Shortlisted TMO8

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#43

กำหนดจุด A,B,C อยู่ตรงไหนครับ

บางบรรทัด มันไม่ใช่ ก็ต่อเมื่อ นะครับ

ตรง Sin's Law มาได้อย่างไร อธิบายหน่อยก็ดี

ใช้ Jensen อย่างไร convex หรือ concave แล้วก็หาอนุพันธ์มาด้วยจะดีกว่านะครับ

A,B อยู่บนส่วนโค้งของวงกลม $O_1$ A,C อยู่บนส่วนโค้งของวงกลม $O_2$ เเละ B,C อยู่บนส่วนโค้งของวงกลม $O_3$ ตามลำดับครับ
ใช้ Sine's Law กับ $\Delta $ ABC ครับ เช่น จาก AB $= 2r_1\cos\alpha$ BC $=2r_3\cos \gamma$ จะได้ว่า $\frac{sin\alpha}{r_1\cos\alpha}=\frac{sin\gamma}{r_3\cos\gamma}\rightarrow r_3=r_1\frac{\tan\gamma}{\tan\alpha}$ เเล้วจับทุก $r$ ให้อยู่ในรูป $r_1$ ครับ เเล้วมันก็จะได้เเบบนั้นมา
Jensen ผมอยากใช้ Convex ครับ เเต่เขียน อนุพันธืไม่เป็น

[Amankris]

#46
ไม่หาอนุพันธ์ แล้วจะทราบได้อย่างไรว่าถูกครับ

[จูกัดเหลียง]

#47 ผมไใม่ทราบว่าถูกครับ 555+
ยังไงช่วยอธิบาย เรื่องอนุพันธืหน่อยนะครับ

[Amankris]

#48

อ่าว

แล้วคุณจะใช้ Jensen ได้อย่างไร ถ้าหาอนุพันธ์ไม่เป็น

[จูกัดเหลียง]

เเล้ว มัน Convex ไหมครับ สรุป
ผล. ชี้เเนะการหาอนุพันธ์ ด้วยครับ อยากรู้มากก...
(เวลาผมอ่านในหนังสือการหาอนุพันธ์ เค้าไม่บอกว่าถ้า ฟังก์ชันอยู่ในรูป sin x เเล้วจะหาอย่างไรอ่ะครับ)

[Amankris]

ลอง Search ดูครับ

Derivative

[จูกัดเหลียง]

ขอบคุณครับ เดี๋ยวผมจะลิง Serch ดู
เเต่ ตอนนี้ขอนอน ละ..ง่วง 555+

ปล.คุณ Amankris ทำไม ขึ้นว่าออฟไลน์เเต่สามารถ เขียน# ได้อ่ะครับ
(สงสัยมานานเเล้ว รวมถึงท่านอื่นๆด้วยครับ )

[Amankris]

#52

Invisible Mode ครับ

[PP_nine]

A2 (สอวน) ให้ $p(x),q(x),r(x)$ เป็นพหุนาม สปส. เป็นจำนวนจริงและมีดีกรี 5,4,2 ตามลำดับ โดยที่ $q(x),r(x)$ ต่างเป็น factor ของ $p(x)$

และมีจำนวนจริง $a$ เพียงตัวเดียวที่ทำให้ $p(a)=0$ ถ้า $p(x)$ มีรากซ้ำจงแสดงว่า $r(x)$ เป็น factor ของ $q(x)$

solution

เนื่องจาก $p(x),q(x),r(x)\in\mathbb{R}[x]$ (แปลว่ามี สปส เป็นจำนวนจริง)

แสดงว่าถ้าจำนวนเชิงซ้อน $z$ เป็นรากสมการแล้ว $\overline{z} $ ก็เป็นรากด้วย และเป็นผลทำให้รากเชิงซ้อนมีได้เป็นเลขคู่ตัว

CaseI:รากซ้ำคือ a

ถ้ารากสมการ $p(x)=0$ คือ $a,a,a,a,a$ ก็จบ

ถ้ารากสมการ $p(x)=0$ คือ $a,a,a,z,\overline{z}$ ได้ว่ารากสมการ $q(x)=0$ คือ $a,a,z,\overline{z}$

ซึ่งไม่ว่ารากสมการ $r(x)=0$ จะเป็น $a,a$ หรือ $z,\overline{z}$; $r(x)$ ก็จะเป็น factor ของ $q(x)=0$

CaseII:รากซ้ำคือ z

รากสมการคือ $a,z,z,\overline{z},\overline{z}$

ดังนั้น $q(x)=0$ มีรากสมการในรูป $z,z,\overline{z},\overline{z}$ เพราะถ้ามี $a$ เป็นรากจะขัดกับ $q(x)\in\mathbb{R}[x]$

นอกจากนี้รากสมการ $r(x)=0$ ก็คือ $z,\overline{z}$ ด้วย เพราะถ้ามี $a$ เป็นรากจะขัดกับ $r(x)\in\mathbb{R}[x]$ เช่นกัน

แสดงว่า $r(x)$ เป็น factor ของ $q(x)$

[Amankris]

#54
ไม่ได้ทำกรณี $a$ เป็นรากซ้ำนะครับ

[PP_nine]

A1 (สอวน) กำหนดลำดับของพหุนาม

$x-1,x+1,(x-1)^2,x^2-1,(x+1)^2,(x-1)^3,(x^2-1)(x-1),(x^2-1)(x+1),(x+1)^3,...$

ให้ $p(x)$ เป็นผลรวมพหุนามพจน์ที่ 1957 และพจน์ที่ 2011 จงหารากจริงสมการ $p(x)=0$

solution

ให้ลำดับดังกล่าวคือ $a_1,a_2,a_3,...$ พิจารณาลำดับ $\frac{a_2}{a_1},\frac{a_3}{a_2},\frac{a_4}{a_3},...$ เขียนได้เป็น

$\frac{x+1}{x-1},\frac{(x-1)^2}{x+1},\frac{x+1}{x-1},\frac{x+1}{x-1},\frac{(x-1)^3}{(x+1)^2},\frac{x+1}{x-1},\frac{x+1}{x-1},\frac{x+1}{x-1},...$

ให้ลำดับนี้เป็น $b_1,b_2,b_3,...$ แสดงว่า

$b_1 \cdot b_2=x-1$
$b_3 \cdot b_4 \cdot b_5=x-1$
จึงคาดการณืต่อไปว่า $b_6 \cdot b_7 \cdot b_8 \cdot b_9 =x-1$

นั่นคือถ้า $n$ อยู่ในรูปของ $\frac{m(m+1)}{2}$ แล้ว

$b_n \cdot b_{n+1} \cdot ... \cdot b_{n+m}=x-1$

แต่ $\frac{61 \cdot 62}{2}=1891$ และ $\frac{62 \cdot 63}{2}=1953$ และ $\frac{63 \cdot 64}{2}=2016$ จึงได้ว่า

$b_{1891} \cdot b_{1892} \cdot ... \cdot b_{1952} =x-1$ และได้ $b_{1953} \cdot b_{1954} \cdot \cdot b_{1955} \cdot b_{1956} = \left(\,\frac{x+1}{x-1}\right) ^4$

นั่นคือ $b_{1} \cdot b_{2} \cdot ... \cdot b_{1956}=(x-1)^{61}\cdot\left(\,\frac{x+1}{x-1}\right) ^4=(x-1)^{57}\cdot(x+1)^4$

แต่จากเดิมได้ว่า $b_{1} \cdot b_{2} \cdot ... \cdot b_{1956}=\frac{a_2}{a_1} \cdot \frac{a_3}{a_2} \cdot ... \cdot \frac{a_{1957}}{a_{1956}}=\frac{a_{1957}}{a_1}$

$\therefore a_{1957}=(x-1)^{58}\cdot(x+1)^4$

ในทำนองเดียวกันได้ว่า $a_{2011}=(x+1)^{58}\cdot(x-1)^4$ (สวยดีเนอะ )

และได้ว่าสมกาารที่เราต้องหารากก็คือสมการ $(x-1)^{58}\cdot(x+1)^4+(x+1)^{58}\cdot(x-1)^4=0$

$x=\pm 1$ หรือ $(x+1)^{54}+(x-1)^{54}=0$

ชัดเจนว่าสมการหลังไม่มีรากจริง (แสดงได้ไม่ยากว่า $(x+1)^{54}+(x-1)^{54}\geqslant 2$ $\forall x\in\mathbb{R}$)

$\therefore$ รากจริงทั้งหมดของสมการ $p(x)=0$ ก็คือ $\pm 1$

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#54
ไม่ได้ทำกรณี $a$ เป็นรากซ้ำนะครับ

แก้แล้วนะครับ

[PP_nine]

N3 (สอวน) จงหาเลขโดดในหลักสิบของ $$\prod_{ k = 2010 }^{2554} (3^{2^{k+1}}-3^{2^k}+1)$$

solution

เนื่องจาก $3^2\equiv -1 (mod10)$ และ $3^4 \equiv 1 (mod10)$

จึงได้ว่า $3^{2^k} \equiv 1 (mod10)$ สำหรับ $k=2010,2011,...,2554$

$\therefore 100 \mid 3^{2^{k+1}} - 2 \cdot 3^{2^k} +1$

$100 \mid 3^{2^{k+1}} - 3^{2^k} +1 - 3^{2^k}$

$\therefore 3^{2^{k+1}} - 3^{2^k} +1 \equiv 3^{2^k} (mod 100)$

$$\therefore \prod_{k=2010}^{2554} (3^{2^{k+1}}-3^{2^k}+1) \equiv \prod_{k=2010}^{2554} 3^{2^k} (mod100)$$

ต่อไปก็พิจารณา $\sum_{k=2010}^{2554} 2^k (mod 40)$ เพราะ $3^{40} \equiv 1 (mod100)$ โดยสังเกตเศษเหลือดังต่อไปนี้

$2^5 \equiv 32 (mod40)$
$2^6 \equiv 24 (mod40)$
$2^7 \equiv 8 (mod40)$
$2^8 \equiv 16 (mod40)$

$2^{9} \equiv 32 (mod40)$
$2^{10} \equiv 24 (mod40)$
$2^{11} \equiv 8 (mod40)$
$2^{12} \equiv 16 (mod40)$
...

นั่นคือถ้าเรา pack ทั้ง 4 ตัวที่ติดกันเข้าด้วยกัน ก็จะให้เศษเหลือเป็น $32+24+8+16 \equiv 0 (mod 40)$

แต่ตัวที่เราพิจารณามีทั้งหมด $2554-2010+1=545$ ตัว ซึ่งเมื่อ pack 4 ตัวแล้วจะเหลือเศษ 1 ตัวก็คือ $2^{2554}$ (เหรือจะเอา $2^{2010}$ ก็ได้ ซึ่งให้เศษเท่ากัน)

และจาก $2554 \equiv 2 (mod 4)$ แสดงว่า $2^{2554} \equiv 24 (mod 40)$ (โดยตารางข้างต้น)

$\therefore 3^{\sum_{k=2010}^{2554} 2^k} \equiv 3^{24} \equiv 81(mod100)$

$$\therefore \prod_{k=2010}^{2554} (3^{2^{k+1}}-3^{2^k}+1) \equiv 81 (mod100)$$

จึงได้ว่าเลขโดดหลักสิบเป็น 8

[Amankris]

N5 (สอวน) ให้ $a,b,c \in \mathbb{Z}^+$ ซึ่ง $a\mid b^c$ พิสูจน์ว่า $a\mid b^a$

Soln

ให้ $\displaystyle a=\prod_{i=1}^{n}p_i^{k_i}$ และ $\displaystyle N=\prod_{i=1}^{n}p_i$ โดยที่ $p_i$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ $k_i$ เป็นจำนวนนับ เมื่อ $i\in\left\{1,2,3,\ldots,n\right\}$

จาก $p_i|a$ และ $a|b^c$ จะได้ว่า $p_i|b^c$ เมื่อ $i\in\left\{1,2,3,\ldots,n\right\}$

นั่นคือ $p_i|b$ ทุกๆ $i\in\left\{1,2,3,\ldots,n\right\}$ ฉะนั้น $N|b$ และ $N^a|b^a$


จาก $p_i$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $k_i$ เป็นจำนวนนับ ดังนั้น $p_i\geq2$ และ $k_i\leq2^{k_i}$ (Induction)

จะได้ว่า $k_i\leq2^{k_i}\leq p_i^{k_i}\leq a$ เมื่อ $i\in\left\{1,2,3,\ldots,n\right\}$

นั่นคือ $p_i^{k_i}|p_i^a$ ทุกๆ $i\in\left\{1,2,3,\ldots,n\right\}$ ดังนั้น $a|N^a$

เพราะฉะนั้น $a|b^a$


// ข้อนี้ไม่ยาก ไม่ค่อยมีทางเลือกให้ทำมากนัก จึงไม่น่าจะหลงทางกัน

[Amankris]

G11 วงกลมสามวง รัศมี $r_1,r_2,r_3$สัมผัสภายนอกซึ่งกันเเละกัน ทีุ่จุด A,B,C
ถ้า $p$ เเทนความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม ABC
จงเเสดงว่า $$\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_2}\ge \frac{9}{p}$$

Soln

กำหนด จุดศูนย์กลางวงกลมทั้งสาม $X,Y,Z$ มีรัศมี $r_1,r_2,r_3$ ตามลำดับ โดยวงกลม $X,Y$ สัมผัสที่ $C$, วงกลม $Y,Z$ สัมผัสที่ $A$ และ วงกลม $Z,X$ สัมผัสที่ $B$


ให้ $Z\widehat{X}Y=2x,X\widehat{Y}Z=2y,Y\widehat{Z}X=2z$ จะได้ว่า $x+y+z=\dfrac{\pi}{2}$

และได้อีกว่า $C\widehat{A}B=y+z,A\widehat{B}C=z+x,B\widehat{C}A=x+y$


ให้ $w$ เป็น Incircle ของสามเหลี่ยม $XYZ$ จะได้ว่า $w$ สัมผัส $XY,YZ,ZX$ ที่ $C,A,B$ ตามลำดับ

นั่นคือ $w$ เป็น Circumcircle ของสามเหลี่ยม $ABC$


ให้ $r$ เป็นรัศมีของ $w$

จะได้ว่า $\dfrac{r}{r_1}=\tan x,\dfrac{r}{r_2}=\tan y,\dfrac{r}{r_3}=\tan z$

และ $\dfrac{AB}{2r}=\sin(x+y),\dfrac{BC}{2r}=\sin(y+z),\dfrac{CA}{2r}=\sin(z+x)$

ดังนั้น $\dfrac{p}{r}=2\left(\cos x+\cos y+\cos z\right)$



นั่นคือ
$\begin{array}{rcl}
\dfrac{p}{r}\left(\dfrac{r}{r_1}+\dfrac{r}{r_2}+\dfrac{r}{r_3}\right)&=&\left(\cos x+\cos y+\cos z\right) \left(2\tan x+2\tan y +2\tan z\right) \\
&&\\
&=&\left(\cos x+\cos y+\cos z\right)\left[(\tan x+\tan y)+(\tan y+\tan z)+(\tan z+\tan x)\right]\\
&&\\
&=&\left(\cos x+\cos y+\cos z\right)\left(\dfrac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}+\dfrac{\sin(y+x)}{\cos y\cos z}+\dfrac{\sin(z+x)}{\cos z\cos x}\right)\\
&&\\
&=&\left(\cos x+\cos y+\cos z\right)\left(\dfrac{\cos z}{\cos x\cos y}+\dfrac{\cos x}{\cos y\cos z}+\dfrac{\cos y}{\cos z\cos x}\right)\\
&&\\
&\geq&9\\
&&\\
\therefore\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_2}&\ge& \dfrac{9}{p}
\end {array}$

// ข้อนี้ไล่มุมได้ไม่ยาก
// Point นึง น่าจะอยู่ตรงแสดงว่า วงกลมล้อมรอบ ABC แนบในสามเหลี่ยมรูปใหญ่ แต่ทำได้ไม่ยาก
// ส่วนที่ยากจริงๆอยู่ตรง อสมการ ทางเลือกเยอะ จัดรูปได้หลายแบบ ทำให้หลงทางได้ง่าย