ระบบสมการสำหรับม.2

[computer]

ขอโทษค่ะ เข้าใจผิดซะแล้ว จะลบข้อความเดี๋ยวนี้ค่ะ

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer

ขอโทษค่ะ เข้าใจผิดซะแล้ว จะลบข้อความเดี๋ยวนี้ค่ะ

ความจริง ไม่ต้องลบ ก็ได้ครับ จะได้รู้ว่าแต่ละคน ผิดกันอย่างไร คนเราผิดพลาดกันได้ครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

มีโจทย์มาฝาก (ช่วยคุณ artty60 แชร์)

จงหาคู่อันดับ $(a,b,c)$ ที่มากที่สุด ที่เป็นคำตอบของสมการ

$x^3-xyz = 2$

$y^3-xyz = 6$

$z^3-xyz = 20 $

หา a,b,c แต่กำหนด x,y,z

โจทย์จริงๆเลยน่าจะเป็นหาค่าสูงสุดของ xyz นะครับ

วิธีข้อนี้ย้าย xyz มาเป็นบวกแล้วคูณทั้งสามสมการเข้าด้วยกันก็ออกเลยครับ

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

หา a,b,c แต่กำหนด x,y,z

โจทย์จริงๆเลยน่าจะเป็นหาค่าสูงสุดของ xyz นะครับ

วิธีข้อนี้ย้าย xyz มาเป็นบวกแล้วคูณทั้งสามสมการเข้าด้วยกันก็ออกเลยครับ

ใช่ครับ ผมจำโจทย์ผิด แก้แล้วนะครับ

[artty60]

#15
ผมว่าก็ใช้วิธีแบบม.ต้นอย่างนี้แหละครับ แต่มันไม่สั้นเท่านี้ ยังมีอีกหนึ่งขั้นตอนที่ต้องกระจาย $(x+y+z)^2$ และเปลี่ยน $xy+yz+xz$ ให้เป็น $x^2+y^2+z^2$ ตามที่โจทย์ให้หาคงไม่เสียเวลามากเท่าไหร่แต่เปลืองกระดาษทดว่ะ

ผมคิดข้อนี้ออกมาไม่ลงตัว ได้40กว่าๆ

อ้อ! คุ้นๆว่าเคยเห็นมีคนใช้ Newton identities นะ ไม่รู้ได้ง่ายขึ้นรึเปล่า ส่วนผมยังไม่รู้ลึกซึ้ง

[artty60]

$a,b,c$ เป็นจำนวนจริง $a,b,c\not= 0$
ถ้า $a+b+c=0$ และ $a^5+b^5+c^5=a^3+b^3+c^3$ แล้ว
จงหาค่าของ $a^2+b^2+c^2$

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

#15
ผมว่าก็ใช้วิธีแบบม.ต้นอย่างนี้แหละครับ แต่มันไม่สั้นเท่านี้ ยังมีอีกหนึ่งขั้นตอนที่ต้องกระจาย $(x+y+z)^2$ และเปลี่ยน $xy+yz+xz$ ให้เป็น $x^2+y^2+z^2$ ตามที่โจทย์ให้หาคงไม่เสียเวลามากเท่าไหร่แต่เปลืองกระดาษทดว่ะ

อ้อ! คุ้นๆว่าเคยเห็นมีคนใช้ Newton identities นะ ไม่รู้ได้ง่ายขึ้นรึเปล่า ส่วนผมยังไม่รู้ลึกซึ้ง

ถ้าใช้ Newton identities

$S_5 =S_4E_1-S_3E_2+S_2E_3$

$S_3 =S_2E_1-S_1E_2+3E_3$
ซึ่งก็ไม่ค่อยต่างกับที่ผมบอกไว้ตอนแรก

[artty60]

คำตอบของ#23 เป็นเศษส่วนครับ ใช้ Newton identities จะง่ายขึ้น

[artty60]

ถ้า $x^2+2y-2z-2=y^2+2z-2x-2=z^2+2x-2y-2=123$

และ $a,b$ เป็นคำตอบของสมการ $x+y+z$ แล้ว $a^2+b^2$ เท่ากับเท่าใด

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ถ้า $x^2+2y-2z-2=y^2+2z-2x-2=z^2+2x-2y-2=123$

และ $a,b$ เป็นคำตอบของสมการ $x+y+z$ แล้ว $a^2+b^2$ เท่ากับเท่าใด

$a,b$ เป็นคำตอบของสมการ $x+y+z$ <--- ไม่มี = สมการ ?


จากการมองรูปแบบสมการแล้ว จะได้ว่า x=y=z

$z^2+2x-2y-2=123 = x^2+2x-2x-2$

$x^2 = 125 $

$x = \pm 5\sqrt{5} $

สรุปแบบมั่วๆว่า

$a^2+b^2 = 125+125 = 250$

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$a,b$ เป็นคำตอบของสมการ $x+y+z$ <--- ไม่มี = สมการ ?


จากการมองรูปแบบสมการแล้ว จะได้ว่า x=y=z

$z^2+2x-2y-2=123 = x^2+2x-2x-2$

$x^2 = 125 $

$x = \pm 5\sqrt{5} $

สรุปแบบมั่วๆว่า

$a^2+b^2 = 125+125 = 250$

ผมก็งงๆครับ แต่คิดว่า $a,b$ คือค่าของ $x+y+z$ ที่เป็นไปได้น่ะครับ

[artty60]

จากโจทย์ $x^2+2y-2z=y^2+2z-2x=z^2+2x-2y=125$

โดยมี $a,b$ เป็นคำตอบของสมการพหุนามกำลังสอง

จากระบบสมการที่โจทย์ให้มาจะเห็นว่า $x=y=z$

ดังนั้น $x^2+y^2+z^2=3x^2=375$

$\therefore x=\pm 5\sqrt{5}$

ดังนั้น $a,b$ คือ $\pm 15\sqrt{5}$

$\therefore a^2+b^2=1125+1125=2250$ เป็นคำตอบ


ปล.ผมก็ไม่รู้ว่ามันถูกรึเปล่าเพราะโจทย์ที่เขาให้มามันไม่มีเฉลยและผมก็ยังงงๆกับการตีความโจทย์นี้เหมือนคุณbankerครับ รบกวนผู้รู้หน่อยครับ

คุ้นๆว่าผมได้ยินเรื่องnewton identities ครั้งแรกจากท่านgon ไว้ท่านgonหรือผู้ที่รู้เรื่องนี้หากมีเวลาว่างช่วยวิเคราะห์โจทย์ข้อนี้หน่อยนะครับว่ามันมีอะไรไม่สมบูรณ์รึเปล่าเพราะมันอ่านดูทะแม่ งๆ

http://fermatslasttheorem.blogspot.c...s-formula.html

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

ผมยัง หา สั้นกว่านี้ ไม่ได้ ซึ่งมัน ก็ไม่น่าทำ แต่ ผมจะพยายามคิดวิธีที่ดีกว่านี้ใหม่

ฝันหน่อย

$(x+y+z)^5 = x^5+y^5+z^5+[5(x+y+z)(xy+yz+zx)-5xyz][(x+y+z)^2-(xy+yz+zx)]....(1) $

$(x+y+z)^3 = x^3+y^3+z^3+3(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz...(2)$

แทน $xyz = \dfrac{x^3+y^3+z^3+3(x+y+z)(xy+yz+zx)-(x+y+z)^3}{3}$

พอแทน ค่า ได้ $xyz = \dfrac{42(xy+yz+zx)-2729}{3}$ แทนค่ากลับ ใน (1)

ซึ่งมันไม่เหมาะ ที่จะทำ 555+

ผมลองต่อนะ
จาก$(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)=(x^5+y^5+z^5)+(xy)^2(x+y)+(xz)^2(x+z)+(yz)^2(y+z)$

$(x^2+y^2+z^2)(15)=83+14((xy)^2+(xz)^2+(yz)^2)-xyz(xy+yz+zx)$
และจาก $xyz = \dfrac{x^3+y^3+z^3+3(x+y+z)(xy+yz+zx)-(x+y+z)^3}{3}$
จะได้
$(x^2+y^2+z^2)(15)=83+14((xy)^2+(xz)^2+(yz)^2)-(14(xy+yz+zx)-2729/3)(xy+yz+zx)$
และจาก $(xy+yz+zx)=[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]/2$
แทนๆๆ
$90(x^2+y^2+z^2)=498+(2729)(196)-2729(x^2+y^2+z^2)$
$2819(x^2+y^2+z^2)=535382$
$(x^2+y^2+z^2)=189\frac{2591}{2819} $

ปล.ว๊ากก!ไม่เป็นจำนวนเต็ม ผิดแน่เลย
ช่วยตรวจหน่อยครับ

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

คำตอบของ#23 เป็นเศษส่วนครับ ใช้ Newton identities จะง่ายขึ้น

ช่วยอธิบายNewton identitiesหน่อยครับ ลิ้ง#29ผมแปลไม่ออกครับ

[artty60]

ถ้า a,b,c เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมABC

และ $a^2,b^2,c^2$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3-29x^2+244x-576=0$

แล้ว จงหาค่าของ$\frac{cosA}{a}+\frac{cosB}{b}+\frac{cosC}{c}$