โจทย์นิดๆหน่อยๆครับมาคิดกันเล่นๆนะครับ

[MirRor]

อ้าจริงงด้วย ขอบคุณครับ

ส่งสัยต่อไปคงนอนยันแล้วมั่ง T-T

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ข้อ 5 พิสูจน์ได้แค่กรณีซ้ายครับ

ลองให้ $A=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ...\frac{1997}{1998} $ และ
$B=\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot ...\frac{1996}{1997} $
ดังนั้น จะได้ว่า $A<B$ และ $A^2<AB \rightarrow A<\frac{1}{\sqrt{1998} } < \frac{1}{44}$

[LightLucifer]

ข้อ 9 ผมได้ว่า
$x,y,z=2,33,30$
แล้ว $2+33+30=65$
สรุปได้ว่า$ x+y+z $ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ครับ

[winlose]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ข้อ 9 ผมได้ว่า
$x,y,z=2,33,30$
แล้ว $2+33+30=65$
สรุปได้ว่า$ x+y+z $ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ครับ

$x,y,z$ อาจจะมีโอกาสเป็นจำนวนอื่นก็ได้นิครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

$x,y,z$ อาจจะมีโอกาสเป็นจำนวนอื่นก็ได้นิครับ

ก็นะครับ ถ้าอยู๋ในห้องสอบผมก็ใช้วิธีนี้แหละครับ เพราะถ้ามีอีกชุดที่บวกกันได้ กำลังสองสมบูณณ์ก็จะเป็นข้อบกพร่องของโจทย์ในทันทีครับ

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ลองให้ $A=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ...\frac{1997}{1998} $ และ
$B=\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot ...\frac{1996}{1997} $
ดังนั้น จะได้ว่า $A<B$ และ $A^2<AB \rightarrow A<\frac{1}{\sqrt{1998} } < \frac{1}{44}$

ขอบคุณมากๆครับ แนวคิดนี้ช่วยผมทำโจทย์ได้อีกหลายข้อเลยครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ขอบคุณมากๆครับ แนวคิดนี้ช่วยผมทำโจทย์ได้อีกหลายข้อเลยครับ

แล่วทางซ้ายพิสูจน์ ไงอ่ะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

แล่วทางซ้ายพิสูจน์ ไงอ่ะครับ

แนวคิดก็เหมือนกับทางขวา เพียงแต่เล่นแร่แปรธาตุสักหน่อยก็ออกแล้วครับ ส่วนของคุณ [SIL] คิดอย่างไรต้องให้เจ้าตัวมาตอบครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

แนวคิดก็เหมือนกับทางขวา เพียงแต่เล่นแร่แปรธาตุสักหน่อยก็ออกแล้วครับ ส่วนของคุณ [SIL] คิดอย่างไรต้องให้เจ้าตัวมาตอบครับ

ก็แบบว่าถ้า $A<\frac{1}{\sqrt{1998} }$ แล้ว $\frac{1}{1999}<A$ ยังไงอ่ะครับ งงตรงนี้อ่ะ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ก็แบบว่าถ้า $A<\frac{1}{\sqrt{1998} }$ แล้ว $\frac{1}{1999}<A$ ยังไงอ่ะครับ งงตรงนี้อ่ะ

ผมหมายถึงแบบนี้ครับ คือจากที่เรากำหนด $A,B$ ทำให้เราได้ความสัมพันธ์อีกอย่างว่า $AB<2A^2\rightarrow \sqrt{\frac{AB}{2} } <A$ หลังจากนั้นก็แทนค่าก็ออกแล้วครับ

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

แล่วทางซ้ายพิสูจน์ ไงอ่ะครับ

ใช้วิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ครับ โดยการคูณ 1999 ขึ้นไป แล้วพิสูจน์ว่า
$3\bullet5\bullet...\bullet1999>2\bullet4\bullet...\bullet1998$
จากตัวนี้ครับ
$3\bullet5\bullet...\bullet(2n+1)>2\bullet4\bullet...\bullet2n$ (ให้ p(n)แทนข้อความนี้)
ขั้นฐานp(1) 3>2 จะเห็นว่าเป็นจริง
กำหนดให้ p(k) เป็นจริง $3\bullet5\bullet...\bullet(2k+1)>2\bullet4\bullet...\bullet2k$
คูณ 2k+3 เข้าทั้งสองข้าง $3\bullet5\bullet...\bullet(2k+3)>2\bullet4\bullet...\bullet(2k+3)>2\bullet4\bullet...\bullet(2k+2)$
จะได้ $3\bullet5\bullet...\bullet(2(k+1)+1)>2\bullet4\bullet...\bullet(2(k+1))$ นั่นคือ p(k+1) เป็นจริง
จะได้ว่า ทุกๆ p(n) เป็นจริง

ต้องขอประทานโทษด้วยครับ ผมยังประสบการณ์น้อยเลยทำได้แค่วิธีแบบนี้
ปล. การแยกกรณีพิสูจน์ทำได้หรือไม่ในการพิสูจน์อสมการว่าเป็นจริงครับ