ตะลุยโจทย์ยามว่าง

[RedfoX]

กรณี n เป็นจำนวนเต็มคู่ n จะอยู่ในรูป 2a โดย a อยู่ใน I

\[
\cos \frac{\pi }{n}\cos \frac{{2\pi }}{n}\cos \frac{{3\pi }}{n}...\cos \frac{{(n - 1)\pi }}{n}
\]
พิจารณา 1ถึงn-1 จะมี n/2อยู่ด้วย

\[
\cos \frac{{\frac{{n\pi }}{2}}}{n} = 0
\]

\[
\prod\limits_k^{n - 1} {\cos \frac{{k\pi }}{n}} = 0
\]
งั้นขอตอบในกรณีเป็นจำนวนเต็มคู่ก่อนนะครับ จำนวนเต็มคี่ยังคิดไม่ออก ช่วยชี้ทางหน่อบสิครับ

[Mastermander]

Let $n=3$

$$\cos \frac\pi{3} \cos\frac{2\pi}{3} \ne 0$$

[passer-by]

15.

Evaluate $$ \int_0^{\infty} \frac{x^2}{e^x-1} \,\, dx $$

Note: It can be evaluated without using complex analysis

[Mastermander]

Hint 15. Please

[passer-by]

Hint #15

เปลี่ยนตัวแปรให้ ขอบเขตกลายเป็น 0 ถึง 1 ครับ หลังจากนั้นอาจจะต้อง By parts (คำตอบข้อนี้สวยดีครับ)

[M@gpie]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
15.

Evaluate $$ \int_0^{\infty} \frac{x^2}{e^x-1} \,\, dx $$

Note: It can be evaluated without using complex analysis

ไม่ได้ใช้ Hint ของพี่ passer-by เลยไม่รู้ว่าถูกไหม ผมทำดังนี้นะครับ
ให้ $ {\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{e^x-1}=\frac{x^2e^{-x}}{1-e^{-x}} } $
เนื่องจาก \[ \frac{1}{1-e^{-x}} = 1+e^{-x} + e^{-2x} + ... = \sum_{n=0}^{\infty}e^{-nx}\]
จะได้ว่า
\[ f(x)= x^2e^{-x}\sum_{n=0}^{\infty}e^{-nx} = \sum_{n=1}^{\infty}x^2e^{-nx}\]
$$ \int_0^{\infty} \frac{x^2}{e^x-1} \,\, dx = \int_0^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}x^2e^{-nx}\right) dx $$
ให้ $f_n(x)=x^2e^{-nx}, \;\; x\in [0,\infty)$ จะได้ว่า $|f_n(x)| \leq \frac{4e^{2}}{n^2} = M_n$ ซึ่ง $\sum_{n=1}^{\infty}M_n $ ลู่เข้า โดย Weirstrass M-test จะได้ว่า $\sum_{n=1}^{\infty}x^2e^{-nx}$ ลู่เข้าแบบ uniform จึงสามารถสลับลำดับการอินทิเกรตกับผลบวกได้

$$ \int_0^{\infty} \frac{x^2}{e^x-1} \,\, dx = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\int_0^{\infty}x^2e^{-nx} dx\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^3} = ... $$
ซึ่งผมจำไม่ได้ว่าอนุกรมสุดท้ายลู่เข้าสู่ค่าใดครับ แต่ก็คงใช้ Complex หามาอยู่ดี

[Mastermander]

$$\sum \frac2{n^3}=2\zeta(3)$$

[Mastermander]

16. กำหนดให้ \[
M = \left[ {\begin{array}{rcl}
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
2 & 0 & 0 \\
\end{array}} \right]
\]
ผลบวกของสมาชิกทุกตัวของเมตริกซ์ $M^{100}$ เท่ากับเท่าใด

[passer-by]

วิธีของน้อง M@gpie ก็เจ๋งเหมือนกันครับ

ที่ผม hint ไว้อย่างนั้น เพราะทำไปทำมาแล้วมันจะคล้ายๆกับข้อนึงที่เคย postไว้ที่นี่

Alternative solution
ให้ $ x = - \ln(u) $

จากนั้น อินทิเกรตจะถูกเปลี่ยนเป็น $ \int_0^1 \frac{\ln^2(u)}{1-u}\,\, du =\int_0^1 \frac{\ln^2(1-u)}{u}\,\, du $

แล้วก็ By parts จะได้ $ \ln^2(1-u)\ln(u)\mid_0^1 +2 \int_0^1 \frac{\ln(1-u)\ln(u)}{1-u} \,\, du$

เพราะ $$ \begin{array}{rcl} \int_0^1 \frac{\ln(1-u)\ln(u)}{1-u} \,\, du &= & \int_0^1 \frac{\ln(1-u)\ln(u)}{u} \,\, du \\ &=& \int_0^1 -\sum_{k=0}^{\infty} \frac{u^k \ln u}{k+1} \,\, du\\&=& -\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}\int_0^{\infty} u^k \ln u \,\, du \\&=& \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)^3}\end{array}$$


ต่อด้วยข้อต่อไป

17. ถ้า (x,y) เป็น คู่อันดับของ positive real roots เพียงคู่อันดับเดียวของสมการ

$$ x^2+xy+x=1 $$ $$y^2+xy+x+y=1 $$

พิสูจน์ว่า $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}= 8\cos^3(\frac{\pi}{7}) $

[M@gpie]

ยังคิดไม่ออกครับ 55 มาโพสๆต่อ ซักหน่อย

18. Let $z_n$ be a sequence of complex number. Prove that $z_n$ is a convergent sequence if and only if $z_n$ is a cauchy sequence.

[RedfoX]

แงผิด2ข้อซ้อนเลย ยังคิดไม่ออกด้วยสิครับ

[Mastermander]

ให้ $z^n-1=0$

$(z-1)(z^{n-1}+z^{n-2}+\dots+z+1)=0\quad $ ...(1)
จะได้ z คือรากที่ n ของ 1 นั่นคือ $z=e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ โดยที่ $k=0,1,2,\dots ,n-1$

ให้ $\omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}$

ดังนั้น $z=1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1}$

ทำให้ได้ว่า $z^n-1=(z-1)(z-\omega)(z-\omega^2)\dots(z-\omega^{n-1})\quad $ ...(2)

จาก (1) และ (2) จะได้

$z^{n-1}+z^{n-2}+\dots+z+1 = (z-\omega)(z-\omega^2)\dots(z-\omega^{n-1})$

แทน $z=-1$

$(-1-\omega)(-1-\omega^2)\dots(-1-\omega^{n-1})=\left\{ \begin{array}{l}
0\quad ,\; n = \rm{even} \\
1\quad ,\; n = \rm{odd} \\
\end{array} \right.$

กรณี $n$ เป็นจำนวนคี่บวก

$(-1)^{n-1}(1+\omega)(1+\omega^2)\dots(1+\omega^{n-1}) = 1$

$| (1+\omega)(1+\omega^2)\dots(1+\omega^{n-1}) | =1$

$\because |1+\omega^k|= |1+\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}|=\sqrt {\left( {1 + \cos \frac{{2k\pi }}{n}} \right)^2 + \sin ^2 \frac{{2k\pi }}{n}} $

$=\sqrt {2\left( {1 + \cos \frac{{2k\pi }}{n}} \right)} =\sqrt{4\cos^2\frac{k\pi}{n}}=2|\cos\frac{k\pi}{n}|$

จะได้ $$2^{n-1}\left|\cos\frac{\pi}{n}\cos\frac{2\pi}{n}\dots \cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right|=1$$

เนื่องจากตัวคูณในค่าสัมบูรณ์ ครึ่งหนึ่งตกอยู่ใน $Q_2$ ซึ่งทำให้ค่า cos เป็นลบ

ดังนั้นเมื่อถอดค่าสัมบูรณ์ออกมาจึงเกิดค่าลบออกมา $\frac{n-1}{2}$ ตัว

ฉะนั้น $$\cos\frac{\pi}{n}\cos\frac{2\pi}{n}\dots \cos\frac{(n-1)\pi}{n}=\frac{(-1)^{\frac{n-1}{2}}}{2^{n-1}}$$

สรุปได้ว่า\[
\prod\limits_{k = 1}^{n-1} {\cos \frac{{k\pi }}{n}} = \left\{ \begin{array}{lcl}
\frac{{({-1})^{\frac{{n - 1}}{2}}}}{{2^{n - 1}}} &,& n = {\rm{odd}} \\
0 &,& n = {\rm{even}} \\
\end{array} \right.
\]

[Mastermander]

19. Evaluate $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\tan^n x}$$

[Onasdi]

ข้อ 16 ครับ

ให้ $N = \left[ {\begin{array}{rcl} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array}} \right]$ นั่นก็คือ $2N=M$

เนื่องจากเลขหนึ่งทั้งสามตัวอยู่ต่างแถวต่างหลักกันหมด จึงได้ว่า เมื่อนำเมตริกซ์ 3x3 A ใดๆ มาคุณกับ N (AN นั่นเอง) จะได้ผลลัพธ์เป็น
เมตริกซ์ที่มีหลักที่ 1 เป็น หลักที่ 3 ของ A
เมตริกซ์ที่มีหลักที่ 2 เป็น หลักที่ 1 ของ A
เมตริกซ์ที่มีหลักที่ 3 เป็น หลักที่ 2 ของ A
นั่นก็คือ ผลลัพธ์ที่ได้เป็นเมตริกซ์ที่เกิดจากสลับหลักของ A โดยที่เอาหลักที่ 3 มาอยู่หน้าสุดแทน

(ทำมาถึงตรงนี้ก็ตอบคำถามได้แล้ว แต่จะทำต่อนิดนึงเพราะเราสามารถหา $M^{100}$ ออกมาได้เลย)

ดังนั้น $N^{100}=((\dots (N)N\dots )N)N$ ซึ่งก็คือการคูณเมตริกซ์เริ่มต้น N ด้วย N 99 ครั้ง
จากข้างบน การคูณด้วย N 3 ครั้ง จะกลับไปได้เมตริกเริ่มต้นดังเดิม
และเนื่องจาก 3 หาร 99 ลงตัว จึงได้ว่า $N^{100}=N$

เพราะฉะนั้น $M^{100}=2^{100}N^{100}$ ซึ่งมีผลบากสมาชิกทุกตัวเป็น $2^{100}(1+1+1)=3\cdot 2^{100}$

[Onasdi]

ข้อ 19
เนื่องจาก \[\frac{1}{1+\tan^n x}+\frac{1}{1+\tan^n (\frac{\pi}{2}-x)}=\frac{1}{1+\tan^n x}+\frac{1}{1+\cot^n x}=\frac{1}{1+\tan^n x}+\frac{\tan^n x}{\tan^n x+1}=1\]
ดังนั้น \[ \int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{1+\tan^n x} \ dx +\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{1+\tan^n (\frac{\pi}{2}-x)} \ dx = \int_{0}^{\pi/4} 1\ dx\]
\[ \int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{1+\tan^n x} \ dx +\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{1}{1+\tan^n x} \ dx = \frac{\pi}{4}\]
\[ \int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{1+\tan^n x} \ dx = \frac{\pi}{4}\]