อินทีเกรตครับ

[kheerae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ลืมไปมีลิมิตอีกข้อครับ ช่วยหน่อยนะครับ
จงหาค่าของ
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}[\sqrt{x+\sqrt[3]{1+x^2}}- \sqrt{x+\sqrt[3]{1-x^2}}]$$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2}\frac{[\sqrt{x+\sqrt[3]{1+x^2}}- \sqrt{x+\sqrt[3]{1-x^2}}]}{x^2}$$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{[\sqrt{\frac{x}{x^4}+\sqrt[3]{\frac{1}{x^{12}}+\frac{x^2}{x^{12}}}}- \sqrt{\frac{x}{x^4}+\sqrt[3]{\frac{1}{x^{12}}-\frac{x^2}{x^{12}}}}]}{\frac{x^2}{x^2}}$$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{[\sqrt{\frac{1}{x^3}+\sqrt[3]{\frac{1}{x^{12}}+\frac{1}{x^{10}}}}- \sqrt{\frac{1}{x^3}+\sqrt[3]{\frac{1}{x^{12}}-\frac{1}{x^{10}}}}]}{1}$$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{[\sqrt{\frac{1}{x^3}+\sqrt[3]{\frac{1}{x^{12}}+\frac{1}{x^{10}}}}- \sqrt{\frac{1}{x^3}+\sqrt[3]{\frac{1}{x^{12}}-\frac{1}{x^{10}}}}]}{1} =\frac{[\sqrt{\frac{1}{\infty}+\sqrt[3]{\frac{1}{\infty}+\frac{1}{\infty}}}- \sqrt{\frac{1}{\infty}+\sqrt[3]{\frac{1}{\infty}-\frac{1}{\infty}}}]}{1}$$

$$\frac{[\sqrt{0+\sqrt[3]{0+0}}- \sqrt{0+\sqrt[3]{0-0}}]}{1} = 0$$

[Ne[S]zA]

ขอบคุณมากครับ
ผมว่าบรรทัดแรกอะครับคูณด้วย $\frac{1}{x^2}$ ทั้งบนล่างใช่ป่ะครับ
เขียนอย่างงี้ได้มั้ยครับ ผมว่ามองง่ายกว่าอิอิ
$$\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x^2}\times[\sqrt{x+\sqrt[3]{1+x^2}}-\sqrt{x+\sqrt[3]{1-x^2}}]}{\frac{1}{x^2}\times x^2}$$

[Ne[S]zA]

ต่อครับสงสัยอีกแล้วครับเหอๆๆ
จงหาค่า
$$\int \frac{dx}{\sqrt{3x-2x^2}}$$
จงหาค่า
$$\int \frac{ae^x+b}{ae^x-b} dx $$
เมื่อ $a,b$ เป็นค่าคงที่
จงหาค่า
$$\int \frac{dx}{e^x+e^{-x}}$$

[kheerae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ต่อครับสงสัยอีกแล้วครับเหอๆๆ
จงหาค่า
$$\int \frac{dx}{\sqrt{3x-2x^2}}$$
จงหาค่า
$$\int \frac{ae^x+b}{ae^x-b} dx $$
เมื่อ $a,b$ เป็นค่าคงที่
จงหาค่า
$$\int \frac{dx}{e^x+e^{-x}}$$

ผมจัดรูปข้อนี้ให้แล้วกัน
$$\int \frac{dx}{\sqrt{3x-2x^2}}$$
$${3x-2x^2} = {-2}{\left(\,{x^2} - \frac{3}{2}x\right)}$$
ถ้าเจอโจทย์แบบนี้ให้จัดรูปให้เป็นสมการกำลัง 2
$${3x-2x^2} = {-2}{\left(\,{x^2} - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 -(\frac{3}{4})^2\right)}$$
$${\left(\,{x^2} - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 \right)} = \left(\,x - \frac{3}{4}\right)^2 $$
$${3x-2x^2} = {-2}{\left(\,\left(\,x - \frac{3}{4}\right)^2 -(\frac{3}{4})^2\right)}$$
$${3x-2x^2} = {2}{\left(\,(\frac{3}{4})^2 - \left(\,x - \frac{3}{4}\right)^2\right)}$$
$$a^2 - u^2$$
ทีนี้ได้รูปฟอร์มแล้วก็หาวิธีการอินทิเกรต ใช้เทคนิคการอินทิเกรตแทนค่าตรีโกณ
ที่เหลือลองทำดูถ้าไม่ได้แล้วบอกมา ผมจะได้จัดวิธีทำให้อีก
ช่วยดูด้วยว่ามีที่ผิดตรงไหนบ้าง แล้วแก้ให้ด้วยนะครับ

[[SIL]]

อีกสองข้อที่เหลือเพิ่งออกข้อเดียวเองครับ

$$\int \frac{1}{e^x+e^{-x}} dx $$


$$=\int \frac{e^x}{e^{2x}+1} dx $$


$$=\int \frac{1}{e^{2x}+1} de^x $$


$$=\frac{1}{2}\int \frac{1}{e^{2x}+1} d(e^{2x}+1) $$


$$=\frac{1}{2}ln|e^{2x}+1|+c$$

[Ne[S]zA]

ผมทำงี้ครับ
$$\int \frac{dx}{e^x+e^{-x}}=\int \frac{e^xdx}{e^{2x}+1}$$
$$=\int \frac{e^x}{e^{2x}+1}\cdot \frac{de^x}{e^x}$$
$$=\int \frac{de^x}{e^{2x}+1}$$
$$=\arctan e^x +c$$
ปล.การที่จะใช้สูตร $\int \frac{dv}{v}=\ln |v| +c$ กำลังของส่วนต้องเป็น $1$ เสมอครับ
มาคิดอีกทีมันก็ใช้ได้นิ?? สรุปแบบไหนถูกเนี่ย

[Ne[S]zA]

แรกพอจัดรูปแล้วอ่ะครับถึงตรงนี้
$$\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2-(x-\frac{3}{4})^2}}$$
แล้วทำไงต่อหรอครับ ให้เปลี่ยนตัวแปรยังไงหรอคับ
ส่วนอีกข้อผมได้
$$\int \frac{ae^x+b}{ae^x-b}dx=\int \frac{ae^x-b+2b}{ae^x-b}dx$$
$$=\int 1+\frac{2b}{ae^x-b} dx$$
$$=x+\int \frac{2b}{ae^x-b}dx$$
แล้วจัดรูปต่อยังไงดีครับ

[[SIL]]

ข้อแรกลองใช้ตรีโกณครับแต่ออกมาไม่สวยเลย (ตอบ $\frac{4\sqrt{3}\sqrt{arcsin(arccos(\frac{4x}{3}))}}{4\sqrt{2}})+c$)
ข้อ 2 จัดไปเรื่อยๆครับ (ตอบ $2ln|ae^x-b|-x+c$)
ช่วยเช็คด้วยครับ (โดนจับไปเฝ้าบ้าน)

[Ne[S]zA]

ข้อสองถูกแล้วครับ
ส่วนข้อสามอ่ะครับผมใช้สูตรนี้อ่ะครับ
$$\int \frac{dv}{v^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{v}{a}+C$$ โดย $a$ เป็นค่าคงที่

[[SIL]]

ผมทราบไม่กี่สูตรเองครับ รู้จักสูตรเพิ่มจาก ม.ปลายก็ 3-4 เอง ไม่ทราบว่าอ่านเล่มไหนครับจะไปซื้อมามั่ง
ขอเปลี่ยนคำตอบข้อแรกนะครับ เป็น $\frac{-8\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}ln\frac{\sqrt{1-3(x-\frac{3}{4})^2}}{2}+c$ ถูกป่าวน้อ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ผมทราบไม่กี่สูตรเองครับ รู้จักสูตรเพิ่มจาก ม.ปลายก็ 3-4 เอง ไม่ทราบว่าอ่านเล่มไหนครับจะไปซื้อมามั่ง
ขอเปลี่ยนคำตอบข้อแรกนะครับ เป็น $\frac{-8\sqrt{2}ln\sqrt{\frac{1-3(x-\frac{3}{4})^2}}{2}}{3\sqrt{3}}$ ถูกป่าวน้อ

งง กับ latex ครับ แก้ด่วนอิอิ
ผมอ่านหนังสือ 1234 แบบฝึกหัดและเทคนิคการแก้ไขปัญหาโจทย์แคลคูลัส ของ อ.วิชัย ทิพณีย์ และ อ.รัชเมธี รัชนิพันธ์
ปล.หนังสือน่าจะเก่ามากแล้วครับ

[Ne[S]zA]

คำตอบข้อแรกนะครับ
$$\frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin \frac{4x-3}{3}+C$$
ผมยัง งง กับเฉลยอยู่เลยครับ
ปล.จัดรูปข้อสองให้ดูหน่อยครับ

[kheerae]

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2-(x-\frac{3}{4})^2}}$$
มันอยู่ในรูปฟอร์ม
$$\sqrt{a^2 - u^2}$$
หรือ
$$a^2 - u^2$$
ดังนั้นจะกำหนดให้
$$u = asin\theta = \frac{3}{4}sin\theta = x-\frac{3}{4}$$
$$du = \frac{3}{4}cos\theta {d\theta} = dx$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2-(x-\frac{3}{4})^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{\frac{3}{4}cos\theta {d\theta}}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2-(\frac{3}{4}sin\theta )^2}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2-(x-\frac{3}{4})^2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} \int \frac{\frac{3}{4}cos\theta {d\theta}}{\sqrt{1-(sin\theta )^2}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2-(x-\frac{3}{4})^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{cos\theta {d\theta}}{\sqrt{(cos\theta)^2}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2-(x-\frac{3}{4})^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int d\theta$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2-(x-\frac{3}{4})^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\theta +C$$
$$sin\theta = \frac{x - \frac{3}{4}}{\sqrt{\left(\,\frac{3}{4}\right)^2 +\left(\,x - \frac{3}{4}\right)^2 }}$$
$$\theta =sin^{-1}\left(\, \frac{x - \frac{3}{4}}{\sqrt{\left(\,\frac{3}{4}\right)^2 +\left(\,x - \frac{3}{4}\right)^2 }}\right)$$

$$ \int \frac{dx}{\sqrt{3x-2x^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}sin^{-1}\left(\, \frac{x - \frac{3}{4}}{\sqrt{\left(\,\frac{3}{4}\right)^2 +\left(\,x - \frac{3}{4}\right)^2 }}\right) + C$$
เมื่ออินทิเกรตเสร็จแล้วต้องใช้สามเหลี่ยมตรีโกณมาช่วยอีกที ซึ่งจะใช้ค่า sin ในตอนแรกเลยไม่ได้ครับ
ต้องวาดรูปสามเหลี่ยมตรีโกณออกมาแล้วถึงจะเอาค่าไปแทนได้

[Ne[S]zA]

Ohhhh เยี่ยมครับ
ขอบคุณมากนะครับคุณ kheerae และ คุณ [SIL] ด้วยครับสำหรับข้อ2อิอิ
ผมไปเจอสูตร
$$\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}=\arcsin\frac{u}{a}+C$$
พอจะมีที่มาของสูตรมั้ยครับ หรือพิสูจน์จากการแทนค่าตรีโกณเข้าไป??

[Ne[S]zA]

ช่วยตรวจหน่อยนะครับข้อนี้ผมตอบ $\frac{4}{3}$
$$\int_1^4 \frac{x^2-1}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}}dx$$