Marathon [ Pre-POSN ; M.1-3 ]

[กิตติ]

รอมีคนมาทำก่อนแล้วกันครับ
พรุ่งนี้ค่อยเข้ามาดูใหม่ครับ

[banker]

ของคุณกิตติยากจัง ทำโจทย์ผมดีกว่า

ข้อนี้ผมเองก็ยังไม่ได้ทำ เห็นโจทย์สวยดี ก้เลยเอามาโพสต์

มาทำด้วยกันดีไหมครับ

ให้ $A = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2007^2} + \dfrac{1}{2008^2} + \dfrac{1}{2009^2} + ... + \dfrac{1}{2549^2}}$

จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าไม่เกิน $\dfrac{A}{50}$

$1. 184$
$2. 186$
$3. 188$
$4. 190$

ref : EXIMIUS

[กิตติ]

ขนาดป๋าbankerยังบอกว่ายากเลย.....จริงๆถ้าค่อยๆมองค่อยแคะ ไม่ได้ยากเลย
เฉลยใช้ไม่เกินสิบบรรทัด....ผมว่าน่าจะมีคนทำได้อยู่นะ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ไม่ได้ตอบข้อก่อนแต่ขออนุญาตตั้งรวดเดียวสองข้อแบบง่ายๆ

1.เมื่อ$x,y$เป็นจำนวนจริงและ$x+y>0$
จงหาค่าต่ำสุดของ$x^5+y^5-x^4y+xy^4+x^2+6x+2009$
2.$p,q$เป็นจำนวนเฉพาะสองจำนวนที่
$p^q-q^p = 130783$
จงหาค่ามากที่สุดของ$p+q$

เป็นโจทย์คัดตัวปี2009รอบเซมิไฟนอลของไต้หวันคัดไปWYMIC
ขอเข้ามาตอบตอนสองทุ่มครับ....ทิ้งให้ทำเล่นๆครับ
ใครจะตั้งโจทย์ต่อเลยก็ได้ เดี๋ยวเสียเวลาคนอื่นครับ

ผมคิดว่าโจทย์ข้อแรกน่าจะผิดครับ ผมลองทดเลขดูแล้ว
ไม่น่าจะทำได้ด้วยมือคน (รึปล่าว)
ได้ค่าต่ำสุดเป็นติดลบไม่รู้กี่ล้านๆๆๆๆครับ
เกิดขึ้นเมื่อ (x, y) = (-39334213969720918016, 52990027917317750784)

แต่ถ้าต้องการให้ไอ้ก้อนนั้นเป็นบวกก็รู้สึกจะได้ 2033 มั้ง เกิดขึ้นเมื่อ (x,y)=(-4,6)

ปล.เอาคอมทำให้อ่ะ

[กิตติ]

โจทย์ผิดจริงๆด้วย เพราะพิมพ์เครื่องหมายผิดครับ...
โจทย์เดิม...$x^5+y^5-x^4y+xy^4+x^2+6x+2009$
แก้เป็น...$x^5+y^5-x^4y-xy^4+x^2+6x+2009$
ขอบคุณมากครับคุณScylla_Shadowที่ช่วยเช็คให้
ผมน้อมรับความผิดพลาดนี้แต่เพียงผู้เดียวครับ

[kimchiman]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ของคุณกิตติยากจัง ทำโจทย์ผมดีกว่า

ข้อนี้ผมเองก็ยังไม่ได้ทำ เห็นโจทย์สวยดี ก้เลยเอามาโพสต์

มาทำด้วยกันดีไหมครับ

ให้ $A = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2007^2} + \dfrac{1}{2008^2} + \dfrac{1}{2009^2} + ... + \dfrac{1}{2549^2}}$

จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าไม่เกิน $\dfrac{A}{50}$

$1. 184$
$2. 186$
$3. 188$
$4. 190$

ref : EXIMIUS

ใช้ $\frac{1}{n^2+n}<\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n^2-n}$
$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
แล้วก็ แทน n=2007,2008,2009,...,2549 แล้วจับบวกกัน จัดรูปนิดหน่อยก็ได้เองครับ
ส่วนคำตอบผมขี้เกียจคิดครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

โจทย์ผิดจริงๆด้วย เพราะพิมพ์เครื่องหมายผิดครับ...
โจทย์เดิม...$x^5+y^5-x^4y+xy^4+x^2+6x+2009$
แก้เป็น...$x^5+y^5-x^4y-xy^4+x^2+6x+2009$
ขอบคุณมากครับคุณScylla_Shadowที่ช่วยเช็คให้
ผมน้อมรับความผิดพลาดนี้แต่เพียงผู้เดียวครับ

ผมคิดว่าน่าจะเป็นก้อนนี้มากกว่าครับ $x^5+y^5-x^4y-xy^4+x^2-6x+2009$

คำตอบจะสวยงามกว่า (คำตอบ 2000 เกิดขึ้นเมื่อ x=y=3)
แนวคิดง่ายๆคือจัดรูป $x^5+y^5-x^4y-xy^4=(x-y)^2(x+y)(x^2+y^2)$
และ $x^2-6x+2009=(x-3)^2+2000$

แต่ถ้ายังเป็นโจทย์เดิม ก็ทำคล้ายๆเดิม แต่อาจจะออกมาไม่ค่อยสวยนักครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kimchiman

ใช้ $\frac{1}{n^2+n}<\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n^2-n}$
$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
แล้วก็ แทน n=2007,2008,2009,...,2549 แล้วจับบวกกัน จัดรูปนิดหน่อยก็ได้เองครับ
ส่วนคำตอบผมขี้เกียจคิดครับ

ข้อนี้ยังไม่ผ่าน

ไม่สนใจลองทำดูหรือครับ

ที่คิดว่าแนวคิดเป็นแบบนี้ แต่พอทำไป มันไปไม่ถูกก็มีนะครับ

[กิตติ]

ข้อแรกถูกต้องตามที่คุณScylla_Shadowเฉลยครับ
ยังค้างข้อสองกับของลุงBankerครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อสองของคุณ กิตติ hint หน่อยครับ

หินมากสำหรับผม แต่ ของคนอื่น จิ๊บ ๆ

[กิตติ]

2.$p,q$เป็นจำนวนเฉพาะสองจำนวนที่
$p^q-q^p = 130783$
จงหาค่ามากที่สุดของ$p+q$
มาดู$130783$ เป็นจำนวนคี่ ซึ่ง จำนวนคี่เกิดจากผลลบของจำนวนคู่กับจำนวนคี่เท่านั้น
จำนวนคู่ที่เป็นจำนวนเฉพาะนั้นมีตัวเดียว....แค่นี้ก็ใบ้เยอะแล้ว
คิดแยกเป็นกรณีก็จะเห็นคำตอบ

[Siren-Of-Step]

ใบ้เยอะไปจน ผมเห็นทางสว่าง
$p^q - q^p = 130783$
$p,q \in P$

จาก hint ของคุณ กิตติ จะได้ $p$ หรือ $q = 2$
กรณีที่ 1
$q=2$
$p^2 - 2^p = 130783$
$p^2 -130783 = 2^p$
พบว่า $p > 361$

$361^2 < 2^{361}$ ไม่มีจำนวนเฉพาะใด ๆ ที่สอดคล้อง

กรณีที่ 2
$p=2$
$2^q - q^2 = 130783$
$2^q - 130783 = q^2$
$2^q \geqslant q^2$ ทุก $q \geqslant 5$
$2^q > 130783$
$2^{17} = 131072 - 17^2 = 130783$
$p+q = 19$

ระยะห่างจะมากขึ้นเรื่อย ๆ ถ้า $p > 17$
$p - q$ จะ $> 130783$

ไม่รู้เข้าใจป่าวหง่ะ

[กิตติ]

มาถูกทางแล้วครับ ในเฉลยเขาแยกเป็น 2 กรณี
1.$q=2$
ดังนั้น$p^2-2^p=130783 >0$
ดังนั้น$p\leqslant 4 \therefore p=3$ เพราะ$p$ต้องเป็นจำนวนเฉพาะ
$p^q-q^p = 3^2-2^3 =1$
ที่$p\leqslant 4$ เพราะว่า$4^2-2^2=0$ ถ้า$p>4$จะได้ว่า$p^2-2^{p} <0$
กรณีนี้จึงตกไป
2.$p=2$ จะได้ว่า$2^q-q^2 = 130783$
ความหมายคือ $2^q > 130783$ ซึ่งค่า$q$ต้อง$>16$
ค่า$q$ที่ใช้ได้ค่าแรกคือ $17$
ลองแทนดู$2^{17}-17^2=130783$ ได้ค่าแรกเป็นคำตอบของสมการ
ลองแทน$q$ด้วย$q+1$เพื่อดูว่ามีค่าอื่นอีกไหมที่เป็นคำตอบของสมการ โดยสมมุติว่ามี$q+1$เป็นอีกคำตอบหนึ่งจะได้ว่า
$2^{q+1}-(q+1)^2=130783$
แต่จาก$2^q-q^2 = 130783$
ดังนั้น$2^{q+1}-(q+1)^2=130783=2^q-q^2$
$2^{q+1}-(q+1)^2=2^q-q^2$
$2^{q+1}-(q+1)^2-2^q+q^2 =0$
$2^q-2q-1 =0$
แต่เมื่อ$q\geqslant 17$ จะได้ค่าของ$2^q-2q-1 >0$
ดังนั้น$2^q-2q-1 =0$จึงไม่จริง
ดังนั้นจึงมีคำตอบของสมการนี้เพียงคู่เดียวคือ$p=2,q=17$
ดังนั้นค่าของ$p+q$มากที่สุดคือ$19$

คงได้ไอเดียเนอะ โจทย์ดูเหมือนจะยากแต่ลองไขดูทีละจุดแล้วมันจะเผยคำตอบออกมา ตอนแรกผมก็ผงะ ไม่ทำแล้วแต่ลองแคะๆทีละจุดมันก็ได้คำตอบ
ใครลองเข้าเวปของอาจารย์สกนธ์ ผ่องพุทธคุณดูซิครับ โจทย์ตัวอย่างแบบบ้าดีเดือด แต่อาจารย์จะไขทีละจุดจนได้คำตอบซึ่งไม่ยากเลย

[TuaZaa08]

กระทู้ Marathon ของ ม.ต้นเงียบไป 2 กระทู้เลยแฮะ

ไปทำประถมกันหมด

-*-

[banker]

มาประเดิมMarathon [ Pre-POSN ; M.1-3 ] ยุคใหม่ หลังจากเงียบเหงาไปนาน

ไปเจอข้อนี้ เห็นว่าสวยดี ก็เลยเอามาโพสต์

ผมเองก็ยังไม่ได้คิด มาช่วยกันคิดดีไหมครับ


ถ้า $x^{x^{x^{x^{...} } } } = 2008 \ \ $ และ$ \ \ y^{y^{y^{y^{...} } } } = 2551 \ \ $ แล้ว

$x^{2551 - 543} + y^{2008 + 543} \ \ $มีค่าเท่าไร

1. 4559
2. 4549
3. 4459
4. 4449