เตรียมสอบ สพฐ. กันครับ

[cardinopolynomial]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

อยากได้วิธีทำครับ

ลองกระจายดูเเล้วใช้ว่ามีค่าน้อยสุดเมื่อมีค่าx=0

[OMG]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

ถ่ัวต้ม


สามเหลี่ยม ABC มี $\hat A = 60^{\circ} $, AB>AC ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ
แล ะH เป็นจุดตัดของเส้นล่วนสูง BE และ CF จุด M N อยู่บน BH และ HF ตามลำดับ โดยที่ BM=CN
จงหาค่าของ $\frac{MH+NH}{OH}$

ตอบ $\sqrt{3}$ ไหมครับ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ cardinopolynomial

ลองกระจายดูเเล้วใช้ว่ามีค่าน้อยสุดเมื่อมีค่าx=0

ยังไงหรอครับ พิสูจน์ให้เป็นแนวทางทีครับ


ปล. ใกล้จะเข้าค่าย สอวน. ค่ายสองแล้วนะครับ ผมตื่นเต้นจริงๆ555+

รอบนี้คัด 30 จาก 97 คน

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

เห็นหนังสือเล่มหนึ่งเฉลยว่า $\dfrac{m}{n}=\dfrac{109}{997}$
แต่ผมหา $\frac{m}{n}$ ที่ให้ค่า m+n ได้น้อยกว่านั้นอยู่

$\dfrac{108}{997} < \dfrac{m}{n} < \dfrac{110}{999} $

$9\dfrac{9}{110} < \dfrac{n}{m} < 9\dfrac{25}{108} $

$\dfrac{9}{110} < \dfrac{n}{m}-9 < \dfrac{25}{108} $

$4\dfrac{8}{25} < \dfrac{1}{\frac{n}{m}-9} = \dfrac{m}{n-9m} = \dfrac{x}{y} < 12\dfrac{2}{9} $

$m \ge 5$
ต้องการให้ m+n = 10(m)+(n-9m) = 10x+y มีค่าน้อยที่สุด

คาดว่า $\dfrac{1}{\frac{n}{m}-9} = 5$ เป็นค่าที่ 10x+y มีค่าน้อยที่สุดคือ = 51

พิสูจน์ $x = m \ge 5$
$y \ge 1$ (ถ้า y = 0, หาค่าไม่ได้, ถ้า y < 0, $\dfrac{x}{y} < 0 < 4\dfrac{8}{25}$)
$10x+y \ge 51$

m+n = 10x+y = 51 เป็นค่าที่น้อยที่สุด

Note: $\dfrac{m}{n}=\dfrac{5}{46}$

สีแดงมายังไงหรอครับ

[polsk133]

อ่อผมไม่แน่ใจนะแต่คิดว่าต้องหา หรม ของ(x+4)(x+5)(x+9)กับ(x-4)(x-5)(x-9)

แต่ผมหาไม่เป็น รบกวนทีครับ

[RT OSK]

$\frac{108}{997} < \frac{m}{n} < \frac{110}{999} $

จงหา$m+n$ น้อยสุด เมื่อ $m,n$ เป็นจำนวนเต็ม

ดู #17
http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=7040&page=2

หรือ #196
http://www.mathcenter.net/forum/show...t=6997&page=14

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Night Baron

2.จำนวนงานที่ทำใน1ชม.แปรผันตรงกับค่าจ้างที่ได้รับใน1ชม.และแปรผกผันกับราที่สองของจำนวนชม.ที่ทำใน1วัน งานชิ้นหนึ่งทำวันละ9ชม.และได้ค่าจ้างชั่วโมงละ2บาทงานเสร็จภายใน6วันจงหาว่าถ้าทำงานชิ้นเดียวกันนี้วันละ16ชม.ได้รับค่าจ้างชม.ละ4.50 บาทงานจะเสร็จภายในกี่วัน

$a = \ $จำนวนงานที่ทำใน1ชม

$b = \ $ค่าจ้างที่ได้รับใน1ชม

$c = \ $จำนวนชม.ที่ทำใน1วัน

$a = k_1 \cdot b \cdot k_2 \cdot \frac{1}{\sqrt{c} }$

งานชิ้นหนึ่งทำวันละ9ชม.และได้ค่าจ้างชั่วโมงละ2บาทงานเสร็จภายใน6วัน

$ \frac{1}{9 \cdot 6} = k_1 \cdot 2 \cdot k_2 \cdot \frac{1}{\sqrt{9} }$

$ k_1 k_2 = \frac{1}{36 } $

ถ้าทำงานชิ้นเดียวกันนี้วันละ16ชม.ได้รับค่าจ้างชม.ละ4.50 บาทงานจะเสร็จภายใน m วัน

$\frac{1}{16m} = \frac{1}{36 } \cdot 4.50 \frac{1}{\sqrt{16} }$

$m = 2$

[cardinopolynomial]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RT OSK

$\frac{108}{997} < \frac{m}{n} < \frac{110}{999} $

จงหา$m+n$ น้อยสุด เมื่อ $m,n$ เป็นจำนวนเต็ม

ดู #17
http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=7040&page=2

หรือ #196
http://www.mathcenter.net/forum/show...t=6997&page=14

ขอบคุณสำหรับข้อเเนะนำครับ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

สีแดงมายังไงหรอครับ

คือ y ต้องเป็นจำนวนเ็ต็ม (เพราะกำหนดให้ y = n-9m)
แล้วจะพิสูจน์ว่า y มากกว่าเท่ากับ 1 ก็สมมติ y = 0, y < 0 แล้วพิสูจน์ว่ามันเท็จ

พิสูจน์ y = 0 ก็ง่ายๆ พิสูจน์กรณี y < 0 เป็นเท็จ ก็สมมติ y < 0 ก็เนื่องจาก x > 0 แต่ y < 0 ก็ได้ว่า $\dfrac{x}{y}$ น้อยกว่า 0 ซึ่งขัดแย้งกับ $4\dfrac{8}{25}$

บรรทัดต่อมา
ก็ได้ว่า $x \ge 5, y \ge 1, 10x+y \ge 51$

เหมือนว่ามีเขียนพิสูจน์ผิดนิดหน่อยตรง $x \ge 5$ อยู่ครับ
แต่ให้เข้าใจเลยว่าถ้า $\frac{x}{y} \ge 4\dfrac{8}{25}$, x,y เป็นจำนวนเต็มได้ว่า x+10y มีค่าน้อยสุดเป็น 51 ครับ

[RT OSK]

$(x+4)(x+5)(x+9)p(x) - (x-4)(x-5)(x-9)q(x) = m$

$p(x),q(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม จงหา $m$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด

ดู #107
http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=6997&page=8

อีกวิธี

ให้ $p(x) = a + ?x + ?x^2 + ?x^3 + ...$
$q(x) = b + ?x + ?x^2 + ?x^3 + ...$

ถ้า $x = 0$
จะได้ $180a - 180b = m$
ให้ $a - b = 1$
ได้ $m = 180$

มั่วๆ พิสูจน์? แต่น่าจะถูก

[polsk133]

ยกตัวอย่างค้านครับ
$A(x) = (x+4)(x+5)(x+9)p(x) - (x-4)(x-5)(x-9)q(x) = m$

$A(2) = $(6x7x11)$p(x) + $(2x3x7)$q(x) =m$

จาก $gcd($6x7x11,2x3x7$) = 42$

ดังนั้นจึงมี $x,y$ ที่ทำให้ $(6x7x11)x+(2x3x7)y = 42$

ให้ $p(x),q(x)$ เป็นพหุนามที่ $p(2)=x$ และ $q(2)=y$

จึงได้ $m=42$

ปล.ในลิงค์ #107 กระจายได้พจน์ไม่ครบ

[RT OSK]

เข้าใจแล้วครับว่าทำไมต้องหา ห.ร.ม.

$\div 2$ ได้แน่ๆ

$\div 3$ ได้ ไม่ว่าจะเป็น $3n, 3n +1$ หรือ $3n +2$

$(\div 4)$ ถ้า $x = 4n + 1$ ไม่ได้

$\div 5$ ก็ไม่ได้ ถ้า $x = 5n + 2$

มากกว่านี้ ก็ไม่ได้แล้ว
เพราะ เลขเรียงกัน ไม่ครบ และห่างกันแค่ 5

$\therefore $ ห.ร.ม. $ = 2 \times 3 = 6$

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RT OSK

เข้าใจแล้วครับว่าทำไมต้องหา ห.ร.ม.

$\div 2$ ได้แน่ๆ

$\div 3$ ได้ ไม่ว่าจะเป็น $3n, 3n +1$ หรือ $3n +2$

$(\div 4)$ ถ้า $x = 4n + 1$ ไม่ได้ คิดว่าน่าจะเป็น $4n+2$ นะครับ

$\div 5$ ก็ไม่ได้ ถ้า $x = 5n + 2$

มากกว่านี้ ก็ไม่ได้แล้ว
เพราะ เลขเรียงกัน ไม่ครบ และห่างกันแค่ 5

$\therefore $ ห.ร.ม. $ = 2 \times 3 = 6$

มาเพิ่มครับ เพื่อให้แน่ใจว่ามีจำนวนนั้นอยู่จริง แต่การนั้นก็น่าจะเพียงพอแล้วแหละครับ
ผมเลขเช็ค mod 9 เข้าไปด้วย
เลยได้เลขที่ทำได้จริง (อาจมีหลายเลข) คือ 42 ครับ แล้วจะได้ mน้อยสุดคือ 6

[BLACK-Dragon]

นอกเรื่องนิดนึงนะครับ

สพฐ. สอบวันไหนครับ

[polsk133]

วันอาทิตย์นี้ละครับ