ข้อสอบค่าย 1 ครั้งที่ 1 ปี 53 สอวน.ม.นเรศวร

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

2. จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ทำให้ $2^k$ หาร $15^{2^{2010}}-1$ ลงตัว

แยก factor $15^{2^{2010}}-1=(15^{2^{2009}}+1)(15^{2^{2008}}+1)(15^{2^{2007}}+1)...(15^2+1)(15+1)(15-1)$
สังเกตว่า $4|15-(-1) \Rightarrow 4|(15-(-1))(15+(-1)) \Rightarrow 4|15^2-1$
ทำต่อไปเรื่อยๆพบว่า $4|15^4-1 \Rightarrow 4|15^8-1\Rightarrow ...\Rightarrow 4|15^{2^n}-1$ ทุกจำนวนเต็มบวก n
$4|(15^{2^n}+1)-2$ นั่นคือ $2|\frac{(15^{2^n}+1)}{2} -1$ แสดงว่า $\frac{(15^{2^n}+1)}{2}$ เป็นจำนวนเต็มคี่
นั่นก็คือ $15^{2^n}+1$ มี 2 หารได้มากสุดแค่ 1 ตัวทุกจำนวนเต็มบวก n

จากเดิม $15^{2^{2010}}-1=(15^{2^{2009}}+1)(15^{2^{2008}}+1)(15^{2^{2007}}+1)...(15^{2^1}+1)(15+1)(15-1)$
ตั้งแต่วงเล็บแรกจนวงเล็บที่สามนับจากขวารวมแล้ว 2 หารได้ 2009 ตัว ส่วนสองวงเล็บหลัง 2 หารได้ 5 ตัว
$\therefore k=2014$