ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ 2552

[banker]

9.5 เท่าของจำนวนที่หนึ่งเท่ากับ 33.25 ดังนั้นจำนวนที่หนึ่งเท่ากับ 3.5 ...(1)

จำนวนที่หนึ่งน้อยกว่าจำนวนที่ 4 อยู่ 8 ดังนั้นจำนวนที่ 4 เท่ากับ 3.5 + 8 = 11.5 ...(4)

จำนวนที่สามมากกว่าจำนวนที่ 4 อยู่ 7.5 ดังนั้นจำนวนที่สาม เท่ากับ 11.5 + 7.5 = 19 ...(3)

จำนวนที่สองบวกกับจำนวนที่สามเท่ากับ 27 ดังนั้นจำนวนที่สองเท่ากับ 27 - 19 = 8 ....(2)

สี่จำนวนรวมำันเท่ากับ 3.5 + 11.5 + 19 + 8 = 42

ตอบ ข้อ 1

[banker]

ความหมายของข้อความข้างต้นเขียนได้ดังนี้

$36.25 \times (4\frac{3}{7})^2 - [(\frac{12}{100} \times 3\frac{5}{8} \times 5\frac{7}{9} \times 17.35) + (\frac{14.27}{100} \times763)]$

$710.9438 - [(43.6063)+(108.8801)] = 558.457$

ตัวเลขตรง แต่เครื่องหมายไม่ตรง

ยังไงก็เลือกตอบข้อ 2 ไว้ก่อน



ถึงตรงนี้ ก็เกิดความสงสัยในข้อความ

ค่าของ (2 x 3) แล้วนำมารวมกับ (5% ของ 100) และหักออกจาก c ยกกำลังสอง มีค่าเท่าไร

จะเขียนอย่างไร

[banker]

อนุกรมเรขาคณิตชุดนี้คือ 1.5, 3, 6

1.5 + 3 + 6 = 10.5

1.5 x 3 x 6 = 27

จำนวนมากที่สุดคือ 6

ตอบ ข้อ 1

[banker]

โจทย์ข้อนี้ถ้าเด็กที่ทำโจทย์บ่อยๆ จะมองออกว่า choice คือ $24^2, 25^2, 26^2, 27^2$

จากเงื่อนไขแรก AB = 3(A+B) ลองแทนค่า 27 = 3(2+7) ก็ได้คำตอบแล้ว


ให้จำนวนนั้นคือ AB

เงื่อนไขแรก $10A +B = 3(A+B)$

$7A = 2B$

$63A = 18B$ .....(*)

เงื่อนไขที่สอง $\frac{25}{100} \cdot 180 + 10A + B = 10B +A$

$45 + 9A -9B = 0$

$90 + 18A -18B = 0$

$90 + 18A -63A = 0$

$A = 2, \ \ B =7$

จำนวนนั้นคือ 27 ยกกำลังสองเท่ากับ 729

ตอบ ข้อ 4

[banker]

โจทย์ข้อนี้ก็เหมือนกัน มองออกว่า choices คือ $4^3, 5^3, 6^3, 7^3$

มองไปที่โจทย์ จะเห็นว่า 7 กับ 5 ใช้ไม่ได้ เหลือ 4 กับ 6 ลองแทนค่า

แทนค่า x = 4 $ \ \ \ \frac{1}{4-10} - \frac{1}{4-5} = \frac{1}{4-7} - \frac{1}{4-2} $ สมการไม่เป็นจริง

แทนค่า x = 6 $ \ \ \ \frac{1}{6-10} - \frac{1}{6-5} = \frac{1}{6-7} - \frac{1}{6-2} $

$x = 6 ---> x^3 = 216$


ตอบ ข้อ 3

ข้อนี้ทำแบบมัธยม ใช้สมการก็ได้ ขึ้นอยู่กับว่า ใครถนัดแบบไหน ทำแบบไหนเร็วกว่า เวลามีน้อย

[banker]

ข้อนี้ค่อนข้างยากสำหรับการแสดงวิธีทำแบบประถม

ก่อนอื่นมาทำความเข้าใจเรื่องนี้ก่อน

7 หารด้วย 5 เหลือเศษเท่ากับ 12 หารด้วย 5

ถ้าเราเอา 12 - 7 ก็จะหารด้วย 5 ลงตัว และ 5 เป็นตัวประกอบของผลลัพธ์นั้น


มาถึงโจทย์ ถ้าเราเอา $(x^3+2x^2+x+A) - (x^3+x^2+8)$ จะต้องหารด้วย $x+2$ ลงตัว

นั่นคือ $x^2+x+A-8$ ต้องมี $x+2$ เป็นตัวประกอบ

โดยการแทนค่า $x = -2$ จะได้

$(-2)^2+(-2)+A-8 = 0$

$A = 6$

ตอบ ข้อ 4

[banker]

ข้อนี้เล่นแบบมวยวัด โดยการทดลองแทนค่าด้วยจำนวนเฉพาะ

x = 3, y = 2

ข้อ 1 จริง ข้อ 2 จริง ข้อ 3 ไม่จริง ข้อ 4 ไม่จริง


x = 7, y = 3

ข้อ 1 ไม่จริง ข้อ 2 จริง ข้อ 3 ไม่จริง ข้อ 4 ไม่จริง

.
.
.

ข้อ 2 จึงถูกต้องเสมอ

ตอบ ข้อ 2

[banker]

$4^a = 120^{10}$

$4 = 120^{\frac{10}{a}}$ .... (1)



$5^b = 120^{10}$

$5 = 120^{\frac{10}{b}}$ .... (2)


$6^c = 120^{10}$

$6 = 120^{\frac{10}{c}}$ .... (3)

(1)x(2)x(3) $120^1 = 120^{\frac{10}{a}+\frac{10}{b}+\frac{10}{c}}$

$\frac{10}{a}+\frac{10}{b}+\frac{10}{c} = 1$


$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{10}$

ตอบ ข้อ 2

[banker]

ข้อนี้ไม่น่าจะเป็นระดับประถมแล้ว

$A = \left[\dfrac{3^{3n+1}+3^{2n+1}}{3^{2n+1}+3^{n+1}} \right]^{\frac{1}{n}}$

$ = \left[\dfrac{3(3^{3n} +3^{2n})} {3(3^{2n}+3^n)} \right]^{\frac{1}{n}}$


$ = \left[\dfrac{33^{2n}(3^{n} +1)} {3(3^n(3^n+1)} \right]^{\frac{1}{n}} = (3^n)^{\frac{1}{n}} = 3$


$B = \sqrt[n]{\frac{20}{4^{n+2}+2^{2n+2}}} $

$B = \left[\dfrac{20}{4^{n+2}+2^{2n+2}} \right]^{\frac{1}{n}}$

$B = \left[\dfrac{20}{16\cdot4^n+4 \cdot 4^n} \right]^{\frac{1}{n}}$

$B = (4^{-n})^{\frac{1}{n}} = 4^{-1} = \frac{1}{4}$


$(A+B)^2 = (3+\frac{1}{4})^2 = \frac{169}{16}$

ตอบ ข้อ 1

[banker]

ไล่ไปทีละ operation

$(4\bullet \frac{1}{2}) = 4^2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2 = 8 + 4 -\frac{1}{4} = 11\frac{3}{4}$

$(\frac{3}{5}*5) = (\frac{3}{5} \cdot 5)^2 - 2(\frac{3}{5})^2 \cdot 5 - 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot 5^2 + 5^2 = 9 - \frac{18}{5} -30+25 = 4 - 3\frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

$(4\bullet \frac{1}{2}) + (\frac{3}{5}*5) = 11\frac{3}{4} + \frac{2}{5} = 12 \frac{3}{20}$


ตอบ ข้อ 1

[banker]

give $a = \frac{2b}{3} = 2 c $ $= k$

then $a = k \ \ ----> 3a = 3k$

$2b = 3k \ \ ----> 8b = 12k$

$2c = k \ \ -----> 4c = 2k$

$\sqrt{\dfrac{3a+8b+2c}{a+2b-4c}} = \sqrt{\dfrac{3k+12k+k}{k+3k-2k}} = \sqrt{\dfrac{16k}{2k}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $

ตอบ ข้อ 3

[banker]

$\left[1- \dfrac{(\dfrac{2}{5} \times 1\dfrac{2}{3})}{5+\dfrac{-5}{1-\dfrac{3}{1-\dfrac{1}{4}}}} \right]^2$

$ = \left[ 1 - \dfrac{\dfrac{2}{3}}{5+\dfrac{-5}{1 - 4 }} \right]^2$

$ = \left[1 - \dfrac{\frac{2}{3}}{5+\dfrac{5}{3}} \right]^2$

$ \left[ 1-(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{20}) \right]^2$

$= \left(1- \dfrac{1}{10}\right)^2 = \left(\dfrac{9}{10}\right)^2 = \dfrac{81}{100}$


ตอบ ข้อ 3

[banker]

$4^{2x} = 2^{2x+1} + 8$

$ (2^{2x})^2 -2(2^{2x}) -8 =0$

$[(2^{2x})-4][(2^{2x})+2] =0$

$2^{2x} = 4, -2$

$2^{2x} = 2^2$

$2x =2$

$x =1$

$(x+6)^4 = (1+6)^4 = 7^4 = 2401$

ตอบ ข้อ 2

[banker]

$A = (2.5 \times 437 \div 19)(1\div 23) = (\frac{1092.5}{19 \times 23}) = 2.5$

$y = \dfrac{(\frac{3}{4}A+2A) \times 3.5A}{3A}$

$ = \dfrac{\frac{11A}{4} \times 3.5}{3A} = \dfrac{38.5A}{3 \times 4} = \dfrac{38.5}{12} \times 2.5 = 8.02$

ตอบ ข้อ 4

[banker]

$5\frac{6}{7} + (15\frac{13}{18} -12\frac{5}{6}) = \frac{41}{7} - (\frac{283}{18} - \frac{77}{6}) = \frac{41}{7} - \frac{52}{18} = \frac{374}{7 \times 18}$

ให้จำนวนนั้นคือ $x$ จะได้

$x \times \frac{374}{7 \times 18} = \frac{4}{3}$

$x = \frac{84}{187}$

ตอบ ข้อ 4