ข้อสอบคณิตศาสตร์ IJSO ปี 2550 รอบแรก

[teamman]

ในข้อที่ 1 ลองหาอัตราเร็วของแต่ละคนดูครับ เพราะ เค้าบอกว่าถึงพร้อมกัน แต่ระยะทางของแต่ละคนไม่เท่ากัน
ดังนั้น อัตราเร็วของแต่ละคนจะไม่เท่ากัน เมื่อได้อัตราเร็วแล้วลอง นำอัตราเร็วของแต่ละคนมาคิดแล้วลองสร้างสมการ
ที่นี้ก็ได้คำตอบแล้วครับ

[sornchai]

เราต้องสมมติระยะทางทั้งหมด = x ใช่เปล่า
B เดินได้ทางยาว = x - 10 ก.ม.
c เดินได้ทางยาว = x - 20 ก.ม.
โดยใช้เวลาเท่ากัน สมมติว่าเขาใช้เวลา 1 ช.ม.
A เดินทางด้วยความเร็ว = x-10 ก.ม./ช.ม.
B เดินทางด้วยความเร็ว = X-20 ก.ม./ช.ม.
ก็จะได้ว่าถ้าระยะทางเท่ากับ X-10 ก.ม. ใน 1 ช.ม. A เดินทางได้ทางมากกว่า B = 10 ก.ม.
ถ้าระยะทางทั้งหมด X ก.ม. A จะเดินทางได้มากกว่า B = 10X/X-10 ก.ม.
แล้วมาตั้งสมการ X-90 = 10
X = 100 ก.ม.
แทนค่า X จะได้ 1000/90 = 100/9 ก.ม.
ผมทำถูกหรือเปล่าครับหรือว่ามั่วถูก

เอาใหม่ครับ ระยะทาง 90 เมตร B ต่อให้ C = 10 เมตร
ถ้าระยะทาง 100 เมตร B ต่อให้ C = 10*100/90 = 100/9 เมตร ใช่เปล่าครับ

ช่วยเฉลยข้อ 5 ให้ละเอียดกว่านี้ได้เปล่าครับยังไม่เข้าใจ แบบว่าพื้นฐานย้งไม่ดีพอ

[nongtum]

แน่ใจนะครับว่าทดตามแล้ว ไ่ม่เข้าใจตรงไหนถามเจาะมาดีกว่านะครับ

Guideline:
- $AB=\dots$ (ยกเทอมที่ให้ในโจทย์มาคูณ)
- $(A-B)^2=A^2+2AB+B^2-4AB$

[sornchai]

โจทย์บอกว่า A+B = 4
แต่ทำไม AB = 1
ช่วยอธิบายด้วยครับ

[nongtum]

โอเคครับ ข้อสอบที่โพสต์ในกระทู้นี้อาจไม่ชัดเจนพอ
ลองเข้าไปดูข้อสอบชัดๆที่กระทู้นี้ จะพบว่า $A=(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})^3$ และ $B=(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})^3$
ที่เหลือก็คูณเลขยกกำลังกับผลต่างกำลังสองครับ (ไม่น่ายากนะครับ)

[sornchai]

ข้อ.5 ให้$A=(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})^3และB=(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})^3$ แล้ว A-B มีค่าเท่ากับข้อใด

โจทย์ให้ A+B = 4 มา แล้วถามหา A-B เราเลยต้องเอาเรื่องกำลังสองสมบูรณ์มาใช้
$(A - B)^2=A^2-2AB+B^2 หรือ =A^2+2AB+B^2-4AB$
$(A-B)^2 = (A+B)^2-4AB$
$(A-B)=\sqrt{(A+B)^2-4AB} $ เรารู้ว่า A+B = 4 แต่ยังไม่รู้ AB มีค่าเท่าไรจะหาได้จาก


$AB=(\sqrt{x+1} +\sqrt{x}) (\sqrt{x+1} +\sqrt{x}) (\sqrt{x+1} +\sqrt{x}) (\sqrt{x+1} -\sqrt{x}) (\sqrt{x+1} -\sqrt{x}) (\sqrt{x+1} -\sqrt{x}) $
$AB=(\sqrt{x+1} +\sqrt{x})(\sqrt{x+1} -\sqrt{x}) (\sqrt{x+1} +\sqrt{x})(\sqrt{x+1} -\sqrt{x}) (\sqrt{x+1} +\sqrt{x})(\sqrt{x+1} -\sqrt{x}) $
$AB=((\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{x})^2) ((\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{x})^2)((\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{x})^2)$
$AB=(x+1-x)(x+1-x)(x+1-x)$
$AB=1$ แล้วเอาไปแทนค่าสมการข้างบนจะได้
$(A-B)=\sqrt{4^2-4} $
$(A-B)=\sqrt{12} $ คือคำตอบ
ถูกหรือเปล่าครับช่วยแนะนำด้วย

[nongtum]

ใช่แล้วครับ ส่วนตอนหา $AB$ ทำได้สั้นๆแบบนี้ครับ:
$AB=(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})^3(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})^3
=[(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})]^3
=(x+1-x)^3=1$

[sornchai]

ขอบคุณครับที่ช่วยแนะนำวิธีสั้นๆของผมโบราณไปหน่อย นั่งพิมพ์ตั้งนาน ใช้โปรแกรม LATEX ยังไม่เก่ง

ช่วยเฉลยข้อ 4 ด้วยครับ เลขยกกำลังติดลบแถมเป็นเศษส่วนด้วย ผมไม่คล่องเลยงงมาก

[nongtum]

คำแนะนำ:
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ เมื่อ ($a\ne0$)
$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$ เมื่อ ($n\ne0$)

ลองทดเองก่อนกดนะครับ

4. $1+(2^{1/2}-1)^{1/2}(2^{1/2}+1)^{-1/2}
=1+\sqrt{\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}}
=1+\sqrt{(\sqrt2-1)^2}=1+\sqrt2-1=\sqrt2$

[sornchai]

ขอบคุณมากครับ ผมทำได้มาถึงแค่ขั้นตอนที่สอง พึ่งรู้ว่าต้องเอารู้ท2 - 1 คูณทั้งเศษและส่วน

ช่วยเฉลยข้อ 7 อีกข้อนะครับ

[nongtum]

คุณ bell18 เฉลยข้อ 7 ไปแล้วครับ ลองเปิดหน้าที่สองกระทู้นี้ละกัน

[sornchai]

ผมอ่านแล้วครับแต่ยังไม่เข้าใจทำไม $\frac{A}{2} +C=A+B \:$ช่วยเฉลยให้ละเอียดกว่านี้ได้เปล่าครับแบบว่าผมพื้นฐานไม่ค่อยแน่น

เข้าใจแล้วครับผมดูตั้งหลายรอบ

ช่วยเฉลยข้อ 8 ต่อนะครับ
คือว่าผมทำไม่ได้เลยครับแต่อยากรู้ว่าเขาทำยังไง คงไม่เบื่อก่อนนะครับ หวังว่าสักวันคงเก่งมั่ง

[nongtum]

ข้อ 8 คือการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรธรรมดาๆครับ แนะให้ว่าให้แก้หา y (ทำไม?)
ลองทำมาดูนะครับ แล้วจะช่วยดูให้ว่าผิดหรือสามารถปรับปรุงตรงไหนได้บ้าง

[sornchai]

ยากจังผมขอเวลาหน่อยนะครับ

[sornchai]

$ax\not= bc$ ถ้า x และ y สอดคล้องกับสมการ ax+by = p และ cx+dy =q แล้ว (ad-bc)y มีค่าเท่ากับข้อใด
จากสมการ ax+by = p จะได้ y = $\frac{p-ax}{b}$
และจากสมการ cx+dy = q จะได้ y = $\frac{q-cx}{d}$
ฉนั้นจะได้ $\frac{p-ax}{b}$ = $\frac{q-cx}{d}$ = y โอ้ย...มั่วผมทำไม่เป็นครับช่วยบอกหน่อย....