FFTMO9

[win1234]

#300
กำหนดให้ D เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง AC ของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC B เป็นที่จุดอยู่บนส่วนโค้งน้อย CD และ E เป็นจุดบน AB
ที่ทำให้ DE ตั้งฉากกับ AB จงพิสูจน์ว่า AE = BE + BC

[~ArT_Ty~]

ขอแทรกนิดนึงครับ ขอคำแนะนำหน่อยครับ

เวลาจะเขียนแสดงวิธีการหา Locus(ทางเดินของจุดหรือเซตของจุดบนระนาบทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนด) ของจุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขของโจทย์

จะต้องเขียนยังไงให้ออกมาได้คะแนนดีอ่ะครับ??

[จูกัดเหลียง]

#301 ขอบคุณครับ ไม่รู้จะได้ัมั้ย

[Pain 7th]

#299 ขอ hint หน่อยได้ไหมครับ

[~ArT_Ty~]

เท่ากันทุกประการ ครับ

มาใส่อีกข้อ

$ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมนูนแนบในวงรี $AB\cap CD={E}$ และ $AD\cap BC={F}$

จงแสดงว่า $A,E,C,F$ อยู่บนไฮเพอร์โบลาที่มีจุดโฟกัสทั้งสองจุดเป็นอันเดียวกันกับวงรีแรก

Let ABCD be a quadrilateral inscribed in an ellipse, and let E = AB \
CD and F = AD \ BC. Show that ACEF can be inscribed in a hyperbola with
the same foci as the ellipse.

[Pain 7th]

ง่ายจริงๆ ด้วยตอนขอบคุณมากครับๆ

สะท้อน BEC เท่ากันทุกประการกับ B'EC และจาก D แบ่งครึ่งส่วนโค้ง CD จะได้ว่ามุม A=C=x

ADC=ABC=180-2x=EB'C แต่ CAB=90-x และมี BC เป็นคอร์ดเดี่ยวกัน

B' เป็นจุดศูนย์กลาง ดังนั้น B'C=B'A

AE=AB'+B'E=BC+BE

[win1234]

#306
ช่วยแสดงวิธีทำให้ดูหน่อยได้มั้ยครับ

[Pain 7th]

#307 แสดงแล้วนะครับ ลองไปดู #306

[~ArT_Ty~]

ลอง IMO 1996 ข้อ 2 ซักข้อ

มันไม่ยากอย่างที่คิดครับ

$P$ เป็นจุดในสามเหลี่ยม $ABC$ ที่ทำให้ $A \hat P B-A \hat C B = A \hat P C - A \hat B C$

ให้ $D,E$ เป็นศูนย์กลางวงกลมแนบในของสามเหลี่ยม $APB,APC$ ตามลำดับ

จงแสดงว่า $AP,BD,CE$ พบกันที่จุดๆหนึ่ง

[Pain 7th]

เรขา #288 นี่ใช้เครื่องมือหนักๆหรือเปล่าครับ

ถ้าเป็นไปได้ ขอ hint หน่อยครับ

[~ArT_Ty~]

สามเหลี่ยมคล้ายกะ ปโตเลมีครับ

(USAMO 1993/2) Let ABCD be a convex quadrilateral with perpendicular diagonals
meeting at O. Prove that the reflections of O across AB,BC,CD,DA are concyclic.

[Pain 7th]

ขอ hint ทฤษฏีจำนวนข้อ 1 ของคุณ passed-by หน่อยครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

ขอ hint ทฤษฏีจำนวนข้อ 1 ของคุณ passer-by หน่อยครับ

ถ้าหมายถึงข้อ Q1 ก็ตามนี้เลยครับ

HINT

ถ้ามี a,b,c ดังกล่าว แสดงว่า (a+b,b+c,c+a) = ????? จากนั้นพิจารณา $(a+b+c)^2 $ ครับ

----------------------------------------------------------------------------

p.s. รู้สึกว่า NT/A 3 ข้อแรกของคุณ win 1234 จะเป็นข้อสอบค่าย สสวท รอบตุลาคม เมื่อ 3-4 ปีมาแล้ว

[~ArT_Ty~]

ขุดหน่อยครับ มาเป็น FE กันบ้างดีกว่า

จงหาฟังก์ชัน $f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

$$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1$$ สำหรับทุก $x,y\in \mathbb{Q}$

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ขุดหน่อยครับ มาเป็น FE กันบ้างดีกว่า

จงหาฟังก์ชัน $f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

$$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1$$ สำหรับทุก $x,y\in \mathbb{R}$

$f(0)=1$ เราแทน $x=y=0$ จะได้ และแทน $y=1$

$f(x+1)= f(1)f(x)-f(x)+1=1$

$f(x)=1$

ไม่รู้ว่ามันมีแค่นี้หรือเปล่าอ่ะครับ

ปล. คุณ ~ArT_Ty~ ผมยังไม่ออกเลยอ่ะครับ สามเหลี่ยมรูปไหนคล้ายกันอ่ะ (หรือคู่ที่ใช้ power of point)