum_{i = 1}^{n} a_i^2\right)^2}$ แล้วจะได้ว่า $a_1=a_2=a_3= \cdots =a_n$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อมี $\lambda > 0$ ซึ่งทำให้เวคเตอร์
$$(\sqrt{a_1},\sqrt{a_2},...,\sqrt{a_n})=\lambda (\sqrt{a_1^3},\sqrt{a_2^3},...,\sqrt{a_n^3})$$

อันนี้เป็นมุมมองทางเรขาคณิตใช่ไหมครับ ว่าผลคูณแบบดอทของสองเวกเตอร์จะมีค่ามากสุด เมื่อมันอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน และชี้ไปในทิศทางเดียวกัน

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TOP

อันนี้เป็นมุมมองทางเรขาคณิตใช่ไหมครับ ว่าผลคูณแบบดอทของสองเวกเตอร์จะมีค่ามากสุด เมื่อมันอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน และชี้ไปในทิศทางเดียวกัน

ใช่ครับ อสมการโคชีมีหลายรูปแบบ ขึ้นอยู่กับว่าเรากำลังศึกษาอะไรอยู่

$\diamondsuit$ บนเซตของจำนวนจริง
$$|x_1y_1+x_2y_2+\cdots + x_ny_n|\leq\sqrt{(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)}$$
$\diamondsuit$ บนเซตของเวคเตอร์ใน $\mathbb{R}^n$
$$|u\cdot v|\leq \|u\|\|v\|$$
$\diamondsuit$ บนเซตของ square integrable function ($L^2$- space)
$$\Big|\int_{\Omega}fg d\mu\Big|\leq \sqrt{\Big(\int_{\Omega}f^2d\mu\Big)\Big(\int_{\Omega}g^2d\mu\Big)}$$
$\diamondsuit$ บน inner product space
$$|<u,v>|\leq \|u\|\|v\|$$

ทั้งหมดนี้คืออสมการโคชี เรียงตามลำดับขอบเขตของความรู้
เป็นอสมการที่ใช้กันทั่วไปในทุกระดับจริงๆครับ