marathon:ม.ปลาย

[-InnoXenT-]

Show that

$$4\arctan{\frac{1}{5}} - \arctan{\frac{1}{239}} = \frac{\pi}{4}$$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

Show that

$$4\arctan{\frac{1}{5}} - \arctan{\frac{1}{239}} = \frac{\pi}{4}$$

เหมือนกับผมเเทนค่าเลยอ่ะครับ

Child_Soln

สมมุติให้ $\arctan{\frac{1}{5}}=\alpha ,\arctan{\frac{1}{239}}=\beta \Rightarrow \tan{\alpha}=\frac{1}{5},\tan{\beta}=\frac{1}{239}$
ดังนั้น จึงต้องการพิสูจน์ว่า $4\alpha-\beta=\frac{\pi}{4}$
จะได้ว่า $$\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}=\frac{5}{12}$$
$$\tan{4\alpha}=\frac{2\tan{2\alpha}}{1-\tan^2{2\alpha}}=\frac{120}{119}$$
$$\tan({4\alpha}-\beta)=\frac{\tan{4\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{4\alpha}\tan{\beta}}=1$$
$$4\alpha-\beta=\frac{\pi}{4}$$

ได้ป่าวครับ

[~ArT_Ty~]

เอ พิมพ์ผิดตรงไหนหรือเปล่าครับ

[จูกัดเหลียง]

ขอบคุณที่ช่วยดูให้นะครับ
ว่าเเต่ ได้ป่ะครับ

[-InnoXenT-]

ความจริง ผมกะจะให้ใช้จำนวนเชิงซ้อน แต่ผมลืมไป ว่าทำแบบนี้ก็ได้เหมือนกัน

Express $\cos{n\theta}$ in the form of cosine function

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

Express $\cos{n\theta}$ in the form of cosine function

คืออะไร เหรอครับ
หรือว่าเป็นโจทย์ใหม่

[-InnoXenT-]

โจทย์ใหม่ครับ ^^

แปลไทยว่า จงเขียน $\cos{n\theta}$ ในรูปของ $\cos$

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

โจทย์ใหม่ครับ ^^

แปลไทยว่า จงเขียน $\cos{n\theta}$ ในรูปของ $\cos$

Hint

ลองใช้ De'Movire กับ Binomial ครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

โจทย์ใหม่ครับ ^^

แปลไทยว่า จงเขียน $\cos{n\theta}$ ในรูปของ $\cos$

ใช่เเบบนี้หรือเปล่าครับ $$\cos{n\theta}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\,\frac{n}{2} \right\rfloor} \binom{n}{2k}(\cos\theta)^2 ((\cos\theta)^2-1)^k $$
ผมเอามาจากเว็บ
ยังไงก็ช่วยพิสูจน์ให้หน่อยนะครับ ทำไม่เป็น

[Persister]

ยากทุกข้อเลยอะ T^T

[-InnoXenT-]

$$\cos{n\theta}+i\sin{n\theta} = (\cos{\theta}+i\sin{\theta})^n$$

$$= \binom{n}{0}\cos^n{\theta} + \binom{n}{1}\cos^{n-1}{\theta}(i\sin{\theta})+\binom{n}{2}\cos^{n-2}{\theta}(i\sin{\theta})^2+...+\binom{n}{n-1}\cos{\theta}(i\sin{\theta})^{n-1}+\binom{n}{n}(i\sin{\theta})^n$$

เทียบส่วนจริง กับ ส่วนจริง ก็จะได้คำตอบตามนั้นครับ

$$\cos{n\theta} = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\, \frac{n}{2}\right\rfloor } (-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}{\theta}(1-\cos^2{\theta})^{k}$$

[จูกัดเหลียง]

ให้ $x,y\in \mathbb{R}$ จงหา $(x,y)$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$$x^2y^2+6x^2+2y^2+8xy+10=4x^2y+2xy^2+12x+8y$$
ปล.ถ้าง่ายไปก็ ขออภัยมา ณ โอกาสนี้ครับ

[Suwiwat B]

$x^2y^2+6x^2+2y^2+8xy+10=4x^2y+2xy^2+12x+8y$
$x^2y^2-4x^2y+4x^2+2x^2-2xy^2+8xy-8x-4x+2y^2-8y+8+2=0$
$x^2 (y^2 - 4y + 4) - 2x(y^2 - 4y + 4) + 2(y^2 - 4y + 4) + 2x^2 - 4x + 2 = 0$
$(y-2)^2 (x^2 - 2x + 2) + 2(x-1)^2 = 0$
แต่ $x^2 - 2x + 2 \not= 0$
ดังนั้น $y = 2 , x = 1$
$(x,y) = (1,2)$

[PP_nine]

อาจารย์ที่ รร เห็นผมชอบเลขเลยเอาโจทย์นี้มาให้ทำ

จงหารากจริงจากสมการ $3^x=2^{x+1}+1$

ถ้าถามรากจำนวนเต็มจะไม่ยากเลย แต่นี่เล่นจำนวนจริงคงพิสูจน์บางอย่างได้ยาก

[Amankris]

#494
$f(x)=3^x-2^{x+1}-1$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $(1,\infty)$