Calculus minimarathon

[Switchgear]

ผมขอเพิ่มโจทย์ให้ซักข้อ

$11.$ จงหาผลลัพธ์ของ $\int_0^1 v^{xv}dv$


ผมเองก็ไม่รู้ว่ามันยากหรือง่าย แต่มีคำตอบอยู่ในมือ (ไม่ได้มั่ว!)

[Timestopper_STG]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

ผมขอเพิ่มโจทย์ให้ซักข้อ

$11.$ จงหาผลลัพธ์ของ $\int_0^1 v^{xv}dv$

At first we observe that $\displaystyle{v^{xv}=e^{xv\ln v}}$. Then replace $\displaystyle{v^{xv}}$ by that.

And we also know that $\displaystyle{e^{xv\ln v}=\sum_{n=0}^\infty x^n\frac{v^n(\ln v)^n}{n!}}$.

So let consider $\displaystyle{\int_0^1\frac{v^n(\ln v)^n}{n!}dv}$ with by parts n times.

We gonna get $\displaystyle{\int_0^1 x^n\frac{v^n(\ln v)^n}{n!}dv=-\frac{1}{x}\left(-\frac{x}{n+1}\right)^{(n+1)}}$.

Finally my result is $\displaystyle{\int_0^1 v^{xv}dv=\int_0^1\left[\sum_{n=0}^\infty x^n\frac{v^n(\ln v)^n}{n!}\right]dv=-\frac{1}{x}\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{x}{n}\right)^n}$.

[Switchgear]

ยอดเยี่ยมมากครับน้อง Timestopper

[Switchgear]

มีให้ลองเพิ่มอีกข้อ ... คิดว่าหินไปหน่อย แต่โพสต์ไว้เผื่อมีใครคิดออก

$12.$ จงพิสูจน์ว่า $\int_0^{\pi} (1-\sin\alpha \cos\theta)^n d\theta = (\cos\alpha)^{2n+1} \int_0^{\pi} \frac{d\theta}{(1-\sin\alpha \cos\theta)^{n+1}}$

.

[RedfoX]

แนวคิดคือ ต้องเปลี่ยน
\[
(1 - \sin \alpha \cos \theta )
\]
ใช่ปะ