Missing number?

[nongtum]

ยังไม่หายไปไหนคร้าบ... มาดูประจำแต่ไม่มีโอกาสตอบ เข้าเรื่องกันดีกว่า
ขอมาเฉลยก่อนครับ ส่วนเฉลยละเอียดซึ่งจะมาพร้อมกับคำถามภาคต่อ ขอเวลา scan รูปอีกสักแป๊บ (เป็นสาเหตุหนึ่งที่ยังไม่ยอมเฉลยซะที)

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
78. 91 (เพราะลำดับเพิ่มทีละ 6,12,18,24,30,...)
79. 51 (เพราะลำดับเพิ่มทีละ 4,7,10,13,...)
80. น่าจะเป็นการเขียน a_n= 1,2,4,8,16,... ในรูปของ (x,y) โดย a_n= x^y และ xนy ดังนั้น ตัวต่อไปควรเป็น (2,5)

ข้อ 78,79 ถูกแล้วครับ ส่วนข้อ 80 หากเป็นอย่างที่ตอบจริง จะได้ (4,0)=4 ซึ่งไม่ถูก ใบ้ให้ครับว่าข้อนี้มีสามเหลี่ยมปาสคาลมาเกี่ยวข้อง ส่วนคำตอบมาจากการนับธรรมดาๆนี่แหละครับ รับรองไม่โหดมาก

มาตอบคำถามบางส่วนต่อดีกว่า
81. ข้อนี้คือ a_n=1936+176(n-1) ซึ่งจะได้ตัวถัดไปได้แก่ 2464+176=2640, 2640+176=2816,...
หากจำไม่ผิด 1936 หลา เท่ากับหนึ่งไมล์ทะเลครับ ซึ่งเป็น 1.1 เท่าของไมล์บก(1760 หลา = 1584 เมตร)
83. ข้อนี้เพิ่มทีละ 2,4,8,16,32,... ตัวต่อไปได้แก่ 30+32=62, 62+64=126,... ส่วนคำถามเสริมยังนึกคำตอบไม่ออกครับ

โทษฐานที่หายไปนาน เอาคำถามที่แอบคิดไว้ตั้งแต่เห็นน้องเค้ามาโพสต์ไว้แล้ว กำลังสงสัยอยู่ว่าน้องหรือสมาชิกคนอื่นเห็นเราเล่นกันขนาดนี้ ยังจะกล้ามาแจมกับเราหรือไม่ งวดนี้พยายามลดความยากให้ขาจร โดยเฉพาะกลุ่มเป้าหมาย คือ น้องๆประถมเล่นได้ ขาประจำเล่นสนุก ตอนแรกกะกำหนดข้อที่จะให้เฉพาะน้องๆหรือสมาชิกใหม่เล่น แต่คิดไปคิดมาอย่าดีกว่า ยังไงๆข้อไหนที่มัน obvious มากๆ โดยเฉพาะหกเจ็ดข้อแรก เหล่าขาประจำก็แกล้งๆมองข้ามให้เด็กๆตอบบ้างละกันนะครับ

84. 2300, 2305, 2315, 2335, 0015,...
85. 112, 121, 211, 311, 131, 113, 115,...(มีตัวอะไรบ้างตอบมาให้ครบ), 117
86. (98,2), (96,4), (94,6), (90,10),...
87. 1, 9, 36, 100, 225, 441,...
88. 0.5, 0.75, 0.25, 0.875, 0.125,...
89. (1,178), (2,176), (4,172), (8,164),...
90. 100, 50, 150, 30, 240,...
91. 124, 130, 142, 168, 218, 318,... (Hint: เริ่มจาก 500)
92. 0, 14, 78, 252, 620,...
93. 1, 8, 28, 72, 164,...
94. 3, 5, 17, 37, 101, 197,...

ปล. เล่นได้ทุกห้องครับ แต่บางทีอ่านที่โพสต์ตอบมาก็ไม่ค่อยเก็ท โดยเฉพาะคำถามจาก AMM ขนาดว่าเคยเรียนมาทั้ง Algebra และ Function theory แล้วนา...

[passer-by]

ข้อ 80 ผมทำอะไรลงไปเนี่ย อายจัง

ขอแก้ตัวด้วยข้อ 92 ซึ่งตอบ 6⁴-6 เพราะ a_n=n⁴-n

ข้อ 81,83 ถูกแล้วครับคุณ nongtum

ส่วนเรื่องไมล์ ขอเสริมนิดนึงครับว่า 1 ไมล์บก เท่ากับ 1760 หลา ลำดับข้อนี้ ถ้ามองอีกมุมหนึ่ง มันก็คือ 1.1ด1760 ,1.2ด1760 , 1.3ด1760,...

ส่วนข้อ 84-90 สาธุ! ขอให้มีเด็กประถม เข้ามาตอบบ้างนะครับ

[warut]

สำหรับลำดับข้อ 75. 1, 2, 5, 14, 42, ___ ซึ่งคือ Catalan numbers นั้นผมขออนุญาตโม้ต่อนะครับ เพราะตอนที่ตอบยังไม่แน่ใจว่าใช่อันที่อยู่ในใจคุณ passer-by รึเปล่า เลยยังไม่อยากพิมพ์อะไรไปมาก

ผมรู้จักมันครั้งแรกจากการพยายามหาจำนวนวิธีการคูณเลข m ตัวว่ามีได้กี่วิธี ยกตัวอย่างเช่น การคูณเลข 4 ตัว abcd จะทำได้ 5 วิธีคือ ((ab)c)d, (ab)(cd), (a(bc))d, a((bc)d), a(b(cd)) สำหรับเลข m ตัวนั้นจะทำได้ทั้งหมด\[\frac{1}{m}{2m-2\choose m-1}\]วิธี ส่วน Catalan numbers นั้นก็คือจำนวนที่เขียนได้ในรูป\[\frac{1}{n+1}{2n\choose n}=
\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}\]นั่นเองครับ ดังนั้นพจน์ต่อๆไปของลำดับข้อนี้คือ 132, 429, 1430, 4862, ...

ผมใช้ Catalan number ครั้งสุดท้ายก็เมื่อเร็วๆนี้เองตอนที่เขียนโปรแกรมแก้ปัญหาของคุณ nooonuii ในหัวข้อมาคิดเลขกันเถอะ เพราะผมต้องเช็คว่าผมเขียนรูปแบบทั้งหมดที่เป็นไปได้ในการแทรกวงเล็บครบแล้วยัง ซึ่งในกรณีนั้นมีทั้งหมด 14 แบบเพราะมีเลขอยู่ 5 ตัวครับ

[passer-by]

คุณ warut ทำตาม แนวทางนายก ฯ ที่บอกให้เรียนแบบ บูรณาการ เป๊ะๆเลยนะครับ สามารถโยงเรื่อง catalan number มาช่วยเขียนโปรแกรมได้ อันนี้ขอชื่นชม
จริงๆ แล้ว catalan number มีการประยุกต์ใช้มากมาย นอกเหนือจากการหาลำดับการคูณเลข ซึ่งสามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ http://mathworld.wolfram.com/CatalanNumber.html และ
http://www.mathpages.com/home/kmath322.htm

สิ่งที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งก็คือ ถ้าเปลี่ยนจากตัวเลขคูณกัน เป็นเมตริกซ์ คูณกัน จะมีคำถามเพิ่มขึ้นมาว่า จะใส่วงเล็บอย่างไรให้คอมพิวเตอร์คูณเลข น้อยครั้งที่สุด ซึ่งปัญหานี้ก็เป็นปัญหายอดฮิต ในผู้ที่ศึกษา computer algorithm
ผมไม่ขอพูดมากกว่านี้แล้วกัน เพราะมันเกินหลักสูตรประถม แค่ introไว้เผื่อน้องๆมัธยมขึ้นไป ที่สนใจ ไปคิดต่อแล้วกันครับ

[nongtum]

มาโพสต์ซะก่อน ก่อนที่กระทู้จะดับ
ข้อ 92 ถูกแล้วครับ ส่วนข้อ 91 น่าจะยากที่สุดในชุดนั้นแล้ว เพราะมันมีการหารอยู่ด้วย
ขอสารภาพว่ายังไม่ได้คิดอีกสี่ข้อที่เหลือที่คุณ passer-by กะน้อง tummy-kun เลยครับ แต่คาดว่าหากไม่หมดแรงกับการบ้าน number theory ซะก่อน จะมาตามเฉลยย้อนหลังข้อที่แปะโป้งเอาไว้ และก็ออกโจทย์ภาคเสริมด้วยครับ
ว่าแต่เราควรจะเปิดกระทู้ใหม่ ตั้งคำถามวันละข้อ เป็นคำถามเชาวน์ง่ายๆหรืออะไรทำนองนี้สำหรับน้องๆและผู้สนใจไหมครับ เพราะช่วงนี้บอร์ดเงียบมาก แต่อีกใจก็กลัวเราจะเล่นกันเองเหมือนกระทู้นี้อีก แต่ก็เข้าใจครับว่าเปิดเทอม หวังว่าพอมีคนเอาข้อสอบคัดโอลิมปิกรอบแรกมาลง บอร์ดคงคึกคักอีกครั้ง ^^

[passer-by]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
ว่าแต่เราควรจะเปิดกระทู้ใหม่ ตั้งคำถามวันละข้อ เป็นคำถามเชาวน์ง่ายๆหรืออะไรทำนองนี้สำหรับน้องๆและผู้สนใจไหมครับ เพราะช่วงนี้บอร์ดเงียบมาก แต่อีกใจก็กลัวเราจะเล่นกันเองเหมือนกระทู้นี้อีก

ผมว่าอย่างหลังมีโอกาสเป็นไปได้สูงครับ สุดท้ายก็จะเจอแต่ขาประจำ
จริงๆแล้ว การตั้งกระทู้นี่ก็เหมือนการวางแผนการตลาดเหมือนกัน นะครับ ต้องรู้ว่ากลุ่มเป้าหมายที่แท้จริง เป็นใคร supply(เสนอขาย)มากๆ แต่demand (เสนอซื้อ)ไม่มี อันนี้ผู้ผลิตก็เซ็งกันไป
ตอนนี้ผมเริ่มเห็น กลุ่มที่เข้ามาถามคำถาม มาขอคำปรึกษามากขึ้น อาจจะเป็นผลพวงจากการเปิดเทอมหรือเปล่า ไม่ทราบเหมือนกัน ซึ่งก็ดีครับ ถ้าตอบได้ ก็ช่วยๆกัน ถือเป็นการแบ่งปันความรู้
ส่วนถ้า โอลิมปิก สสวท. รอบแรกเสร็จเมื่อไหร่ คราวนี้ คงถูกใจบรรดาผู้กระหายโจทย์กันทั่วหน้า

[nongtum]

แหะๆๆ พูดอีกก็ถูกอีกครับ ตอนแรกๆยังแอบคิดเลยว่าทะลุร้อยแน่ๆ มิน่าตั้งกระทู้ไปสองสามกระทู้ แป้กไปตามๆกัน แต่บางทีหากกลุ่มเป้าหมายไม่เข้ามาถาม ก็ทำอะไรไม่ถูกเหมือนกันละครับ ซึ่งหากเป็นแบบนี้จริง คาดว่าอีกสักพักหากไม่มีคนมาตอบ จะเริ่มเฉลยคำตอบของคำถามในส่วนของผมที่ไม่มีคนตอบละครับ เก็บไว้นานเดี๋ยวจะลืมเองซะก่อน รวมทั้งตามเก็บกระทู้อื่นๆที่ไม่มีคนเล่นแล้วให้จบๆกันไปหากว่างพอ
ช่วงนี้คงเป็นช่วงที่อาจารย์ทั้งหลายเริ่มสั่งโครงงานและรายงานให้เด็กไปทำ รวมทั้งเป็นช่วงก่อนสอบโอลิมปิก ยังไงขอเป็นกำลังใจให้ทุกคนครับ
(ไร้สาระชะมัดช่วงนี้)

[R-Tummykung de Lamar]

ผมว่าน่าจะให้บอร์ดเตรียมตัวสำหรับการรองรับสมาชิกจำนวนมาก แล้วลองโฆษณาดูครับ ผมว่าน่าจะมีขาประจำมากขึ้นแน่นอน (อย่างผมนี่ขาประจำเปล่าหว่า ) แล้ว บอร์ดจะครึกครื้นขึ้น ไม่แพ้เว้บอื่นแน่นอนครับ

[passer-by]

ผมขอลงเฉลยในส่วนของผมก่อนนะครับ
แล้วก็มีแก้ไขนิดหน่อย ตรงข้อ 77 เทอมแรกต้องเป็น 1/2 ครับ

77,82,83(Extra)

77. a_n= n/(n+1)!
ซึ่ง ถ้า แปลงร่างลำดับนี้เป็น
\(\large \frac{n}{(n+1)!}=\frac{(n+1)-1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!} \)
ทำให้ได้ผลรวมเป็น 1
82. แบ่งแต่ละลำดับเป็น 3 ส่วน ดังนี้
1/2/4 , 3/2/5 , 5/4/4 7/12/5 , 9/48/4,...
ส่วนหน้าสุดเป็น 1,3,5,7 ส่วนต่อมา คูณทีละ 1,2,3,4,...
ส่วนสุดท้ายเป็น 4 และ 5 สลับกันไปเรื่อยๆ
83. คำตอบของคำถาม Extra credit คือเป็นจำนวนรอยวงเวียนตัดกัน เวลาแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง เป็น 2,4,8,16,32,... ส่วน

พิมพ์เฉลยส่วนของผมเสร็จ ก็เริ่มเห็นใจ เฉลยส่วนของคุณ nongtum ทุกกระทู้ขึ้นมาทันควัน เพราะ หลายข้อมากส์ๆ เอาใจช่วยให้พิมพ์เสร็จไวๆ นะครับ

[warut]

แหม...คุณ passer-by รีบเฉลยจังเลยครับ ถ้างั้นผมช่วยคุณ nongtum ข้อนึง

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
46. 1, 3, 4, 7, 6, 12,...

พจน์ที่ n ของข้อนี้คือผลบวกของตัวประกอบ (ที่เป็นบวก) ทั้งหมดของ n ครับ นั่นคือ \(a_n=\sigma(n)\) เช่น\[a_6=\sigma(6)=1+2+3+6=12\]ดังนั้นพจน์ต่อๆไปจึงเป็น 8, 15, 13, 18, 12, 28, ...

แล้วตกลงพจน์ต่อไปของข้อ 63 ของผมไม่มีใครคิดหาค่าออกมาจริงๆแล้วใช่มั้ยเนี่ย ดีล่ะวันหลังผมจะได้ตั้งปัญหาชิงรางวัลที่ต้องใช้เลขตัวนี้ซะเลย

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
แหม...คุณ passer-by รีบเฉลยจังเลยครับ ถ้างั้นผมช่วยคุณ nongtum ข้อนึง พจน์ที่ n ของข้อนี้คือผลบวกของตัวประกอบ (ที่เป็นบวก) ทั้งหมดของ n ครับ นั่นคือ \(a_n=\sigma(n)\) เช่น\[a_6=\sigma(6)=1+2+3+6=12\]ดังนั้นพจน์ต่อๆไปจึงเป็น 8, 15, 13, 18, 12, 28, ...

แล้วตกลงพจน์ต่อไปของข้อ 63 ของผมไม่มีใครคิดหาค่าออกมาจริงๆแล้วใช่มั้ยเนี่ย ดีล่ะวันหลังผมจะได้ตั้งปัญหาชิงรางวัลที่ต้องใช้เลขตัวนี้ซะเลย

อย่าเพิ่งรีบเปิดไต๋สิครับ เพราะเลขตัวนี้ใช้คอมคิดได้(คิดว่านะ)
ข้อ 46 ถูกแล้วครับ งั้นขอเฉลยบ้าง แต่ขอเป็นบางข้อละกันครับ แล้วข้ออื่นจะทยอยมาทีหลัง

13,16,25,27

13. 17, 43, 74, 132, 175,...
ก่อนอื่นแปลงลำดับนี้จากฐานแปดเป็นฐานสิบก่อน จะได้ลำดับนี้คือ 15, 35, 60, 90, 125,... (ลำดับเพิ่มทีละ 20,25,30,35...)
ดังนั้นลำดับนี้(ในฐานสิบ)คือ 15, 35, 60, 90, 125, 125+40=165, 165+45=210,...
หรือในฐานแปด(คำตอบ) คือ 17, 43, 74, 132, 175, 245, 322,...

16. 1, 1, 2, 2, 1, 2, 6, 4,...
(Hint: ลำดับนี้มีเขียนผิดอยู่หนึ่งที่ ตัวไหนเอ่ย...)
ข้อนี้คือลำดับของ Euler Phi-Function คิดค่าเรียงจาก 1,2,3,... ครับ ดังนั้นตัวต่อไป คือ 6, 4, 10...(พอจะเดาได้หรือยังครับว่าผิดตัวไหน)
ส่วนข้อ 16.5 ฝากไว้ให้คิดครับ มีไม่กี่ตัวเอง

25. 150, 155, 100, 45, 10, 65, 120,... (Hint: 7pm)
ข้อนี้เป็นมุมแหลมระหว่างเข็มสั้นกับเข็มยาวของนาฬิกา นับจากหนึ่งทุ่มตรงไปทุกๆสิบนาที อันหมายถึงตัวต่อไปคือ 175, 130,...

27. J, Y, X, G, Z,...
โดยให้ A=1, B=2,..., Z=26 (mod 26) จะได้ลำดับนี้ตอนแรกคือ 10=X, 25=Y, 50=24=X, 85=7=G, 130=26=Z,...
ลำดับในฐานสิบตัวนี้เพิ่มทีละ 15, 25, 35, 45,... ดังนั้นตัวถัดไปคือ 130+55=185=3=C, 185+65=250=16=P,...

ออกอีกข้อฉลองยอดสมาชิกเกินพันคนครับ(คนที่พัน คือ คุณมะม่วงสุก สมัครสมาชิกเมื่อวานนี้)
95. 1000, 999, 998, 996, 995, 992, 990, 980,...,500,0
(คำใบ้: แยกตัวประกอบของ 1000) และขอถามว่าลำดับนี้มีกี่ตัว (ระหว่าง ... มีมากกว่าหนึ่งตัวครับ )

[passer-by]

ขอถามคุณ nongtum เกี่ยวกับข้อ 25 นิดนึงนะครับ ว่า ถ้าเข็มสั้น เข็มยาว ทำมุมกัน 155 องศา แสดงว่าเข็มยาวไม่ได้ทับตรงที่เป็นตัวเลขพอดี เพราะว่า 1 ช่อง มันห่างกัน 30 องศา แล้วมันจะเพิ่มทีละ 10 นาทีได้ยังไงครับ
ขอโทษด้วยนะครับ ถ้านี่เป็นคำถามที่อาจงี่เง่าไปซักหน่อย

ส่วนที่รีบมาเฉลย เพราะ เห็นกระทู้มันนิ่งๆ อ่ะครับ แต่ก็ยังดีใจที่ตอนนี้ไปถึง 95 ข้อแล้ว งั้น ผมแถมข้อ 96,97 ให้แล้วกันครับ

96. 4, 100, 448, 1210, 2548,________
97. 3, 5, 11, 22, 47, ______

ANS 96,97 (without explanation)

96. 4624
97. 101

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
[QB]ขอถามคุณ nongtum เกี่ยวกับข้อ 25 นิดนึงนะครับ ว่า ถ้าเข็มสั้น เข็มยาว ทำมุมกัน 155 องศา แสดงว่าเข็มยาวไม่ได้ทับตรงที่เป็นตัวเลขพอดี เพราะว่า 1 ช่อง มันห่างกัน 30 องศา แล้วมันจะเพิ่มทีละ 10 นาทีได้ยังไงครับ
ขอโทษด้วยนะครับ ถ้านี่เป็นคำถามที่อาจงี่เง่าไปซักหน่อย

ไม่งี่เง่าหรอก ดีซะอีกที่ถาม ผมต่างหากอาจเฉลยไม่เคลียร์ก็ได้
อีกอย่างอย่าลืมว่านาฬิกามีทั้งแขนยาวและแขนสั้นที่เดินพร้อมๆกัน เช่น ตัวที่สอง (7:10) จะได้ว่ามุมแหลมระหว่างแขนทั้งสองเป็น 120+30+5=155 องศา (5 องศาเกิดจากเข็มสั้นเดินไปหนึ่งส่วนหกของ 30 องศา) ตัวอื่นก็คล้ายๆกันครับ

ส่วนข้อ 96 สันนิษฐานว่าเกี่ยวกับลำดับที่เกิดจากการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะ แตยังคิดไม่ออก (แน่ใจนะครับว่าตัวแรกเป็น 4) -_-' ไว้กลับมาจาก uni จะมาคิดต่อครับ

[passer-by]

ข้อ 25 GET แล้วครับ คุณ nongtum
ส่วนข้อ 96 ยืนยัน ตีลังกายัน ว่าตัวหน้าเป็น 4 ชัวร์ๆ ครับ ส่วนที่คุณ nongtum เล็งๆว่า เป็นการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะ ผมว่า ไม่ตรงซะทีเดียวหรอกครับ เอาเป็นว่า ตัดคำว่า จำนวนเฉพาะ ทิ้งไปดีกว่านะ

[nongtum]

ขอตอบหนึ่งข้อก่อนนะครับ

96. 4, 100, 448, 1210, 2548,________

แยกลำดับนี้ออกเป็นสองลำดับย่อย 4, 448, 2548,... และ 100, 1210,... แล้วแยกตัวกอบแต่ละตัว จะได้ว่า
\(4=2^2\cdot1\cdot1,\ 448=2^2\cdot4^2\cdot7,\ 2548=2^2\cdot7^2\cdot13,\ 7600=2^2\cdot10^2\cdot19,\ \ldots \)
และ \(100=2\cdot2\cdot5^2,\ 1210=2\cdot5\cdot11^2,\ 4624=2\cdot8\cdot17^2, \ 11638=2\cdot11\cdot23^2,\ \ldots\)
ดังนั้น ตัวต่อไปคือ 4624, 7600, 11638,...

ขอระบายสต็อกโจทย์อีกหกข้อครับ

98. 2, 3, 5, 16, 231,... (Hint: 2, 3 เป็นตัวเริ่ม)
99. 10, 90, 360, 840,..., 405, 10 (Hint: ระหว่างจุดมีสมาชิกสี่ตัว)
100. 100, 101, 99, 100, 100, 102, 98, 100,... (ข้อนี้มีคำตอบที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งคำตอบ)
101. 101, 100, 010, 011,...
102. 1, 2/3, 13/15, 76/105, 263/315,... (Hint: \(\pi/4\))
103. 60, -90, 150, 0, 180,...