ตะลุยโจทย์กัน ^_______^

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ 11.ครับ ใช้ทฤษฎีบททวินามแล้ว สิ่งที่โจทย์ต้องการคือ√2^334= 2^167 ครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อ10)กำหนดนิยาม $a\Delta b=\frac{a^b}{a^b+\sqrt{a}}$
ให้$$A=(1\Delta \frac{1}{2004})+(2\Delta \frac{2}{2004})+...+(1002\Delta \frac{1002}{2004})$$
$$B=(1001\Delta \frac{1003}{2004})+(1000\Delta \frac{1004}{2004})+(999\Delta \frac{1005}{2004})+...+(1\Delta \frac{2003}{2004})$$
จงหาค่าของ $A+B$

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ข้อ10)กำหนดนิยาม $a\Delta b=\frac{a^b}{a^b+\sqrt{a}}$
ให้$$A=(1\Delta \frac{1}{2004})+(2\Delta \frac{2}{2004})+...+(1002\Delta \frac{1002}{2004})$$
$$B=(1001\Delta \frac{1003}{2004})+(1000\Delta \frac{1004}{2004})+(999\Delta \frac{1005}{2004})+...+(1\Delta \frac{2003}{2004})$$
จงหาค่าของ $A+B$

พิจารณา\[
\left( {a\Delta b} \right) + \left( {a\Delta \left( {1 - b} \right)} \right) = \frac{{a^b }}{{a^b + \sqrt a }} + \frac{{a^{1 - b} }}{{a^{1 - b} + \sqrt a }} = 1
\]
ดังนั้น\[
A + B = \left[ {\left( {1\Delta \frac{1}{{2004}}} \right) + \left( {1\Delta \frac{{2003}}{{2004}}} \right)} \right] + \left[ {\left( {2\Delta \frac{2}{{2004}}} \right) + \left( {2\Delta \frac{{2002}}{{2004}}} \right)} \right] + \left[ {\left( {3\Delta \frac{3}{{2004}}} \right) + \left( {3\Delta \frac{{2001}}{{2004}}} \right)} \right] + ... + \left[ {\left( {1001\Delta \frac{{1001}}{{2004}}} \right) + \left( {1001\Delta \frac{{1003}}{{2004}}} \right)} \right] + \left( {1002\Delta \frac{{1002}}{{2004}}} \right)
\]
\[
= 1001 + \frac{1}{2} = \frac{{2003}}{2} = 1001.5
\]
ปล.โจทย์สวยดีครับ แต่ตกตรงค่า $B$ ไปหรือป่าวครับ หรือว่าโจทย์เป็นแบบนี้ ?

[Siren-Of-Step]

โจทย์คล้าย ๆ หนังสือ สอวน

[Siren-Of-Step]

กำหนดให้ $a+b+c = 0$
ถ้าสามารถเขียนอยู่ในนิพจน์ $a^5+b^5+c^5$ ได้ใน รูป $kabc(a^2+b^2+c^2)$
$k = ?$

[Ne[S]zA]

จาก $a+b+c=0$ จะได้ $a^3+b^3+c^3=3abc$
คูณด้วย $a^2+b^2+c^2$ ทั้งสองข้าง จะได้
$(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)=3abc(a^2+b^2+c^2)$ ซึ่งจะได้
ู$a^5+b^5+c^5+a^3(b^2+c^2)+b^3(a^2+c^2)+c^3(a^2+b^2)=3abc(a^2+b^2+c^2)$__(*)
จาก $a+b+c=0$ จะได้ $a+b=-c$ ยกกำลังสอง
จะได้ $a^2+b^2+2ab=c^2$ ในทำนองเดียวกันจะได้
$a^2+b^2=c^2-2ab$
$b^2+c^2=a^2-2bc$
$c^2+a^2=b^2-2ca$
นำไปแทนใน (*)
จะได้ว่า
$a^5+b^5+c^5+a^5-2bca^3+b^5-2acb^3+c^5-2abc^3=3abc(a^2+b^2+c^2)$
$2(a^5+b^5+c^5)-2abc(a^2+b^2+c^2)=3abc(a^2+b^2+c^2)$
นั่นคือ $a^5+b^5+c^5=\dfrac{5}{2}abc(a^2+b^2+c^2)$
เพราะฉะนั้น $k=\dfrac{5}{2}$

[หยินหยาง]

เสนอแนวคิดแบบง่ายๆให้อีกวิธีครับ
ถ้าเป็นผม ผมใช้เงื่อนไขที่โจทย์ให้ในการหาค่า k โดยให้ $a=1, b=1, c=-2$
โจทย์กำหนด $a^5+b^5+c^5=kabc(a^2+b^2+c^2)$ จะได้ว่า
$1+1+(-32)=k(1)(1)(-2)(1+1+4)$
$k=\frac{5}{2} $

[Ne[S]zA]

ขอบคุณ คุณ หยินหยางนะครับ สำหรับวิธีใหม่ๆ
ข้อต่อไป กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆที่แตกต่างกันทั้งหมด และ
$$2010^x+\dfrac{1}{2010^y}=2010^y+\dfrac{1}{2010^z}=2010^z+\dfrac{1}{2010^x}$$
จงหาค่าของ $1^{x+y+z}+2^{x+y+z}+3^{x+y+z}+...+2010^{x+y+z}$

[Ne[S]zA]

ข้อนั้นไม่มีใครทำเลย ลองข้อนี้ดูครับ เพิ่งคิดสดๆร้อนๆ ผิดพลาดประการใดขออภัยครับ
กำหนดให้ $0^{\circ }<x<90^{\circ}$ ซึ่งทำให้
$$2011+\dfrac{2010}{(\sin x)^{\sqrt{3}\sin x -\cos x}(\cos x)^{\sin x-\sqrt{3}\cos x}}=\dfrac{2010}{(\cos x)^{\sin x-\sqrt{3}\cos x}}+(\csc x)^{\sqrt{3}\sin x -\cos x}+2010$$
และ
$$\sin x+\cos x +\tan x +\csc x +\sec x + \cot x=\dfrac{E+E\sqrt{S}}{N}$$
จงหา $NEES$ เป็นตัวเลขซึ่งเกิดจากเขียนเรียงกันของค่าของตัวแปร $N,E,S$ โดย $N,E,S$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ ห.ร.ม.ของ $N,E,S$ เท่ากับ $1$

[Siren-Of-Step]

จำนวนเต็มบวก $n$ ที่มีค่าน้อยที่สุดซึ่งทำให้ $(2000n+1)(2008n+1)$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ $n$ มีค่าเท่าใด

ในเฉลย :

$(2000n+1)(2008n+1) = m^2$
$(2008*2000)n^2 + 4008n = m^2-1$
$8n((250*2008)n + 501) = (m+1)(m-1)$

เนื่องจาก $n= 1,2,3,4,...,500$ ไม่สามารถไปแทนหาค่า $n$ ได้

แทนค่า $n = 501 = 1004004 * 1004002$

$n = 501$

ผมคิดว่า น่าจะมีวิธีคิด ดีกว่านี้ เลยอยากจะขอ idea จาก ชาว math คนครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

นี้คือแนวคิดผมครับ ให้ $a=2000 ,a+8=2008$
จะได้ว่า $(an+1)((a+8)n+1)=k^2$
หรือ $(an+1)(an+1+8n)=k^2$
$(an+1)^2+8n(an+1)=k^2$
$(an+1)^2+8n(an+1)+16n^2=k^2+16n^2$
จะได้ $k2+(4n)2=[(a+4)n+1]^2$
เทียบกับสมการ $(2xy)^2+(x^2−y^2)^2=(x^2+Y^2)^2$
ให้ $2xy=4n$ และ $x^2+y^2=(a+4)n+1$
เราให้ $y=1 $จะได้ $x=2n$ และจาก$x^2+y^2=(a+4)n+1 $
จะได้ $4n^2+1=(a+4)n+1$ หรือ $4n^2=(a+4)n$
$n=\frac{a+4}{4} $
แทน $a=2000 $ จะได้ $n=501$
ไม่รู้ว่าsharpป่าวนะครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

นี้คือแนวคิดผมครับ ให้ $a=2000 ,a+8=2008$
จะได้ว่า $(an+1)((a+8)n+1)=k^2$
หรือ $(an+1)(an+1+8n)=k^2$
$(an+1)^2+8n(an+1)=k^2$
$(an+1)^2+8n(an+1)+16n^2=k^2+16n^2$
จะได้ $k2+(4n)2=[(a+4)n+1]^2$
เทียบกับสมการ $(2xy)^2+(x^2−y^2)^2=(x^2+Y^2)^2$
ให้ $2xy=4n$ และ $x^2+y^2=(a+4)n+1$
เราให้ $y=1 $จะได้ $x=2n$ และจาก$x^2+y^2=(a+4)n+1 $
จะได้ $4n^2+1=(a+4)n+1$ หรือ $4n^2=(a+4)n$
$n=\frac{a+4}{4} $
แทน $a=2000 $ จะได้ $n=501$
ไม่รู้ว่าsharpป่าวนะครับ

มาได้ไงอะครับ บรรทัดนี้

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

นี้คือแนวคิดผมครับ
.
.
.

ไม่รู้ว่าsharpป่าวนะครับ

ทั้ง sharp, sony, phillips, samsung รวมกันเลยครับ ...... = เจ๋ง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

มาได้ไงอะครับ บรรทัดนี้

$(an+1)^2+8n(an+1)+16n^2=k^2+16n^2$


$[(an+1) + 4n]^2 =k^2+16n^2$

$[4n + (an+ 1)]^2 =k^2+16n^2$


$[4n + an+ 1]^2 =k^2+16n^2$

$[n(4 + a)+ 1]^2 =k^2+16n^2$

$[(a+4)n+1]^2 = k^2+(4n)^2$

จะได้ $k^2+(4n)^2=[(a+4)n+1]^2$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ขอบคุณที่ติดตามอ่านนะครับ คุณอาbanker

[Siren-Of-Step]

มาเพิ่มให้ ง่ายมาก ๆ

1. $\sqrt[3]{a-b} + \sqrt[3]{b-c} = - \sqrt[3]{c-a}$

จงหาค่าของ $2009(a-b)(b-c)(c-a)$
2. $\dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} = 4$
$\dfrac{a}{c}+ \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} = 5$

จงหา $(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c})(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b})$
ถ้าผิดพลาดข้อไหนช่วยบอกทีงับ