โจทย์สนุกๆ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

4. ให้ $k\in \mathbb{I} $ หา $k$ ที่ทำให้ $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =k$ มีรากเป็นจำนวนจริงทั้งหมด

$$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =k$$
$$(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)=k...(*)$$
$$(x^2+5x+(4-\sqrt{k+1}))(x^2+5x+(4+\sqrt{k+1}))=0$$
$(*)$ let $p=x^2+5x$ then $p^2+10p+(24-k)=0$
By... Discreminant $25\ge 4(4+\sqrt{k+1})\rightarrow k\leq 3$ and $100\ge 4(24-k)\rightarrow k\ge -1$

$\therefore k=-1,0,1,2,3$

[Keehlzver]

ผมมาเสนอให้อีกวิธี
$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=k+1$
$(x^2+5x+5)^2=k+1$
แต่ว่า $(x^2+5x+5)^2\geq 0$ เสมอ
ดังนั้น $k+1\geq 0$ ได้ว่า $k\geq -1$

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

$$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =k$$
$$(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)=k...(*)$$
$$(x^2+5x+(4-\sqrt{k+1}))(x^2+5x+(4+\sqrt{k+1}))=0$$
$(*)$ let $p=x^2+5x$ then $p^2+10p+(24-k)=0$
By... Discreminant $25\ge 4(4+\sqrt{k+1})\rightarrow k\leq 3$ and $100\ge 4(24-k)\rightarrow k\ge -1$

$\therefore x=-1,0,1,2,3$

บรรทัดสุดท้าย ผมว่าสรุปค่า k ใช่ป่ะ
ผมว่า p มันมีช่วงค่าของมันอยู่ น่าจะลอง check นิดนึง

[จูกัดเหลียง]

#11 ข้อ 2. ผมทำเเบบนี้อ่ะครับ ปล.เเล้วเราจะสรุปได้อย่างไรว่า $A=B$
ก็คล้ายๆกันนะครับ $2^x=a,3^x=b$
ท้ายที่สุด จากการกระจายถึก ก็จะเเยก ตปก.ได้ว่า $(a-b)(ab-1)(a^2b^2+2ab+a^2+b^2+1)=0$
ก็คือ (ได้คำตอบเท่ากันใน 2 วงเล็บเเรก - -*) $x=0$ (พจน์หลังสุด $>0$ เสมอนะครับ)
#17 เจ๋งดีครับ
#18 ใช่เเล้วครับ = =" ลืมcheck คำตอบอีก

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ผมมาเสนอให้อีกวิธี
$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=k+1$
$(x^2+5x+5)^2=k+1$
แต่ว่า $(x^2+5x+5)^2\geq 0$ เสมอ
ดังนั้น $k+1\geq 0$ ได้ว่า $k\geq -1$

Hint : http://www.wolframalpha.com/input/?i...x%2B4%29+%3D+1

ขาดเงื่อนไขอะไรไปไหม

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ wee

เรียนถามคุณ Metamorphosis
ข้อที่ 2 ผมทำถูกหรือไม่ครับ
Attachment 6862

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

#11 ข้อ 2. ผมทำเเบบนี้อ่ะครับ ปล.เเล้วเราจะสรุปได้อย่างไรว่า $A=B$
ก็คล้ายๆกันนะครับ $2^x=a,3^x=b$
ท้ายที่สุด จากการกระจายถึก ก็จะเเยก ตปก.ได้ว่า $(a-b)(ab-1)(a^2b^2+2ab+a^2+b^2+1)=0$
ก็คือ (ได้คำตอบเท่ากันใน 2 วงเล็บเเรก - -*) $x=0$ (พจน์หลังสุด $>0$ เสมอนะครับ)
#17 เจ๋งดีครับ
#18 ใช่เเล้วครับ = =" ลืมcheck คำตอบอีก

$\dfrac{a+\dfrac{1}{a} }{b+\dfrac{1}{b} } = \dfrac{a^2+\dfrac{1}{a^2} }{b^2+\dfrac{1}{b^2} }$

ให้ $u = a+\dfrac{1}{a} ,v=b+\dfrac{1}{b}$

$\dfrac{u}{v}= \dfrac{u^2-2}{v^2-2}$

$(uv-2)(v-u) = 0$

$uv = 2$ เป็นไปไม่ได้ แต่ในกรณี $u=v$ จะได้ $x=0$ เป็นคำตอบเดียว

[Metamorphosis]

มาเพิ่มให้
6. จงหาคำตอบส่้วนที่เป็นจำนวนเต็ม ของ $x+y+z = x^3+y^3+z^3 = 3$

7. ให้ $x\not= 2$ และ $x^5 = 32$ จงหาค่าของ $\sum_{n = 1}^{2014} \dfrac{2^n}{x^n}$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

มาเพิ่มให้
6. จงหาคำตอบส่้วนที่เป็นจำนวนเต็ม ของ $x+y+z = x^3+y^3+z^3 = 3$

7. ให้ $x\not= 2$ และ $x^5 = 32$ จงหาค่าของ $\sum_{n = 1}^{2014} \dfrac{2^n}{x^n}$

$6.(x,y,z)=(1,1,1)$
$7.-1$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

$6.(x,y,z)=(1,1,1)$
$7.-1$

7 is correct but the other is not

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

$6.(x,y,z)=(1,1,1)$
$7.-1$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

7 is correct but the other is not

(x,y,z) = (1,1,1) , (-5,4,4) , (4,-5,4) , (4,4,-5)

ขาดอีกมั้ยครับ

[จูกัดเหลียง]

#25 หาอย่างไรครับ = ="

[Metamorphosis]

ใช้ตัวนี้ครับ $(x+y+z)^3 = x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)$
$(x+y)(y+z)(z+x) = 8$
$(3-z)(3-x)(3-y) = 8$ เราสามารถกรณีต่อไปไม่ยาก

[จูกัดเหลียง]

#27 อ้อ..ครับๆ ขอบคุณมาก

[Metamorphosis]

8.กำหนด $(x+\dfrac{1}{x})^2 = 1 $ จงหาค่าของ $x^{2011}+\dfrac{1}{x^{2011}}$ (ในส่วนของจำนวนบวก)
9.กำหนด $a,b,c \in \mathbb{R} $, $p(x) = ax^2+bx+c$ ถ้า $[p(x)]^5-x$ มี $x^3-6x^2+11-6$ เป็นตัวประกอบ แล้ว $7a+3b+2c$ เท่ากับเท่าใด
10. กำหนด $1<a<b<c$ และ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ $$a^{b^c} = c^{a^b} $$
จงหา $a,b,c$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

[จูกัดเหลียง]

#29 8. $2$
9. น่าจะเป็น $7a+3b+\frac{3}{2}c$