FFTMO9

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ win1234

3.ให้ $a,b,c$ เป็นจำนนวนเต็มที่สอดคล้องสมการ $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3 $$ จงหา $(a,b,c)$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้

กรณีที่ 1 2 ตัวใดๆเป็นลบเเละอีกตัวเป็นบวก สมมุติให้ $a>0>b,c$ ดังนั้น $a,m,n>0$ เมื่อ $b=-m,c=-n$
สมการสมมูลกับ $am^2=3amn+mn^2+na^2$ ดังนั้น $(3mn-m^2)^2-4mn^3=t^2$ สำหรับบางค่า $t\in\mathbb{Z}$ ดังนั้น $m(m-n)^2(m-4n)=t^2\rightarrow m^2-4mn=l^2\therefore (m-2n-l)(m-2n+l)=4n^2$ ทำให้ได้ว่า $m-2n-l=2x,m-2n+l=2y$ เมื่อ $xy=n^2,x,y\in\mathbb{N}$ เห็นได้ชัดว่า $x|m,n,l$ ให้ $n=k_1x,m=k_2x,l=l_3x$ เมื่อ $k_i\in\mathbb{Z}$ ทำไปมาได้ว่า $k_2=(k_1+1^2),k_3=k_1^2-1$
ดังนั้น $$a=\frac{(m^2-3mn)\pm(m-n)l}{2n}=\frac{x(k_2^2-3k_1k_2\pm (k_1^2-1)(k_1^2+_1+1))}{2k_1}$$ เเต่ $a\in\mathbb{Z^+}\therefore a=x(k^3+k^2)$ เมื่อ $k=k_1$ ทำให้ $(a,b,c)=(x(k^3+k^2),-(k+1)^2x,-kx)$
กรณีที่ 2 2 ตัวเป็นบวก จะได้ทำนองเดียวกับ กรณีเเรกนั่นคือ $(a,b,c)=(x(k^3-k^2),(k-1)^2x,-kx)$
กรณีที่ 3$a,b,c>0$ เเละ $a,b,c<0$ ได้คำตอบเดียวกันคือ $(x,x,x)$ โดยอสมการ A.M.-G.M.
ดังนัน้รวมทั้งสิ้นคือ $(a,b,c)=(x(k^3+k^2),-(k+1)^2x,-kx),(x(k^3-k^2),(k-1)^2x,-kx),(x,x,x)$ up to permutation for all $k,x\in\mathbb{N}$
ปล.Hint อสมการกับข้อ 4 หน่อยครับ

[win1234]

ข้อ 4 นี่ต้องใช้การสร้างขอบของค่าขึ้นมาครับแล้วใช้สมบัติว่า $\left\lfloor x \right\rfloor\leqslant x $ และ
สมบัติที่ว่า $x=\left\lfloor x \right\rfloor+\left\{x \right\} $ โดยที่ {x} นั้นคือ ภาคทศนิยมของ x
แล้วก็แบ่งกรณีบวก ลบ เป็นจำนวนเต็มและไม่เป็นจำนวนเต็มครับ
ปล.คุณจูกัดเหลียงยังไม่แก้คำตอบข้อ 1 เลยนะครับ เพราะว่ามันไม่มี (3,13) คิดว่าคุณน่าจะพิมพ์ผิดครับ

[~ArT_Ty~]

ลองโจทย์เรขาสวยๆ ซักข้อกันครับ

สามเหลี่ยม ABC มี I เป็นวงกลมแนบในสามเหลี่ยม สัมผัส BC CA และ AB ที่ D E F ตามลำดับ

AD และ CF ตัด I อีกครั้งที่ H และ K ตามลำดับ

จงแสดงว่า $\frac{FD\times HK}{FH\times DK}=3$

ข้อนี้ถ้าใครรู้เคล็ดลับจะออกอย่างง่ายดายครับ

[จูกัดเหลียง]

ผมเเก้เเล้วนี่ครับ ถูกป่าวครับ

[win1234]

#289 ถูกแล้วครับ พอดีตอนเข้ามาไม่ได้ดูตอนที่แก้แล้ว
มีโจทย์ Number Theory กับ Functional Equation มั้ยครับอยากทำ
ปล.ใครเก่งคอมบินาทอริก ช่วยแนะนำหนังสือให้หน่อยได้มั้ยครับ

[~ArT_Ty~]

เรขา ปน Number Theory ครับ

สามเหลี่ยม $ABC$ มีความยาวแต่ละด้านเป็นจำนวนเต็ม และมีรัศมีวงกลมแนบในเท่ากับ 1 หน่วย

จงแสดงว่า $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

[passer-by]

Q4 (AMM) : $a_1,a_2,...,a_n >0 $ และ $a_{n+1} = a_1 $ พิสูจน์ $$ \sum_{k=1}^n (\frac{a_k}{a_{k+1}})^{n-1} \geq (2\sum_{k=1}^n a_k \cdot \prod_{k=1}^n a_k^{-1/n}) -n $$

Hint

พยายามพิสูจน์ $$ \binom{n}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{a_k}{a_{k+1}})^{n-1} \geq \binom{n}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{a_k}{G})^2 $$ เมื่อ $ G= \prod_{k=1}^n a_k^{1/n} $ ให้ได้

และแถม FE ให้อีก 1 ข้อ

Q6 : หา $ f: \mathbb{N}\cup \{0\} \rightarrow \mathbb{N} \cup \{0\}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ

$ f(a^2-b^2) = (f(a))^2 - (f(b))^2 \,\, , \forall a,b \in \mathbb{N}\cup \{0\} $ ที่ $ a \geq b$

[win1234]

#268
คุณ passer-by ครับ ช่วย hint ข้อ Q5 ให้หน่อยครับ ผมทำไปทำมาแล้วเกิดตันระหว่างทาง

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ win1234

#268
คุณ passer-by ครับ ช่วย hint ข้อ Q5 ให้หน่อยครับ ผมทำไปทำมาแล้วเกิดตันระหว่างทาง

Hint Q5

พยายามหา prime divisor ของ n ให้ได้ (ซึ่งมีไม่กี่ตัว) แล้วก็อาจต้องใช้ Dirichlet theorem ช่วยในบางขั้นตอนครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

Q4 (AMM) : $a_1,a_2,...,a_n >0 $ และ $a_{n+1} = a_1 $ พิสูจน์ $$ \sum_{k=1}^n (\frac{a_k}{a_{k+1}})^{n-1} \geq (2\sum_{k=1}^n a_k \cdot \prod_{k=1}^n a_k^{-1/n}) -n $$

เราสามารถสมมุติว่า $a_1\ge a_2\ge ...\ge a_n$ ได้หรือเปล่าครับ
เเล้วก็ข้อของ ~ArT_Ty~ (Number Threorial Geometry) เราก็ได้เเค่ว่า $(a,b,c)=(3,4,5)$ เท่านั้นหรือเปล่าครับ

[Nostalgius]

#295 อสมการไม่สมมาตร assume ได้แค่ ตัวมากสุด หรือ ตัวน้อยสุด

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

เราสามารถสมมุติว่า $a_1\ge a_2\ge ...\ge a_n$ ได้หรือเปล่าครับ
เเล้วก็ข้อของ ~ArT_Ty~ (Number Threorial Geometry) เราก็ได้เเค่ว่า $(a,b,c)=(3,4,5)$ เท่านั้นหรือเปล่าครับ

ข้อของผมถูกแล้วครับ ช่วยแสดงหน่อยได้มั้ยครับ??

มีชีทมาแจกครับ Notes on Euclidean Geometry ของ Kiran Kedlaya ดีมากๆเลยครับ

http://www.math.rochester.edu/people...eom-080399.pdf

[จูกัดเหลียง]

#297 ผมทำประมาณนี้ครับ (ไม่เเน่ใจหรอก)
ที่มันให้มาอ่ะ $r=1\rightarrow \Delta=s$ หรือ $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=4(a+b+c)$ เเล้วก็เเทน $x=a+b-c$ เเละก็รันไปจนครบ เห็นได้ชัดว่า $x,y,z\ge 1$ ใช่ป่ะ เเละสมการกลายเป็น $xyz=4(x+y+z)$ ทีนี้ก็ได้ว่า $x|4(y+z)$ เราก็สมมุติว่า $x|4$ ก่อนเเล้วก็หา $x,y,z$ มา เราก็จะได้ต่ออีกว่า ถ้าตัวใดตัวหนึ่งหาร $4$ ลงก็จะได้คำตอบเดียว จากนั้นก็ได้ว่า ถ้า $2$ หรือ $3$ ตัวใดๆหาร $4$ ลง ก็จะไม่มีคำตอบ ทีนี้ถ้าไม่มีตัวไหนหาร $4$ ลงเลยก็ได้ว่า $x|y+z$ เเละ $y|z+x$ เเละ $z|x+y$ ก็ไม่มีเช่นกัน เพราะ $x=y=z\not\in\mathbb{N}$

[~ArT_Ty~]

ไอเดียใช้ได้ครับ โหดมาก

มาเติมอีกข้อ เบาๆ (พูดจริงๆ)

Point D is the midpoint of arc AC of a circle;

point B is on minor arc CD; and E is the point on AB

such that DE is perpendicular to AB.

Prove that AE = BE + BC

[จูกัดเหลียง]

ช่วยเเปลให้หน่อยครับ