math กสพท

[กิตติ]

นั่นนะสิ....ทำไมไม่แปลง$7^2-2^2 =45$ ไปเป็น $7^2 \equiv 2^2 \pmod{45} $
อย่างที่คุณOnasdiทำให้ดู....สั้นกว่าที่ผมทำตั้งเยอะ
ทีข้ออื่นล่ะผมเอามาใช้กันจัง....ผมว่ากระทู้นี้มันส์ดี ได้แง่มุมในการแก้โจทย์หลากหลายดี
ต้องขอบคุณเจ้าของโจทย์และขอบคุณลุงBankerที่ช่วยจัดสรรให้ดูง่ายขึ้น
เชิญทำกันต่อเถอะครับ....แชร์ความรู้กัน

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

เห็นข้อสอบแล้ว ผมไม่แน่ใจว่าเขาจะคัดไปเรียนแพทย์หรือเข้าสอบโอลิมปิกกันแน่....
ถ้าคัดไปเรียนแพทย์ ผมคงไม่มีโอกาสได้ไปเรียนแน่นอน
แต่ละข้อกินแรงมากเกิน ผมว่าแค่ข้อสอบพลิกแพลงก็น่าจะโอเคสำหรับคัดคนไปเรียนแพทย์
โหดเกินพิกัดครับ...
ขอบคุณคุณNooNuiiที่ช่วยดูให้ครับ หลับดึกเหมือนกัน หรือว่าอยู่คนละฟากเวลาของซีกโลกครับ
ผมสังเกตว่าชอบเข้ามาตอนดึกๆ

ผมว่าไม่ถึงขนาดนั้นมั้งครับ ไม่งั้นจะมีผลงานในอดีตที่งดงามได้อย่างไร อาจเป็นเพราะคุณกิตติร้างลาสนามมานานเลยรู้สึกว่ามันโหด ลองศึกษากระทู้ใน MC นี้สักปี อาจจะรู้สึกว่าทำอะไรก็ง่ายขึ้นก็ได้ (อันนี้ถามท่าน สว.ได้) อย่างที่ผมได้บอกไว้ในความเห็นช่วงแรก โจทย์ส่วนใหญ่เป็นโจทย์แข่งขันในรายการต่างๆครับ ซึ่งมีคนเคยโพสต์ถามกันไว้แล้ว ถ้าขยันดูกระทู้เก่าก็จะเห็นถึงวิธีต่างๆ และแนวคิดที่ได้แสดงไว้ และที่ว่ากินแรงอาจปลิวเป็นลมก็ได้ (ล้อเล่นครับ+555) สำหรับข้อสอบตัวจริงนั้นผมว่ามีไม่น้อยเล่นเอาลิ้นห้อยเหมือนกัน ปัญหาอยู่ที่ว่า seen หรือ unseen มันช่วยได้เยอะครับ ผมถึงได้บอกแต่แรกว่ามีโจทย์ก็ทำเอาเสียวเอามันส์ได้ครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ผมว่าไม่ถึงขนาดนั้นมั้งครับ ไม่งั้นจะมีผลงานในอดีตที่งดงามได้อย่างไร อาจเป็นเพราะคุณกิตติร้างลาสนามมานานเลยรู้สึกว่ามันโหด ลองศึกษากระทู้ใน MC นี้สักปี อาจจะรู้สึกว่าทำอะไรก็ง่ายขึ้นก็ได้ (อันนี้ถามท่าน สว.ได้) อย่างที่ผมได้บอกไว้ในความเห็นช่วงแรก โจทย์ส่วนใหญ่เป็นโจทย์แข่งขันในรายการต่างๆครับ ซึ่งมีคนเคยโพสต์ถามกันไว้แล้ว ถ้าขยันดูกระทู้เก่าก็จะเห็นถึงวิธีต่างๆ และแนวคิดที่ได้แสดงไว้ และที่ว่ากินแรงอาจปลิวเป็นลมก็ได้ (ล้อเล่นครับ+555) สำหรับข้อสอบตัวจริงนั้นผมว่ามีไม่น้อยเล่นเอาลิ้นห้อยเหมือนกัน ปัญหาอยู่ที่ว่า seen หรือ unseen มันช่วยได้เยอะครับ ผมถึงได้บอกแต่แรกว่ามีโจทย์ก็ทำเอาเสียวเอามันส์ได้ครับ

มาตอบครับ ว่า

ผมเข้ามาที่นี่ก็หลายปีแล้ว ยังไม่รู้สึกว่าเก่งขึ้นเลย

เข้ามาทีไร ก็มีโจทย์ที่ทำไม่ได้อีกแยะ

ไม่รู้ว่าเมื่อไรจะเก่งแบบท่านหยินหยาง เอาสักครึ่งก็ยังดี

[mebius]

เท่าที่ผมตามอ่านกระทู้เก่าๆมา
ส่วนใหญ่คนที่ทำโจทย์ให้ดูอย่างละเอียดก็มี
คุณอาbanker , คุณน้ากิตติ , คุณพี่ poper , คุณพี่ onasdi
คุณพี่กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย , คุณ noounuii , คุณพี่gon
ผมได้ประโยชน์มากครับ ขอขอบคุณมากครับ

[กิตติ]

ผู้น้อยขอน้อมรับคำชี้แนะจากซือแป๋หยินหยางและขอน้อมรับบทฝึกจากลุงBanker
มาทำข้อที่ผมทำได้ต่อแล้วกัน



$A+B+C = 180^0$
จากLaw of Sine $\frac{\ sin A}{a} =\frac{\ sin B}{b} =\frac{\ sin C}{c} $

ผมแอบใช้ความรู้จากบทที่2ของHigher Algebra ของ HALL

$\frac{\ sin A+\ sin B}{a+b} =\frac{\ sin C}{c} \rightarrow \frac{a+b}{c}= \frac{\ sin A+\ sin B}{\ sin C}$
$k=\frac{a+b}{c} = \frac{\ sin A+\ sin B}{\ sin C}$
$k\ sin C= \ sin A+\ sin B = 2sin(\frac{A+B}{2} )cos(\frac{A-B}{2})$
$ksin(180-(A+B))= ksin(A+B) =2sin(\frac{A+B}{2} )cos(\frac{A-B}{2})$
$k(2sin(\frac{A+B}{2} )cos(\frac{A+B}{2} ))= 2sin(\frac{A+B}{2} )cos(\frac{A-B}{2})$

$k=\dfrac{cos(\frac{A-B}{2})}{cos(\frac{A+B}{2} )} $

$cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2} =kcot\frac{C}{2} $

$\dfrac{cos\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}+sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}{sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}} = kcot(90^0-(\frac{A+B}{2}) ) $

$\dfrac{2sin(\frac{A+B}{2})}{cos(\frac{A-B}{2})-cos(\frac{A+B}{2})} =ktan(\frac{A+B}{2}) $

$k=\dfrac{2cos(\frac{A+B}{2})}{cos(\frac{A-B}{2})-cos(\frac{A+B}{2})} $

$k=\dfrac{2}{\frac{cos(\frac{A-B}{2})}{cos(\frac{A+B}{2} )} -1} $

$k=\dfrac{2}{k -1} \ \rightarrow \ k^2-k-2=0$
$k=2 , -1$....โจทย์ถามค่า$k$ที่เป็นจำนวนบวก

ตอบ $k$ เท่ากับ $2$

[กิตติ]

ที่ทำละเอียดเพราะว่าเดี๋ยวผิดตรงไหนจะได้ไล่ได้และมีคนช่วยดูให้ อีกอย่างผมขี้ลืม
ทำละเอียดเกิน เวปไซด์น่าจะต้องเสียค่าใช้จ่ายเพิ่ม....เวลาโหลดใช้ทราฟฟิกเพิ่ม
ข้อต่อไป พอดีไปนั่งรอลูกเรียนคุมองตอนเย็นเลยโซ้ยไปได้อีก2ข้อ ไม่รู้ว่าคิดตรงไหนผิด ช่วยดูแล้วกัน



$A+B+C = 180^0$
ข้อนี้ทำได้สองแบบ แบบแรกไล่จากพจน์บวกซ้ายมือแปลงเป็นผลคูณ กับวิธีที่สองคือแปลงก้อนผลคูณให้กลับเป็นผลบวก
ผมทำแบบที่สองก่อนแล้วกัน
$4cosAcosBcosC=(2cosAcosB)\times 2cosC =[cos(A+B)+cos(A-B)]\times 2cosC$
$=2[cos(A+B)+cos(A-B)]\times cos(180^0-(A+B))$
$=2[cos(A+B)+cos(A-B)]\times (-cos(A+B))$
$= -2cos^2(A+B)-2cos(A+B)cos(A-B)$
$= -(2cos^2(A+B)-1)-1-[cos(2A)+cos(2B)]$
$= -cos(2[A+B])-1-[cos(2A)+cos(2B)]$
$= -cos(2[180^0-C])-1-[cos(2A)+cos(2B)]$
$= -cos(360^0-2C)-1-[cos(2A)+cos(2B)]$
$= -cos(2A)-cos(2B)-cos(2C)-1$
ดังนั้น $cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)+4cosAcosBcosC = -1$

[หยินหยาง]

จะบอกว่าท่าน สว.ถ่อมตัวเกินไปหรือเปล่าครับ ผมเห็นมีแต่สมาชิกเรียกว่า ท่าน อ.banker บ้าง ลุง บ้าง น้า บ้าง แม้กระทั้งเป็นเซียน เป็นเทพก็มีเรียกไม่ใช่หรือครับ โดยเฉพาะโจทย์เรขาคณิต เห็นเป็นไม่ได้โซ้ยหมด แม้ว่าจะเรียกตัวเองว่าหมู แต่ก็ไม่ใช่หมูธรรมดา เพราะเป็นหมูไม่กลัวน้ำร้อน หมูปกติที่ไหนกันไม่กลัวน้ำร้อนแสดงว่าไม่ธรรมดาจริงๆ จริงมั้ยครับท่าน

ท่านกิตติครับผมไม่กล้าชี้แนะหรอกครับเพียงแค่เข้ามากวนประสาทเป็นครั้งคราวแซมวิชาการบ้างก็พอไหวครับ ถ้าไม่รังเกียจและรำคาญก็จะมาคอยขัดจังหวะเวลาพลาดครับ(ล้อเล่นนะครับ) อันที่จริงโจทย์คณิตของ กสพท. ปีที่แล้ว บางข้อ สอวน. ศูนย์ไหนศูนย์หนึ่ง เอามาใช้เป็นข้อสอบด้วยเหมือนกัน ถ้าจำไม่ผิด
ท่านกิตติอยากฝึกปรือโจทย์ผมช่วยส่งเสริมให้ 1 ข้อ ไปคิดเล่นๆครับ
1. ให้ $p(x)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มซึ่งมีสมบัติที่ว่า $p(x)p(\frac{1}{x}) = p(x) + p(\frac{1}{x})$
ถ้า $p(\frac{1}{2}) = \frac{7}{8}$ จงหาค่าของ $p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5)$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ที่ทำละเอียดเพราะว่าเดี๋ยวผิดตรงไหนจะได้ไล่ได้และมีคนช่วยดูให้ อีกอย่างผมขี้ลืม
ทำละเอียดเกิน เวปไซด์น่าจะต้องเสียค่าใช้จ่ายเพิ่ม....เวลาโหลดใช้ทราฟฟิกเพิ่ม
ข้อต่อไป พอดีไปนั่งรอลูกเรียนคุมองตอนเย็นเลยโซ้ยไปได้อีก2ข้อ ไม่รู้ว่าคิดตรงไหนผิด ช่วยดูแล้วกัน



$A+B+C = 180^0$
ข้อนี้ทำได้สองแบบ แบบแรกไล่จากพจน์บวกซ้ายมือแปลงเป็นผลคูณ กับวิธีที่สองคือแปลงก้อนผลคูณให้กลับเป็นผลบวก
ผมทำแบบที่สองก่อนแล้วกัน
$4cosAcosBcosC=(2cosAcosB)\times 2cosC =[cos(A+B)+cos(A-B)]\times 2cosC$
$=2[cos(A+B)+cos(A-B)]\times cos(180^0-(A+B))$
$=2[cos(A+B)+cos(A-B)]\times (-cos(A+B))$
$= -2cos^2(A+B)-2cos(A+B)cos(A-B)$
$= -(2cos^2(A+B)-1)-1-[cos(2A)+cos(2B)]$
$= -cos(2[A+B])-1-[cos(2A)+cos(2B)]$
$= -cos(2[180^0-C])-1-[cos(2A)+cos(2B)]$
$= -cos(360^0-2C)-1-[cos(2A)+cos(2B)]$
$= -cos(2A)-cos(2B)-cos(2C)-1$
ดังนั้น $cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)+4cosAcosBcosC = -1$

โจทย์ข้อนี้ถ้าเป็นผมทำ ผมให้ $A=90^0, B=45^0, C=45^0$ แล้วแทนค่้าเลยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ขอบคุณคุณNooNuiiที่ช่วยดูให้ครับ หลับดึกเหมือนกัน หรือว่าอยู่คนละฟากเวลาของซีกโลกครับ
ผมสังเกตว่าชอบเข้ามาตอนดึกๆ

ครับ เวลาในที่ีที่ผมอยู่ตอนนี้ 10:45 am วันที่ 09/24/2010

ว่าแล้วก็ต้องไปสอนแล้วล่ะ

[กิตติ]

ทำแบบแรกจากซ้ายไปขวา
$cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)=[2cos(A+B)cos(A-B)]+cos(2C)$
$= -[2cosCcos(A-B)]+2cos^2C-1$
$= -2cosC[cos(A-B)-cosC]-1$
$= -2cosC[cos(A-B)+cos(A+B)]-1$
$= -2cosC[2cosAcosB]-1$
$= -4cosAcosBcosC-1$
ดังนั้น$cos(2A)+cos(2B)+cos(2C) = -4cosAcosBcosC-1$ ย้ายข้างสมการได้
$cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)+4cosAcosBcosC = -1$

ช่วงนี้พอมีเวลาให้หายใจหายคอบ้างครับ เพราะเจ้าตัวเล็กเริ่มไม่กวนกลางดึกบ่อย
ที่ผมเรียกซือแป๋หยินหยางก็ตามลุงBanker เป็นการเรียกด้วยความนับถือจริงๆ มิได้แกล้งเขียนแกล้งอำ
ผมหวังว่าทุกท่านในMCนี้ อย่าได้หวงแหนคำชี้แนะ ไม่ว่าจะรุ่นไหนตั้งแต่รุ่นเดอะจนถึงรุ่นเจนวายเจนแซด ผมยินดีน้อมรับคำชี้แนะจากทุกท่าน เดินตามทางของลุงBankerแม้จะอาวุโสยังเต็มเปี่ยมด้วยความอ่อนน้อมถ่อมตน เป็นหนทางของบัณฑิตโดยแท้
ผมประเภทเยิ่นเย่อร่ายยาวไปหน่อย ผมเคยอ่านในหนังสือของขงจื้อ ท่านกล่าวไว้ว่า บัณฑิตที่แท้นั้น สิ่งใดรู้ก็บอกกล่าวจนหมดสิ้นภูมิความรู้ที่ตนมี สิ่งใดไม่รู้ก็จะบอกว่าไม่รู้และนิ่งฟังจากปากของท่านผู้รู้ บัณฑิตที่แท้ย่อมถ่อมตน....ไม่ใช่วิชาปรัชญา มาร่ายยาวทำไมก็ไม่รู้
ขอบคุณท่านซือแป๋หยินหยางด้วยความนับถือที่เมตตามอบบทฝึกหัดให้

[กิตติ]

โจทย์ข้อนี้ถ้าเป็นผมทำ ผมให้ $A=90^0, B=45^0, C=45^0$ แล้วแทนค่้าเลยครับ

วิธีของคุณหยินหยางเป็นวิธีที่ดีมากเลยครับ ย่นเวลาเยอะเลย จะจำเอาไปใช้บ้าง
จริงๆผมวนเวียนในMCเกือบปีหนึ่งแล้ว แต่ก็ยังเคาะสนิมได้ไม่เท่าไหร่เลยครับ
โจทย์ที่ให้ทำ ขอเวลาหน่อยครับ เรื่องพหุนามยังไม่คล่องคอเท่าไหร่

[กิตติ]

$f(x)=ax^7+bx^3+cx-5$
$f(-x) = -ax^7-bx^3-cx-5$
$f(x)+f(-x) = -10$
$f(-7) = 7 \rightarrow f(7)= -17$
$\left|\,f(7)\right| = 17 $

[กิตติ]

ผมคิดได้ 16 ชุดคำตอบ
เดี๋ยวมานั่งพิมพ์วิธีทำต่อ

$2553 = 23\times 37\times 3$
$2010 = 2\times 3\times 5\times 67$

จัดรูปแบบได้ $x = \frac{2010y}{y-2553} $

$x,y \epsilon I^+$
$x= \frac{2\times 3\times 5\times 67\times y}{y-2553}$
$y-2553$เป็นจำนวนเต็มเมื่อพจน์$y-2553$ ถูกตัดกับพจน์ที่เป็นตัวเศษ โดยยกเว้น$y$
เพราะไม่มีค่า$y$ที่ทำให้$y-2553=y$
ดังนั้นเราจะได้ว่า$y-2553$ ต้องเป็นตัวประกอบของ$2010$
$2010 = 2\times 3\times 5\times 67$
จำนวนเต็มที่เป็นตัวประกอบของ$2010$ มีทั้งหมดเท่ากับ $2\times 2\times 2\times 2 = 16$
ดังนั้นชุดคำตอบของ$x,y$ที่เป็นจำนวนเต็มบวกมีทั้งหมด $16$ ชุด

[tongkub]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

โจทย์ข้อนี้ถ้าเป็นผมทำ ผมให้ $A=90^0, B=45^0, C=45^0$ แล้วแทนค่้าเลยครับ

ขอถามคุณหยินหยางนิดนึงครับ มีทางไหมครับ ที่เราจะรู้ว่าข้อไหนแอบแทนค่าได้บ้าง พอดีผมเคยเจอข้อหนึ่งผมแอบแทนค่า แต่คำตอบออกมาดันมาอยู่ในรูปตรีโกณน่ะครับ

[กิตติ]

โจทย์ข้อนี้เป็นโจทย์ของการแข่งขันรอบที่1 ปี2549 สอวน...การแข่งขันคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์โอลิมปิกแห่งประเทศไทย ข้อแรก เป็นโจทย์ที่มีตัวเลือก



ผมเอาเฉลยมาแปะให้เลย รู้สึกว่าคุณ M@gpie จะเฉลยไว้แล้ว