อยากได้โจทย์แนวรู้ทซ้อนกันอะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

4. 3 = $\sqrt{1+2\sqrt{4}}$ =$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{25}}}=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{....}}}}$ ถ้าอยากรู้เรื่องนี้มากกว่านี้ ลอง search ชื่อ ramanujan ดูครับ

ตรง 4 ต้องเป็น 16 ครับ

[math_lnw]

งงอะครับ
ทำไมถึงกลายเป็น $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{25} } } $ได้ครับ
รบกวนผู้รู้ช่วยตอบด้วยครับ

[Scylla_Shadow]

ขอบคุณครับ แก้แล้วครับ พี่หยินหยาง

[math_lnw]

ช่วยอธิบายตรงนี้หน่อยครับ ผมหารามานุจันไม่เจออะครับ
$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4....} } } =\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{25} } } $
มายังไงหรอครับ

[Scylla_Shadow]

ลองอ่านตามลิงค์นี่ดูนะครับ น่าจะเข้าใจมากขึ้น
http://en.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan

[dog_tor]

พี่ครับ ถ้า รูท m-137 +รูท m+34 = n เมื่อ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก n มากที่สุดเท่าไรครับ
ขอวิธีทำด้วยครับ

[LightLucifer]

ได้ 171 ป่าวอ่ะครับไม่ค่อยมั่นใจเลย

โดยที่ $m=7362$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dog_tor

พี่ครับ ถ้า $\sqrt{m-137} + \sqrt{m+34 } = n $ เมื่อ $m$ และ $n $เป็นจำนวนเต็มบวก $n$ มากที่สุดเท่าไรครับ
ขอวิธีทำด้วยครับ

ตอบ $ n = 104 $





ให้ $\sqrt{m-137} =A, $ $ \ \ \ \ \sqrt{m+34 } =B$

ดังนั้น $A+B = n $ ..........(1)

$(A+B)\color{blue}{(A-B) }= n \color{blue}{(A-B) }$

$ A^2 - B^2 = n(A-B)$

$(m-174)-(m+34)=n(A-B)$

$-208 = n(A-B)$

$208 = n(B-A)$

$B-A = \frac{208}{n}$ .......(2)

(1)+(2) $ \ \ \ \ 2B = n +\frac{208}{n}$

$B = \frac{n}{2} + \frac{104}{n}$

$\sqrt{m+34 }= \frac{n}{2} + \frac{104}{n}$

$m+34 = (\frac{n}{2} + \frac{104}{n})^2$

$m = (\frac{n}{2} + \frac{104}{n})^2 - 34$

จะเห็นได้ว่า $m$ จะเป็นจำนวนเต็มบวกได้ ก็ต่อเมื่อ $n \leqslant 104$

เพราะถ้า $n > 104$ แล้ว $(\frac{n}{2} + \frac{104}{n})^2 $ จะไม่เป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้น $n $ มีค่าสูงสุดได้เท่ากับ $104$ เท่านั้น ANS

[LightLucifer]

บรรทัดที่ 5

m-137 ไม่ใช่ m-174 ไม่ใช่หรอครับ

[banker]

ขออภัย ผมดูโจทย์ผิดเอง




โจทย์เดิมเป็นแบบนี้

ถ้า $\sqrt{m-174} + \sqrt{m+34 } = n $ เมื่อ $m$ และ $n $เป็นจำนวนเต็มบวก $n$ มากที่สุดเท่าไร

[LightLucifer]

เอาวิธีผมบ้างนะครับ แบบโจทย์ข้อเดิมนะครับ
จากโจทย์ จะได้ว่า $m-137$ และ $m+34$ เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ที่มีค่่าห่างกัน 171
ให้ $m-137=x^2,m+34=(x+a)^2$ โดยที่ $x$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า
$(x+a)^2-x^2=171$
$2ax+a^2=171$
$x=\frac{171-a^2}{2a}$ ซึ่งจะได้ว่า ถ้าค่า $a$ ยิ่งมาก ค่า $x$ จะยิ่งน้อยลง
แต่เราต้องการให้ค่า $x$ มาก เพราะถ้า $x$ มากก็จะทำให้ $n$ มากตามไปด้วย ค่า$a$ ทีี่น้อยที่สุดคือ $1$
แทน $a=1$
ได้ $x=85$
นำกลับไปแทนค่าใน
$\sqrt{m-137}+\sqrt{m+34}=n$
$\sqrt{x^2}+\sqrt{(x+a)^2}=n$
$\sqrt{85^2}+\sqrt{86^2}=171=n$
โดยที่ค่า $m=7362$

[banker]

ยังค้างคาใจ เลยต้องย้อนกลับมาดูใหม่
สรุปว่าตอบ n = 171 ถูกตามที่คุณLightLuciferว่าครับ


ให้ $\sqrt{m-137} =A, $ $ \ \ \ \ \sqrt{m+34 } =B$

ดังนั้น $A+B = n $ ..........(1)

$(A+B)\color{blue}{(A-B) }= n \color{blue}{(A-B) }$

$ A^2 - B^2 = n(A-B)$

$(m-137)-(m+34)=n(A-B)$

$-171 = n(A-B)$

$171 = n(B-A)$

$B-A = \frac{171}{n}$ .......(2)

(1)+(2) $ \ \ \ \ 2B = n +\frac{171}{n}$

$B = \frac{1}{2}(\frac{171}{n}+n)$

$ \sqrt{m+34 } = \frac{1}{2}(\frac{171}{n}+n)$

$ m+34 = (\frac{1}{2}(\frac{171}{n}+n))^2$

$ m = (\frac{1}{2}(\frac{171}{n}+n))^2 - 34$




จะเห็นได้ว่า $m$ จะเป็นจำนวนเต็มบวกได้ ก็ต่อเมื่อ $n \leqslant 171$

เพราะถ้า $n > 171$ แล้ว $\frac{1}{2}(\frac{171}{n}+n)$
จะไม่เป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้น $n $ มีค่าสูงสุดได้เท่ากับ $171$ เท่านั้น

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ math_lnw

ช่วยอธิบายตรงนี้หน่อยครับ ผมหารามานุจันไม่เจออะครับ
$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4....} } } =\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{25} } } $
มายังไงหรอครับ

ถ้าอ่านแล้วยังไม่เข้าใจ ก็ขอให้พิจารณาดูแนวคิดด้านล่างก็แล้วกัน

$3 = \sqrt{1+8} = \sqrt{1+2\sqrt{16}}= \sqrt{1+2\sqrt{1+15} } = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{25}}} = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+24}}} = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{36}}}}$

แล้วก็ทำต่อไปอีกจนจับแนวทางได้

$3 = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+35}}}} = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{49}}}}} = ... = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4....}}} $

จะเห็นได้ว่าแนวคิดไม่ได้ยากเลยครับ (ถ้าเข้าใจ)

[banker]

มาลองทำดูครับ


$4 = \sqrt{16} = \sqrt{1+15 } = \sqrt{1+(3\times 5 )} = \sqrt{1+(3\times \sqrt{25} )}

= \sqrt{1+3 \sqrt{1+24} } = \sqrt{1+3 \sqrt{1+(4\times 6 } )}$

$= \sqrt{1+3 \sqrt{1+4\sqrt{36} } } = \sqrt{1+3 \sqrt{1+4\sqrt{1+35} } } = \sqrt{1+3 \sqrt{1+4\sqrt{1+5\times 7} } } $

$ = \sqrt{1+3 \sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{49} } } } = \sqrt{1+3 \sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+48} } } } = \sqrt{1+3 \sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\times 8} } } } $


$= \sqrt{1+3 \sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{64} } } } } = \sqrt{1+3 \sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+63} } } } }.......... $


สนุกดี

[banker]

$5 = \sqrt{25} = \sqrt{1+24} = \sqrt{1+4\times 6} = \sqrt{1+4 \sqrt{36} } $

$ = \sqrt{1+4 \sqrt{1+35} } = \sqrt{1+4 \sqrt{1+5\times 7} } = \sqrt{1+4 \sqrt{1+5\sqrt{49} } } $

$= \sqrt{1+4 \sqrt{1+5\sqrt{1+48} } } = \sqrt{1+4 \sqrt{1+5\sqrt{1+6\times 8} } } $


$= \sqrt{1+4 \sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{64} } } }= \sqrt{1+4 \sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+63} } } } $

$= \sqrt{1+4 \sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+7\times 9} } } } = \sqrt{1+4 \sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+7\sqrt{81} } } } } ........... $