marathon:ม.ปลาย

[~ArT_Ty~]

ข้อต่อไป ให้หา $a,b,c,d$ ที่เป็นจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกับ

$$2a+3b+5c+7d=11a+7b+5c+4d=162$$

[nongtum]

#526
จะแสดงภายใต้สมมติฐานว่าจำนวนเฉพาะที่ต้องการคือจำนวนเฉพาะบวกนะครับ

จากโจทย์ พิจารณาสมการคู่แรก จะได้ $d=3a+\frac43b$ จาก (4,3)=1 และ $b$ เป็นจำนวนเฉพาะ ทำให้ $b=3$
เนื่องจาก $7d$ ต้องไม่เกิน 162 จะได้ว่า $d$ เป็นจำนวนเฉพาะ(บวก)ที่ไม่เกิน 19
และจาก $a=(d-4)/3$ เป็นจำนวนเฉพาะ แทน $d=2,3,5,7,11,13,17,19$ จะพบเพียง $(a,d)=(3,13),(5,19)$
แต่มีเพียงคู่อันดับหลังเท่านั้นที่เมื่อแทนค่าแล้วทำให้ $c$ เป็นจำนวนเต็ม เราจะได้ในที่สุดว่า $c=2$
ทำให้ $a=5,b=3,c=2,d=19$ เป็นคำตอบ(ที่เป็นบวก)ชุดเดียวที่เป็นไปได้

ไหนๆก็ไหนๆ ลองคอมบินาทอริกส์ในกระทู้ม.ปลายสักข้อละกัน หลายคนคงรู้หรือเคยทำแล้วละมั้ง

จงแสดงหรือให้เหตุผลโดยการนับว่า ทำไม $$\sum_{k=0}^m \binom{m-k}{r}\binom{n+k}{s}=\binom{m+n+1}{r+s+1}$$ปล. ในที่นี้ เราสนใจเฉพาะกรณีที่การเลือกแต่ละตัวมีความหมายนะครับ

[Onasdi]

$k$ ควรจะเริ่มจาก $-n$ รึเปล่าครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

#526
จะแสดงภายใต้สมมติฐานว่าจำนวนเฉพาะที่ต้องการคือจำนวนเฉพาะบวกนะครับ

จากโจทย์ พิจารณาสมการคู่แรก จะได้ $d=3a+\frac43a$ จาก (4,3)=1 และ $b$ เป็นจำนวนเฉพาะ ทำให้ $b=3$
เนื่องจาก $7d$ ต้องไม่เกิน 162 จะได้ว่า $d$ เป็นจำนวนเฉพาะ(บวก)ที่ไม่เกิน 19
และจาก $a=(d-4)/3$ เป็นจำนวนเฉพาะ แทน $d=2,3,5,7,11,13,17,19$ จะพบเพียง $(a,d)=(3,13),(5,19)$
แต่มีเพียงคู่อันดับหลังเท่านั้นที่เมื่อแทนค่าแล้วทำให้ $c$ เป็นจำนวนเต็ม เราจะได้ในที่สุดว่า $c=2$
ทำให้ $a=5,b=3,c=2,d=19$ เป็นคำตอบ(ที่เป็นบวก)ชุดเดียวที่เป็นไปได้

ไหนๆก็ไหนๆ ลองคอมบินาทอริกส์ในกระทู้ม.ปลายสักข้อละกัน หลายคนคงรู้หรือเคยทำแล้วละมั้ง

จงแสดงหรือให้เหตุผลโดยการนับว่า ทำไม $$\sum_{k=0}^m \binom{m-k}{r}\binom{n+k}{s}=\binom{m+n+1}{r+s+1}$$ปล. ในที่นี้ เราสนใจเฉพาะกรณีที่การเลือกแต่ละตัวมีความหมายนะครับ

จากโจทย์ พิจารณาสมการคู่แรก จะได้ $d=3a+\frac43\color{red}{b}$ จาก (4,3)=1 และ $b$ เป็นจำนวนเฉพาะ ทำให้ $b=3$

key ผิดหรือเปล่าครับ

[nongtum]

#529
ผิดจริงด้วย สงสัยแอบเบลอตอนพิมพ์ ขอบคุณครับ

#528
k เริ่มจากศูนย์จริงๆครับ (ตามหนังสือนะ) แต่ถ้าแสดงว่าอย่างอื่นถูกก็ลองแสดงมาให้ดูได้ครับ (เผื่อ text ผิด)
ย้ำอีกรอบ ว่าเราสนใจเฉพาะกรณีที่สปส.ทวินามแต่ละตัวมีความหมายครับ

[No.Name]

#527

ผมไม่เข้าใจตั้งแต่บรรทัดแรกเลยครับ อยากทราบว่าทำถึงสมมุติ $d=3a+\dfrac{4}{3}b$ หรอครับ

[banker]

$(2a+3b+5c+7d) - (11a+7b+5c+4d) =0$

$d=3a+\dfrac{4}{3}b$

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

#526
จะแสดงภายใต้สมมติฐานว่าจำนวนเฉพาะที่ต้องการคือจำนวนเฉพาะบวกนะครับ

จากโจทย์ พิจารณาสมการคู่แรก จะได้ $d=3a+\frac43b$ จาก (4,3)=1 และ $b$ เป็นจำนวนเฉพาะ ทำให้ $b=3$
เนื่องจาก $7d$ ต้องไม่เกิน 162 จะได้ว่า $d$ เป็นจำนวนเฉพาะ(บวก)ที่ไม่เกิน 19
และจาก $a=(d-4)/3$ เป็นจำนวนเฉพาะ แทน $d=2,3,5,7,11,13,17,19$ จะพบเพียง $(a,d)=(3,13),(5,19)$
แต่มีเพียงคู่อันดับหลังเท่านั้นที่เมื่อแทนค่าแล้วทำให้ $c$ เป็นจำนวนเต็ม เราจะได้ในที่สุดว่า $c=2$
ทำให้ $a=5,b=3,c=2,d=19$ เป็นคำตอบ(ที่เป็นบวก)ชุดเดียวที่เป็นไปได้

ผมคิดว่า ทำเป็น $3a+4 < 23 , a<6$ ดีไหมครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ข้อต่อไป ให้หา $a,b,c,d$ ที่เป็นจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกับ

$$2a+3b+5c+7d=11a+7b+5c+4d=162$$

เอาวิธีคอนกรูเอนซ์แทนถึกดีกว่าๆ

เอาสมการคู่แรกมาจัดรูปได้ $d=3a+\frac{4}{3}b$ ทำให้ $b=3$ เท่านั้น

สมการเดิมจึงจัดรูปเป็นระบบสมการ $2a+5c+7d=153$ และ $11a+5c+4d=141$

ใช้ mod5 เพื่อตัดปัญหาตัว c ได้ $2a+2d\equiv 3 (mod5)$ และ $a-d\equiv 1 (mod5)$

คูณสมการสองด้วยสองแล้วบวกสมการแรกได้ $4a\equiv 5 \equiv 0 (mod5)$ ได้ $a=5$ อีกตัว

แทนสมการเดิมได้ $5c+7d=143$ และ $5c+4d=86$

แก้สมการธรรมดาได้ $c=2$ และ $d=19$

$\therefore (a,b,c,d)=(5,3,2,19)$

เขียนไปเขียนมา เพิ่งนึกได้ว่าอยู่ในกระทู้ ม.ปลาย ใครไม่รู้จัก mod ก็ขอโทษด้วยนะครับ

[PP_nine]

เอาอีกโซลูชันที่พิจารณาคำตอบเป็นลบมั่งๆ

อย่างที่รู้ว่า $d=3a+\frac{4}{3}b$ จึงได้ว่า $b=3,-3$

case i : b=3

ได้ $(a,b,c,d)=(5,3,2,19)$ เป็นคำตอบหนึ่งแล้ว จากที่ $a\equiv 0 (mod5)$ และ a เป็นบวก

ถ้า $a=-5$ ได้ระบบสมการ $5c+7d=163$ และ $5c+4d=196$ แก้สมการได้ $c=48$ ซึ่งไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

ฉะนั้นกรณีที่ $b=3$ ก็ไม่มีคำตอบเหลือแล้ว

case ii : b=-3

แทนกลับได้ระบบสมการ $2a+5c+7d=171$ และ $11a+5c+4d=183$ และใช้ mod5 เหมือนเดิมได้

$2a+2d\equiv 1 (mod5)$ และ $a-d\equiv 3 (mod5)$ จัดรูปได้ $4d\equiv 5 \equiv 0 (mod5)$ ได้ $d=5,-5$

ถ้า $d=5$ แทนกลับแก้สมการสองตัวแปรได้ $c=26$ ซึ่งไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

ถ้า $d=-5$ แทนกลับได้ a,c ไม่เป็นจำนวนเต็ม

$\therefore (a,b,c,d)=(5,3,2,19)$ คำตอบเดียว

[Keehlzver]

คุณ Poper ครับ ในความคิดเห็นที่ 9 ต้องเป็น $\sum_{k=1}^{n-1} (2+2^{k})=2(n-1)+\frac{2(2^n-1)}{2-1}$ ไม่ใช่เหรอครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

คุณ Poper ครับ ในความคิดเห็นที่ 9 ต้องเป็น $\sum_{k=1}^{n-1} (2+2^{k})=2(n-1)+\frac{2(2^n-1)}{2-1}$ ไม่ใช่เหรอครับ

ครับผม แก้แล้วนะครับ

[PP_nine]

1. จงพิสูจน์ว่า ฟังก์ชันพหุนาม $f(x)=x^{101}+x^{51}+x+1$ ไม่มีค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์ (ทุนคิง 53)

2. ให้ $k,x,y \in \mathbb{R}$ ทำให้ $A=\bmatrix{2548 & x \\ y & -543} $ เป็น singular matrix โดยที่ $A^5=kA$ จงหาค่า $k$ (ทุนคิง 49)

3. หา $x,y \in \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่ง $tan^2(x+y)+cot^2(x+y)=1-2x-x^2$ (ทุนคิง 49)

4. ถ้า $tan(\alpha),tan(\beta)$ เป็นรากสมการ $x^2+\pi x+\sqrt{2}=0$ แล้ว จงหาค่าของ $$sin^2(\alpha+\beta)+\pi sin(\alpha+\beta)cos(\alpha+\beta)+\sqrt{2}cos^2(\alpha+\beta)$$ (ทุนคิง 45)

5. กำหนด $z_1,z_2,z_3 \in \mathbb{C}$ ซึ่ง $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ หาค่าสูงสุดของ k ซึ่งสอดคล้องกับ $|z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1| \ge k|z_1+z_2+z_3|$ (ทุนคิง 44)

6. จงพิสูจน์ (โดยไม่ใช้ induction) ว่า $1 \cdot 1!+2 \cdot 2!+3 \cdot 3!+...+n \cdot n!=(n+1)!-1$

7. จงแก้สมการ $\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=\sqrt{1+x^2}-1$ ในระบบจำนวนจริง

[lek2554]

จองข้อง่ายสุดก่อน...ข้อ 1.

$f(x)=x^{101}+x^{51}+x+1$

$f\,'(x)=101x^{100}+51x^{50}+1>0,\forall x\in D_f$

$\therefore f $ is monotonic increasing function

ดังนั้น $f$ ไม่มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพทธ์

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

6. จงพิสูจน์ (โดยไม่ใช้ induction) ว่า $1 \cdot 1!+2 \cdot 2!+3 \cdot 3!+...+n \cdot n!=(n+1)!-1$

พิจารณา $a_n = n\cdot n! = n\cdot n! + n! - n!$

$n\cdot n!= n!(n+1) -n!$

$n\cdot n! = (n+1)! -n!$


ดังนั้น $S_n = a_1+a_2+...+a_n = [2!-1!]+[3!-2!]+...+[(n+1)!-n!]$

$S_n = (n+1)! - 1 $