ข้อยากในเพชรยอดมงกุฏ2551

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kaito KunG

9.ในสมการ $A+B+C+D+E = FG $เมื่อ $ FG $คือจน.สองหลักที่มีค่าเท่ากับ $10F+G $ ถ้า $A B C D E Fและ G $ เป็นเลขโดดที่แตกต่างกัน และ FG มีค่ามากที่สุดเท่ที่เป็นไปได้ แล้ว $F^2+G^2 $มีค่าเท่ากับข้อใด
1.34
2.25
3.13
4.10

$A+B+C+D+E $ มีค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้ $ \leqslant 35 \ \ \ \ \ $




$5 + 6 + 7 + 8 + 9 =35 \ \ \ \ \ \ $ เลข 5 ซ้ำ

$4 + 6 + 7 + 8 + 9 =34 \ \ \ \ \ \ $ เลข 4 ซ้ำ

$3 + 6 + 7 + 8 + 9 =33 \ \ \ \ \ \ $ เลข 3 ซ้ำ

$2 + 6 + 7 + 8 + 9 =32 \ \ \ \ \ \ $ เลข 2 ซ้ำ

$ 2 + 5 + 7 +8 + 9 =31$

$FG =31$ และ $F^2+G^2 = 3^2 + 1^2 =10$


หน้าแตกอีกแล้ว แต่ไม่เป็นไร คนส่วนใหญ่ก็หน้าแตกตอบ10เหมือนๆกัน ยกเว้นคุณหยิงหยาง ที่เป็นคนส่วนน้อย(ที่ตอบ13)

[math_lnw]

ข้อ 32 ตอบ 4. ปะครับ แต่ไม่รู้วิธีคิด อะ --แทนค่า--55+

[James007]

ผมมีเฉลยจากหนังสือตามที่แนบรูปไว้ครับ...

ผมคิดดูแล้วมีบางข้อที่ไม่ตรงกับเฉลย คือ
ข้อ 4. ตอบ 545 ซึ่งไม่มีในตัวเลือก (19+79+109+139+199=545)
ถ้าตอบตัวเลือก 4. จะไม่มี 109

ข้อ 6. ตอบ 2. (ได้ 1236 คือจำนวนนั้น)

ข้อ 21. ตอบ 501 ไม่มีในตัวเลือกอีกแล้ว (ผลบวกของจำนวนเฉพาะเริ่มจาก 2 ถึง 61)

ข้อ 24. ตอบ 1. (Telescoping Series)

ข้อ 27. โจทย์ผิดหรือเปล่าครับ

ข้อ 32. ตอบ 3. (ถ้าเปลี่ยน "มากกว่า" เป็น "มากกกว่าหรือเท่ากับ" ใน ข. จะทำให้ถูกต้อง)

ข้อ 33. ตอบ 1. และ 2. (ถ้าข้อ 1. เปลี่ยน "น้อยกว่า" เป็น "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" จะตอบข้อ 2. อย่างเดียว)

ข้อ 34. ตอบ 4.

ช้อ 38. ไม่มีในตัวเลือกครับ

ถ้าข้อไหนถูกแล้วตามเฉลยหรือมีความคิดเห็นไม่ตรงกับผมก็แย้งมาด้วยนะครับ ขอบคุณครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kaito KunG

27.ให้ N1 N2 N3 และ N4 แทนจน.ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ
(1. N2 มากกว่า N1 อยู่ 50 %
(2. N3 มากกว่า N2 อยู่ 10%
(3. N4 มากกว่า N3 อยู่ x%
ค่าของ x ที่ทำให้ N4 มากกว่า N1 อยู๋ 20 % คือค่าใด
1.100/11
2.200/11
3.300/11
4.400/11

N2 มากกว่า N1 อยู่ 50 %

$N_2 = \frac{15}{10}N_1$


N3 มากกว่า N2 อยู่ 10%

$N_3 = \frac{11}{10} \times \frac{15}{10}N_1$


N4 มากกว่า N3 อยู่ x%

$N_4 = \frac{(100-x)}{100} \times \frac{11}{10} \times \frac{15}{10}N_1$


ค่าของ x ที่ทำให้ N4 มากกว่า N1 อยู๋ 20 %


$ \frac{(100-x)}{100} \times \frac{11}{10} \times \frac{15}{10}N_1 = \frac{12}{10} N_1$


มั่วไปมั่วมาได้ $x = \frac{300}{11}$


ขออนุญาตตรวจสอบคำจำกัดความอีกที ดูๆมันทะแม่งๆยังไงๆอยู่ เดี๋ยวจะมาแก้ครับ

ที่ว่าทะแม่งคืออย่างนี้ครับ

N2 มากกว่า N1 อยู่ 50 % แปลว่า N_2 มี 100 N_1 มี50 คือ N_2 มากกว่า N_1 อยู่ 50 คือ 50 %
ดังนั้น N_2 = 2N_1


N3 มากกว่า N2 อยู่ 10% แปลว่า N_3 มี100 N_2 มี 90 คือมากกว่าอยู่ 10 จาก 100 ของ N_3

[Jew]

ข้อ 36
โดยคอนกรูเอนซ์จะได้ 6 ครับ
36 solution
${5^{5}}^5 \equiv 1 \pmod{8}$
$3{5^{5}}^5 \equiv 15 \pmod{8}$
$7^2 \equiv 1 \pmod{8}$
$7^7 \equiv 7 \pmod{8}$
${7^7}^7 \equiv 7 \pmod{8}$
${5^{5}}^5 +{7^7}^7 \equiv 6 \pmod{8}$





ใครว่างช่วยพิมพ์ข้อสอบฉบับเต็มหน่อยครับ

[Kaito KunG]

please give the solution of no. 12 21 and 37 `

p.s. my keyboard is broken ,can't type in Thai

[James007]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

...
$N_4 = \frac{(100-x)}{100} \times \frac{11}{10} \times \frac{15}{10}N_1$
...

ตรงนี้ต้องเป็น $100+x$ หรือเปล่าครับ (แล้วก็จะไม่มีในตัวเลือก)

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kaito KunG

please give the solution of no. 12 21 and 37 `

p.s. my keyboard is broken ,can't type in Thai

$n(n!)=(n+1)!-n!$
แล้วใช้ หลักการของการ telescoping เอา

[math_lnw]

มันจะได้ $N=61!-1!$
$N+1=61!$
ดังนั้นตัวประกอบเฉพาะของ N+1=2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
แล้วบวกเอา
ถูกป่าวหว่า - - ???

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ James007

ตรงนี้ต้องเป็น $100+x$ หรือเปล่าครับ (แล้วก็จะไม่มีในตัวเลือก)

ใฃ่ครับ ผมมั่วเองเพื่อให้ได้คำตอบตามช้อยที่ให้มา


ข้อนี้ผมได้คำตอบแล้วครับว่า เป็นไปไม่ได้ที่ N4 จะมากกว่า N1 อยู่ 20 %

ผมสมมุติคร่าวๆว่า
N2 มากกว่า N1 อยู่ 50 %
สมมุติว่า N1 = 50
N2 = 100

N3 มากว่า N2 อยู่ 10 %
N3 ก็ราวๆ 110

N4 มากกว่า N3 อยู่ x %
N4 ก็ต้องมากกว่า 110

110 มากกว่า 50 อยู่ 60 ซึ่งเกิน 50 % ไปแล้ว

แล้วจะย้อนกลับมามากกว่า N1 แค่ 20 % ได้อย่างไร

สรุปว่า โจทย์ผิดครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ math_lnw

มันจะได้ $N=61!-1!$
$N+1=61!$
ดังนั้นตัวประกอบเฉพาะของ N+1=2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
แล้วบวกเอา
ถูกป่าวหว่า - - ???

ถูกแล้วครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kaito KunG

5.นำลูกบาศก์ลูกหนึ่งมาเรียงกันเป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด $ 5 \times 7 \times 9 $ แล้วทาสีด้านนอกของสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้ จนลูกบาศก์ 1 หน่วยที่ถูกทาสีหน้าเดียวคือ??

ปกติลูกบาศก์มี 6 หน้า ถ้าเลือกลูกบาศก์ที่ถูกทาสีหน้าเดียว ก็คือลูกบาศก์ที่มีหน้าเปลือย 5 หน้า


ลูกบาศก์ 1 หน่วยที่ถูกทาสีหน้าเดียวคือ (5 x 7 x 2) + ( 3 x 5 x 2) + (7 x 3 x 2)

= 70 + 30 + 42 = 142 ลูก

[banker]

2.ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจน.3จน.มากกว่าจน.ที่น้อยที่สุดอยู่7และน้อยกว่าจน. ที่มากที่สุดอยู๋5
ถ้ามัธยฐานของจน.ทั้ง 3 นี้ เท่ากับ 10 แล้วผลบวกของจน.ทั้ง3 เท่ากับ ?

มัธยฐาน (Median)
ใช้สัญลักษณ์ Med คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด เมื่อได้เรียงข้อมูลตามลำดับ
ไม่ว่าจากน้อยไปมาก หรือจากมากไปน้อย


เมื่อข้อมูลนี้มี 3 จำนวน ดังนั้นจำนวนที่ 2 คือ มัธยฐาน = $10$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = $x$

จำนวนแรกคือ $x-7$ จำนวนท้ายคือ $x+5$ จำนวนกลางคือ $10$

ดังนั้น $ \ \ \ \ x = \frac{(x-7)+(10)+(x+5)}{3}$

$x = 8$

สามจำนวนนั้นคือ $1, 10, 13$

ผลบวกของ 3 จำนวนนั้นคือ $1+10+13 = 24$

หรือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต x จำนวน = $8 \times 3 = 24$

[banker]

7.สำหรับจน.ตั้งแต่ 2 -1000 ข้อใดต่อไปนี้คือเลขโดดของหลักหน่วยของผลคูณของจน.คู๋ทั้งหมดยกเว้นจน.ที่มีหลักหน่วยเป็น 0

เมื่อนำเลขโดดของหลักหน่วยที่เรียงกัน 20 จำนวนที่เป็นเลขคู่ (ไม่นับ 0) มาคูณกัน จะมีหลักหน่วยวนดังนี้

2 8 8 4 8 2 2 6 แล้วจะวนในรูปแบบนี้ไปเรื่อยๆ

1 -1000 มี 50 ชุด ลงตัว

ดังนั้น เลขโดดของหลักหน่วยของจำนวนนั้นคือ 6

[banker]

3. ผลคูณ$ 2^5\times 3^2 $ มีค่าเท่ากับ 288 เรียก 288 ว่า รูบทศนิยมของ $ 2^5\times 3^2 $
ผลบวกของเลขโดดของรูปทศนิยมของ $ 2^{2549} \times 5^{2551} $ มีค่าเท่าใด

\[\begin{array}{rcl}
2^{2549} \times 5^{2551} & = & 2^{2549} \times 5^{2549 } \times 5 ^2 \\

& = & 10^{2549} \times 5 ^2 \\

& = & 10^{2549} \times 25 \\

\end{array}\]


เลขโดดของรูปทศนิยม คือ 25 แล้วต่อด้วย 0 ทั้งหมด 2549 ตัว

ผลบวกของเลขโดด = 2 +5 = 7